Страница 26 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

130. Найдите все целые значения $m$, при которых корень уравнения:

1) $mx = 3$;

2) $(m + 4)x = 49$

является целым числом.

Рассмотрим уравнение $mx = 3$.

Чтобы найти корень уравнения $x$, необходимо выразить его через $m$. Для этого разделим обе части уравнения на коэффициент $m$. Данная операция возможна только при условии, что $m \neq 0$.

Случай 1: $m = 0$.
Уравнение принимает вид $0 \cdot x = 3$, что эквивалентно $0 = 3$. Это неверное равенство, следовательно, при $m=0$ уравнение не имеет корней.

Случай 2: $m \neq 0$.
Корень уравнения можно найти, разделив обе части на $m$: $x = \frac{3}{m}$.

Согласно условию задачи, корень $x$ должен быть целым числом. Это означает, что результат деления $3$ на $m$ должен быть целым числом. Такое возможно только в том случае, если $m$ является целым делителем числа 3.

Целыми делителями числа 3 являются числа: 1, -1, 3, -3.

Ответ: -3, -1, 1, 3.

Рассмотрим уравнение $(m + 4)x = 49$.

Аналогично первому пункту, выразим корень $x$ через $m$. Для этого разделим обе части уравнения на коэффициент при $x$, то есть на выражение $(m+4)$. Операция деления возможна при условии, что $(m+4) \neq 0$.

Случай 1: $m+4=0$, то есть $m = -4$.
Уравнение принимает вид $0 \cdot x = 49$, что эквивалентно $0 = 49$. Это неверное равенство, следовательно, при $m=-4$ уравнение не имеет корней.

Случай 2: $m+4 \neq 0$.
Корень уравнения равен $x = \frac{49}{m+4}$.

По условию, $m$ — целое число, значит, выражение $(m+4)$ также является целым числом. Чтобы корень $x$ был целым, необходимо, чтобы знаменатель $(m+4)$ был целым делителем числителя 49.

Найдем все целые делители числа 49. Это числа: 1, -1, 7, -7, 49, -49.

Теперь решим уравнения для $m$, приравнивая выражение $(m+4)$ к каждому из найденных делителей:
$m+4 = 1 \implies m = 1 - 4 = -3$
$m+4 = -1 \implies m = -1 - 4 = -5$
$m+4 = 7 \implies m = 7 - 4 = 3$
$m+4 = -7 \implies m = -7 - 4 = -11$
$m+4 = 49 \implies m = 49 - 4 = 45$
$m+4 = -49 \implies m = -49 - 4 = -53$

Все найденные значения $m$ являются целыми.

Ответ: -53, -11, -5, -3, 3, 45.

131. Найдите все целые значения n, при которых корень уравнения:

1) $nx = -5$;

2) $(n - 6)x = 25$

является натуральным числом.

1)

Дано уравнение $nx = -5$. По условию, $n$ — целое число ($n \in \mathbb{Z}$), а корень уравнения $x$ — натуральное число ($x \in \mathbb{N}$), то есть целое положительное число.

Чтобы найти корень уравнения, выразим $x$. Если $n=0$, уравнение принимает вид $0 \cdot x = -5$, что является неверным равенством ($0 = -5$), поэтому решений не существует. Следовательно, $n \neq 0$.

При $n \neq 0$ корень уравнения равен $x = \frac{-5}{n}$.

Для того чтобы $x$ был натуральным числом, он должен быть целым и положительным.
Чтобы $x = \frac{-5}{n}$ был целым, $n$ должен быть целым делителем числа $-5$. Делителями $-5$ являются числа $1, -1, 5, -5$.
Чтобы $x = \frac{-5}{n}$ был положительным ($x > 0$), числитель и знаменатель дроби должны иметь одинаковые знаки. Так как числитель $-5$ отрицателен, знаменатель $n$ также должен быть отрицательным ($n < 0$).

Из всех делителей числа $-5$ выбираем только отрицательные: $-1$ и $-5$.

