Номер 135, страница 26 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 3. Равносильные уравнения. Линейное уравнение с одной переменной. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 135, страница 26.

Условие.

135. При каком значении $a$ любое число является корнем уравнения:

1) $ax = a$;

2) $(a - 2)x = 2 - a$;

3) $a(a + 5)x = a + 5?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) Для того чтобы любое число являлось корнем уравнения $ax = a$, оно должно представлять собой тождество $0 \cdot x = 0$. Это возможно только в том случае, когда коэффициент при $x$ и правая часть уравнения одновременно равны нулю. Составим систему уравнений:
$ \begin{cases} a = 0 & \text{(коэффициент при x)} \\ a = 0 & \text{(правая часть)} \end{cases} $
Единственным значением, удовлетворяющим обоим уравнениям, является $a = 0$. При подстановке этого значения в исходное уравнение получаем $0 \cdot x = 0$, что верно для любого $x$.
Ответ: $a=0$.

2) Для того чтобы любое число являлось корнем уравнения $(a - 2)x = 2 - a$, необходимо, чтобы и коэффициент при $x$, и правая часть уравнения были равны нулю. Составим систему:
$ \begin{cases} a - 2 = 0 \\ 2 - a = 0 \end{cases} $
Из первого уравнения находим $a = 2$.
Из второго уравнения также находим $a = 2$.
Поскольку оба уравнения имеют общее решение $a = 2$, это и есть искомое значение. При $a=2$ уравнение принимает вид $(2-2)x = 2-2$, или $0 \cdot x = 0$, что является верным равенством для любого числа $x$.
Ответ: $a=2$.

3) Для того чтобы любое число являлось корнем уравнения $a(a + 5)x = a + 5$, необходимо, чтобы коэффициент при $x$ и правая часть уравнения одновременно обращались в нуль. Запишем соответствующую систему:
$ \begin{cases} a(a + 5) = 0 \\ a + 5 = 0 \end{cases} $
Решением первого уравнения $a(a + 5) = 0$ являются значения $a=0$ и $a=-5$.
Решением второго уравнения $a + 5 = 0$ является значение $a=-5$.
Общим решением для обоих уравнений системы является $a=-5$. При этом значении исходное уравнение принимает вид $-5(-5+5)x = -5+5$, или $0 \cdot x = 0$, что верно для любого $x$.
Ответ: $a=-5$.