Номер 129, страница 25 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 3. Равносильные уравнения. Линейное уравнение с одной переменной. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 129, страница 25.

Условие.

129. Составьте уравнение, которое:

1) имеет единственный корень, равный числу -4;

2) имеет бесконечно много корней;

3) не имеет корней.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) имеет единственный корень, равный числу −4;

Чтобы составить уравнение с единственным корнем, равным $-4$, необходимо, чтобы при подстановке этого числа в уравнение оно превращалось в верное числовое равенство, и чтобы других таких чисел не существовало. Самый простой способ — это исходить из самого равенства $x = -4$.

Преобразуем это равенство, перенеся число $-4$ в левую часть. Для этого прибавим $4$ к обеим частям уравнения:

$x + 4 = -4 + 4$

$x + 4 = 0$

Полученное уравнение $x + 4 = 0$ является линейным и имеет единственный корень, так как коэффициент при $x$ не равен нулю. Решив его, мы убеждаемся, что корень равен $-4$. Можно привести и другие примеры, например $2x = -8$ или $x - 1 = -5$.

Ответ: $x + 4 = 0$

2) имеет бесконечно много корней;

Уравнение имеет бесконечно много корней, если оно является тождеством, то есть равенством, которое верно при любом значении переменной. При решении такого уравнения мы приходим к верному числовому равенству вида $0=0$.

Чтобы составить такое уравнение, можно взять любое выражение с переменной, выполнить над ним тождественное преобразование и приравнять исходное и полученное выражения. Например, возьмем выражение $3(x+2)$ и раскроем скобки: $3x+6$.

Составим уравнение:

$3(x+2) = 3x+6$

Это уравнение будет верным для любого значения $x$. Если мы попытаемся его решить, то получим:

$3x + 6 = 3x + 6$

$3x - 3x = 6 - 6$

$0 \cdot x = 0$

Это равенство справедливо для любого $x$.

Ответ: $3(x+2) = 3x+6$

3) не имеет корней.

Уравнение не имеет корней, если при его решении мы приходим к противоречию — неверному числовому равенству (например, $0=1$).

Для составления такого уравнения можно взять любое неверное равенство и прибавить к обеим его частям одно и то же выражение с переменной. Начнем с неверного равенства $5 = 6$. Прибавим к обеим частям $x$:

$x + 5 = x + 6$

Полученное уравнение не имеет корней. Если мы попытаемся его решить, то получим противоречие:

$x - x = 6 - 5$

$0 = 1$

Это равенство ложно, следовательно, ни одно значение $x$ не может удовлетворять исходному уравнению.

Ответ: $x+5=x+6$