Проверим найденные значения $n$:

При $n = -1$, получаем $x = \frac{-5}{-1} = 5$. Число 5 является натуральным.

При $n = -5$, получаем $x = \frac{-5}{-5} = 1$. Число 1 является натуральным.

Таким образом, условию задачи удовлетворяют два целых значения $n$.

Ответ: $-1; -5$.

2)

Дано уравнение $(n - 6)x = 25$. По условию, $n$ — целое число ($n \in \mathbb{Z}$), а корень уравнения $x$ — натуральное число ($x \in \mathbb{N}$).

Выразим $x$ из уравнения. Если коэффициент при $x$ равен нулю, то есть $n-6=0$ ($n=6$), уравнение принимает вид $0 \cdot x = 25$, что является неверным равенством ($0 = 25$), поэтому решений не существует. Следовательно, $n \neq 6$.

При $n \neq 6$ корень уравнения равен $x = \frac{25}{n - 6}$.

Для того чтобы $x$ был натуральным числом, он должен быть целым и положительным.
Чтобы $x = \frac{25}{n - 6}$ был целым, знаменатель $(n - 6)$ должен быть целым делителем числа $25$. Так как $n$ — целое число, то $(n-6)$ тоже целое. Делителями $25$ являются числа $1, -1, 5, -5, 25, -25$.
Чтобы $x = \frac{25}{n - 6}$ был положительным ($x > 0$), числитель и знаменатель дроби должны иметь одинаковые знаки. Так как числитель $25$ положителен, знаменатель $(n - 6)$ также должен быть положительным ($n - 6 > 0$, что означает $n > 6$).

Из всех делителей числа $25$ выбираем те, которые больше нуля: $1, 5, 25$. Таким образом, выражение $(n-6)$ может принимать одно из этих трёх значений.

Рассмотрим каждый возможный случай:

Если $n - 6 = 1$, то $n = 7$. При этом $x = \frac{25}{1} = 25$. Число 25 является натуральным.

Если $n - 6 = 5$, то $n = 11$. При этом $x = \frac{25}{5} = 5$. Число 5 является натуральным.

Если $n - 6 = 25$, то $n = 31$. При этом $x = \frac{25}{25} = 1$. Число 1 является натуральным.

Таким образом, условию задачи удовлетворяют три целых значения $n$.

Ответ: $7; 11; 31$.

132. При каком значении b уравнения:

1) $7 - 3x = 6x - 56$ и $x - 3b = -35$;

2) $2y - 9b = 7$ и $3,6 + 5y = 7(1,2 - y)$

имеют один и тот же корень?

1) Условие, что уравнения $7 - 3x = 6x - 56$ и $x - 3b = -35$ имеют один и тот же корень, означает, что значение $x$, удовлетворяющее первому уравнению, также удовлетворяет и второму. Сначала найдем этот корень из первого уравнения, так как оно не содержит неизвестный параметр $b$.

Решим первое уравнение:

$7 - 3x = 6x - 56$

Сгруппируем слагаемые с переменной $x$ в одной части уравнения, а числовые слагаемые — в другой:

$7 + 56 = 6x + 3x$

$63 = 9x$

Найдем корень уравнения, разделив обе части на 9:

$x = \frac{63}{9}$

$x = 7$

Теперь мы знаем, что общий корень уравнений равен 7. Подставим это значение $x$ во второе уравнение $x - 3b = -35$, чтобы найти значение $b$:

$7 - 3b = -35$

Решим полученное уравнение относительно $b$:

$-3b = -35 - 7$

$-3b = -42$

$b = \frac{-42}{-3}$

$b = 14$

Ответ: $b = 14$.

2) Для второй пары уравнений $2y - 9b = 7$ и $3,6 + 5y = 7(1,2 - y)$ поступим аналогичным образом. Сначала найдем общий корень $y$ из второго уравнения, так как оно не содержит параметр $b$.

