Номер 124, страница 25 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 3. Равносильные уравнения. Линейное уравнение с одной переменной. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 124, страница 25.

Условие.

124. Решите уравнение:

1) $ |x| + 6 = 13; $

2) $ |x| - 7 = -12; $

3) $ 7|x| - 3 = 0; $

4) $ |x - 5| = 4; $

5) $ |9 + x| = 0; $

6) $ |x - 4| = -2; $

7) $ |3x + 4| = 2; $

8) $ |2x + 1| + 13 = 14; $

9) $ ||x| - 3| = 5. $

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) $|x| + 6 = 13$

Для решения этого уравнения сначала изолируем выражение с модулем. Перенесем 6 в правую часть уравнения, изменив знак на противоположный:
$|x| = 13 - 6$
$|x| = 7$

Уравнение вида $|a| = b$, где $b > 0$, имеет два решения: $a = b$ и $a = -b$.
Следовательно, получаем два корня:
$x_1 = 7$
$x_2 = -7$

Ответ: $7; -7$.

2) $|x| - 7 = -12$

Изолируем выражение с модулем, перенеся -7 в правую часть уравнения:
$|x| = -12 + 7$
$|x| = -5$

Модуль (абсолютная величина) любого числа по определению является неотрицательной величиной, то есть $|x| \ge 0$. Уравнение $|x| = -5$ не может быть верным ни при каком значении $x$.
Следовательно, у уравнения нет решений.

Ответ: корней нет.

3) $7|x| - 3 = 0$

Сначала изолируем выражение с модулем. Переносим -3 в правую часть и делим обе части на 7:
$7|x| = 3$
$|x| = \frac{3}{7}$

Это уравнение имеет два корня:
$x_1 = \frac{3}{7}$
$x_2 = -\frac{3}{7}$

Ответ: $\frac{3}{7}; -\frac{3}{7}$.

4) $|x - 5| = 4$

Данное уравнение эквивалентно двум отдельным уравнениям:
1) $x - 5 = 4$
$x = 4 + 5$
$x_1 = 9$

2) $x - 5 = -4$
$x = -4 + 5$
$x_2 = 1$

Ответ: $1; 9$.

5) $|9 + x| = 0$

Модуль выражения равен нулю только в том случае, если само выражение равно нулю.
$9 + x = 0$
$x = -9$

Ответ: $-9$.

6) $|x - 4| = -2$

Модуль любого выражения всегда является неотрицательным числом. Таким образом, он не может быть равен -2.
У данного уравнения нет решений.

Ответ: корней нет.

7) $|3x + 4| = 2$

Раскрываем модуль, рассматривая два случая:
1) $3x + 4 = 2$
$3x = 2 - 4$
$3x = -2$
$x_1 = -\frac{2}{3}$

2) $3x + 4 = -2$
$3x = -2 - 4$
$3x = -6$
$x_2 = -2$

Ответ: $-2; -\frac{2}{3}$.

8) $|2x + 1| + 13 = 14$

Изолируем модуль в левой части уравнения:
$|2x + 1| = 14 - 13$
$|2x + 1| = 1$

Теперь раскрываем модуль:
1) $2x + 1 = 1$
$2x = 1 - 1$
$2x = 0$
$x_1 = 0$

2) $2x + 1 = -1$
$2x = -1 - 1$
$2x = -2$
$x_2 = -1$

Ответ: $-1; 0$.

9) $||x| - 3| = 5$

Это уравнение с вложенным модулем. Сначала раскрываем внешний модуль. Уравнение распадается на два:
1) $|x| - 3 = 5$
2) $|x| - 3 = -5$

Теперь решаем каждое из этих уравнений.
Решаем первое уравнение:
$|x| - 3 = 5$
$|x| = 5 + 3$
$|x| = 8$
Это дает нам два корня: $x_1 = 8$ и $x_2 = -8$.

Решаем второе уравнение:
$|x| - 3 = -5$
$|x| = -5 + 3$
$|x| = -2$
Это уравнение не имеет решений, так как модуль не может быть отрицательным.

Таким образом, исходное уравнение имеет только два корня.

Ответ: $-8; 8$.