Номер 131, страница 26 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 3. Равносильные уравнения. Линейное уравнение с одной переменной. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 131, страница 26.

Условие.

131. Найдите все целые значения n, при которых корень уравнения:

1) $nx = -5$;

2) $(n - 6)x = 25$

является натуральным числом.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1)

Дано уравнение $nx = -5$. По условию, $n$ — целое число ($n \in \mathbb{Z}$), а корень уравнения $x$ — натуральное число ($x \in \mathbb{N}$), то есть целое положительное число.

Чтобы найти корень уравнения, выразим $x$. Если $n=0$, уравнение принимает вид $0 \cdot x = -5$, что является неверным равенством ($0 = -5$), поэтому решений не существует. Следовательно, $n \neq 0$.

При $n \neq 0$ корень уравнения равен $x = \frac{-5}{n}$.

Для того чтобы $x$ был натуральным числом, он должен быть целым и положительным.
Чтобы $x = \frac{-5}{n}$ был целым, $n$ должен быть целым делителем числа $-5$. Делителями $-5$ являются числа $1, -1, 5, -5$.
Чтобы $x = \frac{-5}{n}$ был положительным ($x > 0$), числитель и знаменатель дроби должны иметь одинаковые знаки. Так как числитель $-5$ отрицателен, знаменатель $n$ также должен быть отрицательным ($n < 0$).

Из всех делителей числа $-5$ выбираем только отрицательные: $-1$ и $-5$.

Проверим найденные значения $n$:

При $n = -1$, получаем $x = \frac{-5}{-1} = 5$. Число 5 является натуральным.

При $n = -5$, получаем $x = \frac{-5}{-5} = 1$. Число 1 является натуральным.

Таким образом, условию задачи удовлетворяют два целых значения $n$.

Ответ: $-1; -5$.

2)

Дано уравнение $(n - 6)x = 25$. По условию, $n$ — целое число ($n \in \mathbb{Z}$), а корень уравнения $x$ — натуральное число ($x \in \mathbb{N}$).

Выразим $x$ из уравнения. Если коэффициент при $x$ равен нулю, то есть $n-6=0$ ($n=6$), уравнение принимает вид $0 \cdot x = 25$, что является неверным равенством ($0 = 25$), поэтому решений не существует. Следовательно, $n \neq 6$.

При $n \neq 6$ корень уравнения равен $x = \frac{25}{n - 6}$.

Для того чтобы $x$ был натуральным числом, он должен быть целым и положительным.
Чтобы $x = \frac{25}{n - 6}$ был целым, знаменатель $(n - 6)$ должен быть целым делителем числа $25$. Так как $n$ — целое число, то $(n-6)$ тоже целое. Делителями $25$ являются числа $1, -1, 5, -5, 25, -25$.
Чтобы $x = \frac{25}{n - 6}$ был положительным ($x > 0$), числитель и знаменатель дроби должны иметь одинаковые знаки. Так как числитель $25$ положителен, знаменатель $(n - 6)$ также должен быть положительным ($n - 6 > 0$, что означает $n > 6$).

Из всех делителей числа $25$ выбираем те, которые больше нуля: $1, 5, 25$. Таким образом, выражение $(n-6)$ может принимать одно из этих трёх значений.

Рассмотрим каждый возможный случай:

Если $n - 6 = 1$, то $n = 7$. При этом $x = \frac{25}{1} = 25$. Число 25 является натуральным.

Если $n - 6 = 5$, то $n = 11$. При этом $x = \frac{25}{5} = 5$. Число 5 является натуральным.

Если $n - 6 = 25$, то $n = 31$. При этом $x = \frac{25}{25} = 1$. Число 1 является натуральным.

Таким образом, условию задачи удовлетворяют три целых значения $n$.

Ответ: $7; 11; 31$.