Решим второе уравнение:

$3,6 + 5y = 7(1,2 - y)$

Раскроем скобки в правой части:

$3,6 + 5y = 8,4 - 7y$

Сгруппируем слагаемые с переменной $y$ в левой части, а числовые — в правой:

$5y + 7y = 8,4 - 3,6$

$12y = 4,8$

Найдем корень $y$:

$y = \frac{4,8}{12}$

$y = 0,4$

Теперь подставим найденный корень $y = 0,4$ в первое уравнение $2y - 9b = 7$:

$2 \cdot (0,4) - 9b = 7$

$0,8 - 9b = 7$

Решим это уравнение относительно $b$:

$-9b = 7 - 0,8$

$-9b = 6,2$

$b = -\frac{6,2}{9}$

Представим десятичную дробь в виде обыкновенной, умножив числитель и знаменатель на 10:

$b = -\frac{62}{90}$

Сократим полученную дробь на 2:

$b = -\frac{31}{45}$

Ответ: $b = -\frac{31}{45}$.

133. При каком значении с уравнения:

1) $(4x + 1) - (7x + 2) = x$ и $12x - 9 = c + 5;$

2) $\frac{1}{7}cx = x + c$ и $6 - 3(2x - 4) = -8x + 4$

имеют один и тот же корень?

1) Для того чтобы два уравнения имели один и тот же корень, мы сначала должны найти этот корень из уравнения, в котором отсутствует параметр c. Затем подставим найденное значение корня во второе уравнение, чтобы определить значение c.

Сначала решим первое уравнение: $(4x + 1) - (7x + 2) = x$.

Раскрываем скобки:

$4x + 1 - 7x - 2 = x$

Приводим подобные слагаемые в левой части уравнения:

$(4x - 7x) + (1 - 2) = x$

$-3x - 1 = x$

Переносим все слагаемые с переменной x в правую часть, а константы оставляем в левой:

$-1 = x + 3x$

$-1 = 4x$

Отсюда находим корень уравнения:

$x = -\frac{1}{4}$

Теперь подставим этот корень $x = -\frac{1}{4}$ во второе уравнение: $12x - 9 = c + 5$.

$12 \cdot (-\frac{1}{4}) - 9 = c + 5$

$-3 - 9 = c + 5$

$-12 = c + 5$

Находим значение c:

$c = -12 - 5$

$c = -17$

Ответ: $c = -17$.

2) Действуем по той же схеме. Сначала решим уравнение, которое не содержит параметр c, чтобы найти общий корень.

Решим второе уравнение: $6 - 3(2x - 4) = -8x + 4$.

Раскроем скобки в левой части:

$6 - 6x + 12 = -8x + 4$

Приведем подобные слагаемые:

$18 - 6x = -8x + 4$

Перенесем слагаемые с x в левую часть, а константы — в правую:

$-6x + 8x = 4 - 18$

$2x = -14$

Находим корень уравнения:

$x = \frac{-14}{2} = -7$

Теперь подставим найденное значение $x = -7$ в первое уравнение: $\frac{1}{7}cx = x + c$.

$\frac{1}{7} \cdot c \cdot (-7) = -7 + c$

Выполним умножение в левой части:

$-c = -7 + c$

Перенесем слагаемые с c в левую часть:

$-c - c = -7$

$-2c = -7$

Находим значение c:

$c = \frac{-7}{-2} = \frac{7}{2} = 3,5$

Ответ: $c = 3,5$.

134. При каком значении $a$ уравнение:

1) $ax = 6$;

2) $(3 - a)x = 4$;

3) $(a - 2)x = a + 2$

не имеет корней?

Линейное уравнение вида $Kx = B$ не имеет корней (решений) тогда и только тогда, когда коэффициент при переменной $x$ равен нулю, а правая часть уравнения не равна нулю. То есть, должна выполняться система условий:

$$ \begin{cases} K = 0 \\ B \neq 0 \end{cases} $$

Применим это правило к каждому из данных уравнений.

