Номер 149, страница 27 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 3. Равносильные уравнения. Линейное уравнение с одной переменной. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 149, страница 27.

Условие.

149. Известно, что $n$ — натуральное число. Каким числом, чётным или нечётным, является значение выражения:

1) $4n$;

2) $2n - 1$;

3) $n(n + 1)$?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) Рассмотрим выражение $4n$. Поскольку $n$ — натуральное число, мы можем представить это выражение как $2 \cdot (2n)$. Так как $n$ — натуральное число, то $2n$ также является натуральным числом. Обозначим $k = 2n$. Тогда выражение принимает вид $2k$. Любое число, которое можно представить в виде $2k$, где $k$ — целое число, является чётным по определению. Следовательно, значение выражения $4n$ всегда является чётным числом для любого натурального $n$.
Ответ: чётное.

2) Рассмотрим выражение $2n - 1$. Для любого натурального числа $n$, произведение $2n$ является чётным числом (как произведение числа на 2). Выражение $2n - 1$ представляет собой число, которое на единицу меньше чётного числа. Если от чётного числа отнять единицу, результат всегда будет нечётным числом. Формально, любое чётное число можно записать в виде $2k$, тогда $2n - 1$ — это число вида $2k - 1$. Это выражение можно переписать как $2k - 2 + 1 = 2(k-1) + 1$. Обозначив $m = k-1$ (где $m$ — целое число), мы получаем форму $2m+1$, которая является общей формой записи нечётного числа. Таким образом, значение выражения $2n - 1$ всегда является нечётным числом.
Ответ: нечётное.

3) Рассмотрим выражение $n(n + 1)$. Это произведение двух последовательных натуральных чисел: $n$ и $n+1$. Среди двух любых последовательных натуральных чисел одно всегда является чётным, а другое — нечётным. Рассмотрим оба возможных случая.
Если $n$ — чётное число, то произведение $n(n+1)$ содержит чётный множитель $n$, и поэтому само произведение является чётным.
Если $n$ — нечётное число, то следующий за ним член $n+1$ будет чётным. В этом случае произведение $n(n+1)$ также содержит чётный множитель ($n+1$), и поэтому произведение снова является чётным.
Таким образом, поскольку в произведении $n(n+1)$ всегда есть хотя бы один чётный множитель, результат всегда будет чётным числом.
Ответ: чётное.