Номер 139, страница 26 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 3. Равносильные уравнения. Линейное уравнение с одной переменной. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 139, страница 26.

Условие.

139. Каким выражением можно заменить звёздочку в равенстве $6x + 8 = 4x + *$, чтобы получилось уравнение:

1) не имеющее корней;

2) имеющее бесконечно много корней;

3) имеющее один корень?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Рассмотрим исходное равенство: $6x + 8 = 4x + *$. Чтобы проанализировать его, представим выражение, которое нужно подставить вместо звёздочки, в общем виде линейной функции $ax + b$. Тогда уравнение примет вид: $6x + 8 = 4x + ax + b$ Перенесем все слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую: $6x - 4x - ax = b - 8$ Вынесем $x$ за скобки: $(6 - 4 - a)x = b - 8$ $(2 - a)x = b - 8$ Это линейное уравнение вида $Kx = C$, где $K = 2 - a$ и $C = b - 8$. Количество его корней зависит от значений коэффициентов $K$ и $C$.

1) не имеющее корней;
Уравнение вида $Kx = C$ не имеет корней, если коэффициент при $x$ равен нулю ($K=0$), а правая часть не равна нулю ($C \neq 0$). В нашем случае это соответствует системе условий: $2 - a = 0 \implies a = 2$ $b - 8 \neq 0 \implies b \neq 8$ Следовательно, вместо звёздочки нужно подставить выражение вида $2x + b$, где $b$ — любое число, кроме 8. Например, можно подставить выражение $2x + 1$. Тогда уравнение будет: $6x + 8 = 4x + 2x + 1$ $6x + 8 = 6x + 1$ $8 = 1$ Получилось неверное числовое равенство, значит, уравнение не имеет корней.
Ответ: любое выражение вида $2x + b$, где $b \neq 8$. Например, $2x$ или $2x+15$.

2) имеющее бесконечно много корней;
Уравнение вида $Kx = C$ имеет бесконечно много корней, если и коэффициент при $x$, и правая часть равны нулю ($K=0$ и $C = 0$). В нашем случае это соответствует системе условий: $2 - a = 0 \implies a = 2$ $b - 8 = 0 \implies b = 8$ Следовательно, вместо звёздочки нужно подставить выражение $2x + 8$. Проверим: $6x + 8 = 4x + (2x + 8)$ $6x + 8 = 6x + 8$ $0 \cdot x = 0$ Это равенство верно при любом значении $x$.
Ответ: выражение $2x + 8$.

3) имеющее один корень?
Уравнение вида $Kx = C$ имеет один корень, если коэффициент при $x$ не равен нулю ($K \neq 0$). Значение $C$ может быть любым. В нашем случае это соответствует условию: $2 - a \neq 0 \implies a \neq 2$ Значение $b$ может быть любым числом. Таким образом, вместо звёздочки можно подставить любое выражение вида $ax + b$, где коэффициент $a$ не равен 2. Например, можно подставить просто число, например 5 (здесь $a=0$, что не равно 2). $6x + 8 = 4x + 5$ $2x = -3$ $x = -1.5$ (один корень). Или можно подставить выражение $5x - 3$ (здесь $a=5$, что не равно 2). $6x + 8 = 4x + 5x - 3$ $6x + 8 = 9x - 3$ $-3x = -11$ $x = \frac{11}{3}$ (один корень).
Ответ: любое выражение $ax+b$, в котором коэффициент $a \neq 2$. Например, $x$, $5x+10$, или просто число 7.