1) $ax = 6$

В этом уравнении коэффициент при $x$ — это $a$, а правая часть — $6$. Чтобы уравнение не имело корней, коэффициент при $x$ должен быть равен нулю. $$a = 0$$ При этом значении $a$ правая часть уравнения равна $6$, что не равно нулю ($6 \neq 0$). Уравнение принимает вид $0 \cdot x = 6$. Это равенство неверно при любом значении $x$, следовательно, уравнение не имеет корней.
Ответ: при $a = 0$.

2) $(3 - a)x = 4$

Здесь коэффициент при $x$ равен $(3 - a)$, а правая часть равна $4$. Приравняем коэффициент при $x$ к нулю, чтобы найти значение $a$, при котором уравнение может не иметь корней: $$3 - a = 0$$ $$a = 3$$ Правая часть уравнения равна $4$, что не равно нулю ($4 \neq 0$). Таким образом, при $a = 3$ уравнение принимает вид $(3-3)x = 4$, или $0 \cdot x = 4$. Это уравнение не имеет решений.
Ответ: при $a = 3$.

3) $(a - 2)x = a + 2$

В данном уравнении коэффициент при $x$ — это $(a - 2)$, а правая часть — $(a + 2)$. Чтобы уравнение не имело корней, коэффициент при $x$ должен быть равен нулю, а правая часть — не равна нулю. Найдем значение $a$, при котором коэффициент при $x$ обращается в ноль: $$a - 2 = 0$$ $$a = 2$$ Теперь необходимо проверить, не обращается ли правая часть в ноль при этом же значении $a$. Подставим $a = 2$ в выражение $(a + 2)$: $$a + 2 = 2 + 2 = 4$$ Так как $4 \neq 0$, то условие для отсутствия корней выполняется. При $a = 2$ уравнение приобретает вид $(2-2)x = 2+2$, то есть $0 \cdot x = 4$, и не имеет корней.
Ответ: при $a = 2$.

135. При каком значении $a$ любое число является корнем уравнения:

1) $ax = a$;

2) $(a - 2)x = 2 - a$;

3) $a(a + 5)x = a + 5?

1) Для того чтобы любое число являлось корнем уравнения $ax = a$, оно должно представлять собой тождество $0 \cdot x = 0$. Это возможно только в том случае, когда коэффициент при $x$ и правая часть уравнения одновременно равны нулю. Составим систему уравнений:
$ \begin{cases} a = 0 & \text{(коэффициент при x)} \\ a = 0 & \text{(правая часть)} \end{cases} $
Единственным значением, удовлетворяющим обоим уравнениям, является $a = 0$. При подстановке этого значения в исходное уравнение получаем $0 \cdot x = 0$, что верно для любого $x$.
Ответ: $a=0$.

2) Для того чтобы любое число являлось корнем уравнения $(a - 2)x = 2 - a$, необходимо, чтобы и коэффициент при $x$, и правая часть уравнения были равны нулю. Составим систему:
$ \begin{cases} a - 2 = 0 \\ 2 - a = 0 \end{cases} $
Из первого уравнения находим $a = 2$.
Из второго уравнения также находим $a = 2$.
Поскольку оба уравнения имеют общее решение $a = 2$, это и есть искомое значение. При $a=2$ уравнение принимает вид $(2-2)x = 2-2$, или $0 \cdot x = 0$, что является верным равенством для любого числа $x$.
Ответ: $a=2$.

3) Для того чтобы любое число являлось корнем уравнения $a(a + 5)x = a + 5$, необходимо, чтобы коэффициент при $x$ и правая часть уравнения одновременно обращались в нуль. Запишем соответствующую систему:
$ \begin{cases} a(a + 5) = 0 \\ a + 5 = 0 \end{cases} $
Решением первого уравнения $a(a + 5) = 0$ являются значения $a=0$ и $a=-5$.
Решением второго уравнения $a + 5 = 0$ является значение $a=-5$.
Общим решением для обоих уравнений системы является $a=-5$. При этом значении исходное уравнение принимает вид $-5(-5+5)x = -5+5$, или $0 \cdot x = 0$, что верно для любого $x$.
Ответ: $a=-5$.

