Номер 144, страница 27 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 3. Равносильные уравнения. Линейное уравнение с одной переменной. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 144, страница 27.

Условие.

144. При каких целых значениях $b$ корень уравнения:

1) $x + 3 = b;$

2) $x - 2 = b;$

3) $x - 3b = 8$

является целым числом, которое делится нацело на 3?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) В уравнении $x + 3 = b$ выразим корень $x$:
$x = b - 3$
По условию задачи, $b$ является целым числом. Также корень $x$ должен быть целым числом, которое делится нацело на 3. Если $b$ — целое, то $x = b - 3$ также будет целым.
Условие делимости $x$ на 3 означает, что $x = 3k$ для некоторого целого числа $k$.
Подставим это в наше уравнение:
$3k = b - 3$
Выразим $b$:
$b = 3k + 3 = 3(k+1)$
Так как $k$ — целое число, то $k+1$ тоже целое число. Это означает, что $b$ должно быть числом, кратным 3.
Ответ: $b$ — любое целое число, которое делится на 3.

2) В уравнении $x - 2 = b$ выразим корень $x$:
$x = b + 2$
По условию, $b$ — целое число, а корень $x$ — целое число, делящееся на 3. Запишем условие делимости $x$ на 3 как $x = 3k$ для некоторого целого $k$.
Подставим это в выражение для $x$:
$3k = b + 2$
Выразим $b$:
$b = 3k - 2$
Это выражение означает, что число $b$ при делении на 3 должно давать остаток $-2$. В арифметике остатков это эквивалентно остатку 1, так как $3k - 2 = 3(k-1) + 1$.
Таким образом, $b$ должно быть целым числом, которое при делении на 3 дает в остатке 1.
Ответ: $b$ — любое целое число, которое при делении на 3 дает в остатке 1.

3) В уравнении $x - 3b = 8$ выразим корень $x$:
$x = 8 + 3b$
По условию, $b$ — целое число, а корень $x$ — целое число, делящееся на 3.
Рассмотрим выражение для $x$. Слагаемое $3b$ делится на 3 без остатка для любого целого $b$. Число 8 при делении на 3 дает в остатке 2 ($8 = 2 \cdot 3 + 2$).
Таким образом, вся сумма $x = 8 + 3b$ при делении на 3 всегда будет давать в остатке 2.
Математически, используя сравнения по модулю 3:
$x \equiv (8 + 3b) \pmod{3}$
$x \equiv (2 + 0) \pmod{3}$
$x \equiv 2 \pmod{3}$
Поскольку остаток от деления $x$ на 3 всегда равен 2, $x$ никогда не может делиться на 3 нацело.
Ответ: таких целых значений $b$ не существует.