Номер 147, страница 27 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 3. Равносильные уравнения. Линейное уравнение с одной переменной. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 147, страница 27.

Условие.

147. Один работник может выполнить задание за 45 ч, а другому для этого надо в $1 \frac{1}{2}$ раза меньше времени, чем первому. За сколько часов они выполнят это задание, работая вместе? Какую часть задания при этом выполнит каждый из них?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для решения задачи давайте разделим ее на несколько шагов. Примем всю работу за 1 (единицу).

1. Найдем время, необходимое второму работнику.

Первый работник выполняет задание за $T_1 = 45$ часов. Второму работнику требуется в $1 \frac{1}{2}$ раза меньше времени. Переведем смешанное число в неправильную дробь:

$1 \frac{1}{2} = \frac{1 \times 2 + 1}{2} = \frac{3}{2}$

Чтобы найти время второго работника, разделим время первого на $\frac{3}{2}$:

$T_2 = 45 \div \frac{3}{2} = 45 \times \frac{2}{3} = \frac{45 \times 2}{3} = 15 \times 2 = 30$ часов.

2. Найдем производительность каждого работника.

Производительность — это часть работы, выполняемая за единицу времени (1 час).

Производительность первого работника: $P_1 = \frac{1}{T_1} = \frac{1}{45}$ (часть задания в час).

Производительность второго работника: $P_2 = \frac{1}{T_2} = \frac{1}{30}$ (часть задания в час).

За сколько часов они выполнят это задание, работая вместе?

Чтобы найти общее время, сначала найдем общую производительность, сложив производительности обоих работников:

$P_{общ} = P_1 + P_2 = \frac{1}{45} + \frac{1}{30}$

Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для 45 и 30 — это 90.

$P_{общ} = \frac{1 \times 2}{90} + \frac{1 \times 3}{90} = \frac{2}{90} + \frac{3}{90} = \frac{5}{90}$

Сократим полученную дробь:

$P_{общ} = \frac{5}{90} = \frac{1}{18}$ (часть задания в час).

Теперь найдем время, за которое они выполнят всю работу (1) вместе, разделив работу на общую производительность:

$T_{общ} = \frac{1}{P_{общ}} = 1 \div \frac{1}{18} = 1 \times 18 = 18$ часов.

Ответ: работая вместе, они выполнят задание за 18 часов.

Какую часть задания при этом выполнит каждый из них?

Чтобы найти, какую часть работы выполнил каждый, нужно его индивидуальную производительность умножить на общее время работы (18 часов).

Часть работы, выполненная первым работником:

$W_1 = P_1 \times T_{общ} = \frac{1}{45} \times 18 = \frac{18}{45}$

Сократим дробь (разделим числитель и знаменатель на 9):

$W_1 = \frac{18 \div 9}{45 \div 9} = \frac{2}{5}$

Часть работы, выполненная вторым работником:

$W_2 = P_2 \times T_{общ} = \frac{1}{30} \times 18 = \frac{18}{30}$

Сократим дробь (разделим числитель и знаменатель на 6):

$W_2 = \frac{18 \div 6}{30 \div 6} = \frac{3}{5}$

Ответ: первый работник выполнит $\frac{2}{5}$ задания, а второй — $\frac{3}{5}$ задания.