136. При каких значениях $a$ уравнение:

1) $(a - 5)x = 6$;

2) $(a + 7)x = a + 7

имеет единственный корень?

1) Уравнение $(a - 5)x = 6$ является линейным уравнением вида $kx=b$ относительно переменной $x$. Такое уравнение имеет единственный корень тогда и только тогда, когда коэффициент при $x$ не равен нулю. В данном уравнении коэффициент $k = a - 5$. Следовательно, для существования единственного решения должно выполняться условие $a - 5 \neq 0$, что эквивалентно $a \neq 5$.
Если $a = 5$, то уравнение принимает вид $(5 - 5)x = 6$, или $0 \cdot x = 6$. Это равенство неверно, так как нет такого значения $x$, которое при умножении на 0 дало бы 6. Значит, при $a = 5$ уравнение не имеет корней.
Таким образом, уравнение имеет единственный корень при любом значении $a$, кроме $a=5$.
Ответ: при $a \neq 5$.

2) Уравнение $(a + 7)x = a + 7$ также является линейным относительно $x$. Условием наличия единственного корня является неравенство нулю коэффициента при $x$. В данном случае коэффициент $k = a + 7$. Условие единственности корня: $a + 7 \neq 0$, откуда следует $a \neq -7$.
Если $a = -7$, то уравнение принимает вид $(-7 + 7)x = -7 + 7$, или $0 \cdot x = 0$. Это равенство верно для любого действительного числа $x$, то есть при $a = -7$ уравнение имеет бесконечно много корней.
При $a \neq -7$ мы можем разделить обе части уравнения на $(a+7)$, получив единственный корень $x = \frac{a+7}{a+7} = 1$. Следовательно, уравнение имеет единственный корень при любом значении $a$, кроме $a=-7$.
Ответ: при $a \neq -7$.

137. Решите уравнение:

1) $(b + 1)x = 9;$

2) $(b^2 + 1)x = -4.$

1) Решим уравнение $(b + 1)x = 9$.

Это линейное уравнение относительно переменной $x$ с параметром $b$. Его решение зависит от значения коэффициента при $x$, то есть от выражения $(b+1)$.

Необходимо рассмотреть два случая:

Случай 1: Коэффициент при $x$ не равен нулю.

$b + 1 \neq 0$, что эквивалентно $b \neq -1$.

В этом случае, чтобы найти $x$, мы можем разделить обе части уравнения на $(b + 1)$:

$x = \frac{9}{b + 1}$

Случай 2: Коэффициент при $x$ равен нулю.

$b + 1 = 0$, что эквивалентно $b = -1$.

Подставим значение $b = -1$ в исходное уравнение:

$(-1 + 1)x = 9$

$0 \cdot x = 9$

$0 = 9$

Мы получили неверное числовое равенство. Это означает, что при $b = -1$ уравнение не имеет решений.

Ответ: если $b = -1$, то уравнение не имеет корней; если $b \neq -1$, то $x = \frac{9}{b + 1}$.

2) Решим уравнение $(b^2 + 1)x = -4$.

Это также линейное уравнение относительно $x$ с параметром $b$. Чтобы найти $x$, нужно разделить обе части уравнения на коэффициент $(b^2 + 1)$.

Проанализируем выражение в скобках. Квадрат любого действительного числа $b$ не может быть отрицательным, то есть $b^2 \ge 0$.

Следовательно, выражение $b^2 + 1$ всегда будет больше или равно 1 ($b^2 + 1 \ge 1$).

Это означает, что коэффициент $(b^2 + 1)$ никогда не обращается в нуль ни при каком значении $b$.

Поэтому мы всегда можем разделить обе части уравнения на $(b^2 + 1)$:

$x = \frac{-4}{b^2 + 1}$

Данное решение является единственным для любого значения параметра $b$.

Ответ: $x = -\frac{4}{b^2 + 1}$ при любом значении $b$.

138. Решите уравнение $(m + 8)x = m + 8.$

Данное уравнение $(m + 8)x = m + 8$ является линейным уравнением относительно переменной $x$ с параметром $m$. Его решение зависит от значения коэффициента при $x$, то есть от выражения $m+8$. Необходимо рассмотреть два возможных случая.

Случай 1: Коэффициент при $x$ не равен нулю.

Это условие выполняется, когда $m + 8 \neq 0$, то есть $m \neq -8$. В этой ситуации мы имеем право разделить обе части уравнения на $m+8$:

$x = \frac{m + 8}{m + 8}$

$x = 1$

Следовательно, при $m \neq -8$ уравнение имеет единственный корень $x=1$.

Случай 2: Коэффициент при $x$ равен нулю.

Это происходит, когда $m + 8 = 0$, то есть $m = -8$. Подставим это значение $m$ в исходное уравнение, чтобы проанализировать его:

$(-8 + 8)x = -8 + 8$

$0 \cdot x = 0$

Полученное равенство $0 = 0$ является верным при абсолютно любом значении переменной $x$. Это означает, что если $m = -8$, то решением уравнения является любое действительное число.

Ответ: если $m = -8$, то $x$ — любое число; если $m \neq -8$, то $x = 1$.

139. Каким выражением можно заменить звёздочку в равенстве $6x + 8 = 4x + *$, чтобы получилось уравнение:

1) не имеющее корней;

2) имеющее бесконечно много корней;

3) имеющее один корень?

Рассмотрим исходное равенство: $6x + 8 = 4x + *$. Чтобы проанализировать его, представим выражение, которое нужно подставить вместо звёздочки, в общем виде линейной функции $ax + b$. Тогда уравнение примет вид: $6x + 8 = 4x + ax + b$ Перенесем все слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую: $6x - 4x - ax = b - 8$ Вынесем $x$ за скобки: $(6 - 4 - a)x = b - 8$ $(2 - a)x = b - 8$ Это линейное уравнение вида $Kx = C$, где $K = 2 - a$ и $C = b - 8$. Количество его корней зависит от значений коэффициентов $K$ и $C$.

1) не имеющее корней;
Уравнение вида $Kx = C$ не имеет корней, если коэффициент при $x$ равен нулю ($K=0$), а правая часть не равна нулю ($C \neq 0$). В нашем случае это соответствует системе условий: $2 - a = 0 \implies a = 2$ $b - 8 \neq 0 \implies b \neq 8$ Следовательно, вместо звёздочки нужно подставить выражение вида $2x + b$, где $b$ — любое число, кроме 8. Например, можно подставить выражение $2x + 1$. Тогда уравнение будет: $6x + 8 = 4x + 2x + 1$ $6x + 8 = 6x + 1$ $8 = 1$ Получилось неверное числовое равенство, значит, уравнение не имеет корней.
Ответ: любое выражение вида $2x + b$, где $b \neq 8$. Например, $2x$ или $2x+15$.

2) имеющее бесконечно много корней;
Уравнение вида $Kx = C$ имеет бесконечно много корней, если и коэффициент при $x$, и правая часть равны нулю ($K=0$ и $C = 0$). В нашем случае это соответствует системе условий: $2 - a = 0 \implies a = 2$ $b - 8 = 0 \implies b = 8$ Следовательно, вместо звёздочки нужно подставить выражение $2x + 8$. Проверим: $6x + 8 = 4x + (2x + 8)$ $6x + 8 = 6x + 8$ $0 \cdot x = 0$ Это равенство верно при любом значении $x$.
Ответ: выражение $2x + 8$.

3) имеющее один корень?
Уравнение вида $Kx = C$ имеет один корень, если коэффициент при $x$ не равен нулю ($K \neq 0$). Значение $C$ может быть любым. В нашем случае это соответствует условию: $2 - a \neq 0 \implies a \neq 2$ Значение $b$ может быть любым числом. Таким образом, вместо звёздочки можно подставить любое выражение вида $ax + b$, где коэффициент $a$ не равен 2. Например, можно подставить просто число, например 5 (здесь $a=0$, что не равно 2). $6x + 8 = 4x + 5$ $2x = -3$ $x = -1.5$ (один корень). Или можно подставить выражение $5x - 3$ (здесь $a=5$, что не равно 2). $6x + 8 = 4x + 5x - 3$ $6x + 8 = 9x - 3$ $-3x = -11$ $x = \frac{11}{3}$ (один корень).
Ответ: любое выражение $ax+b$, в котором коэффициент $a \neq 2$. Например, $x$, $5x+10$, или просто число 7.

140. В равенстве $2(1,5x - 0,5) = 7x + *$ замените звёздочку таким выражением, чтобы получившееся уравнение:

1) не имело корней;

2) имело бесконечно много корней;

3) имело один корень.

Сначала упростим левую часть исходного равенства, раскрыв скобки:

$2(1,5x - 0,5) = 2 \cdot 1,5x - 2 \cdot 0,5 = 3x - 1$

Таким образом, уравнение принимает вид $3x - 1 = 7x + *$.

Проанализируем, каким должно быть выражение, заменяющее звёздочку (*), для каждого из трех случаев.

Линейное уравнение не имеет корней, если после приведения подобных слагаемых коэффициенты при переменной $x$ в обеих частях уравнения равны, а свободные члены (числа без $x$) не равны.

Наше уравнение: $3x - 1 = 7x + *$.

Коэффициент при $x$ в левой части равен $3$. Чтобы в правой части коэффициент при $x$ также стал равен $3$, выражение, заменяющее звёздочку, должно содержать $-4x$ (поскольку $7x - 4x = 3x$).

Свободный член в левой части равен $-1$. Чтобы уравнение не имело корней, свободный член в правой части не должен быть равен $-1$. Значит, к $-4x$ можно прибавить любое число, кроме $-1$.

Например, выберем выражение $-4x + 5$.

Проверим, подставив его в уравнение:

$3x - 1 = 7x + (-4x + 5)$

$3x - 1 = 3x + 5$

$-1 = 5$

Получилось неверное числовое равенство, следовательно, уравнение не имеет корней.

Ответ: например, $-4x + 5$.

Уравнение имеет бесконечно много корней, если оно является тождеством, то есть его левая и правая части полностью совпадают после всех преобразований.

Наше уравнение: $3x - 1 = 7x + *$.

Чтобы правая часть стала идентична левой ($3x - 1$), нужно найти такое выражение (*), чтобы выполнялось равенство:

$7x + * = 3x - 1$

Выразим отсюда искомое выражение:

$* = 3x - 1 - 7x$

$* = -4x - 1$

Проверим:

$3x - 1 = 7x + (-4x - 1)$

$3x - 1 = 3x - 1$

Получилось тождество, верное для любого значения $x$.

Ответ: $-4x - 1$.

Линейное уравнение имеет один корень, если коэффициенты при переменной $x$ в левой и правой частях не равны.

Наше уравнение: $3x - 1 = 7x + *$.

Коэффициент при $x$ в левой части равен $3$. Нам нужно, чтобы после подстановки выражения вместо звёздочки и приведения подобных слагаемых коэффициент при $x$ в правой части не был равен $3$.

Правая часть имеет вид $7x + *$. Если мы подставим вместо звёздочки любое выражение, в котором слагаемое с $x$ не равно $-4x$, то итоговый коэффициент при $x$ в правой части не будет равен $3$.

Самый простой вариант — подставить выражение, не содержащее $x$, например, число 0.

Проверим:

$3x - 1 = 7x + 0$

$3x - 1 = 7x$

$-4x = 1$

$x = -1/4$

Уравнение имеет один корень.

Ответ: например, $0$.