Номер 140, страница 26 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 3. Равносильные уравнения. Линейное уравнение с одной переменной. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 140, страница 26.

Условие.

140. В равенстве $2(1,5x - 0,5) = 7x + *$ замените звёздочку таким выражением, чтобы получившееся уравнение:

1) не имело корней;

2) имело бесконечно много корней;

3) имело один корень.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Сначала упростим левую часть исходного равенства, раскрыв скобки:

$2(1,5x - 0,5) = 2 \cdot 1,5x - 2 \cdot 0,5 = 3x - 1$

Таким образом, уравнение принимает вид $3x - 1 = 7x + *$.

Проанализируем, каким должно быть выражение, заменяющее звёздочку (*), для каждого из трех случаев.

1) не имело корней

Линейное уравнение не имеет корней, если после приведения подобных слагаемых коэффициенты при переменной $x$ в обеих частях уравнения равны, а свободные члены (числа без $x$) не равны.

Наше уравнение: $3x - 1 = 7x + *$.

Коэффициент при $x$ в левой части равен $3$. Чтобы в правой части коэффициент при $x$ также стал равен $3$, выражение, заменяющее звёздочку, должно содержать $-4x$ (поскольку $7x - 4x = 3x$).

Свободный член в левой части равен $-1$. Чтобы уравнение не имело корней, свободный член в правой части не должен быть равен $-1$. Значит, к $-4x$ можно прибавить любое число, кроме $-1$.

Например, выберем выражение $-4x + 5$.

Проверим, подставив его в уравнение:

$3x - 1 = 7x + (-4x + 5)$

$3x - 1 = 3x + 5$

$-1 = 5$

Получилось неверное числовое равенство, следовательно, уравнение не имеет корней.

Ответ: например, $-4x + 5$.

2) имело бесконечно много корней

Уравнение имеет бесконечно много корней, если оно является тождеством, то есть его левая и правая части полностью совпадают после всех преобразований.

Наше уравнение: $3x - 1 = 7x + *$.

Чтобы правая часть стала идентична левой ($3x - 1$), нужно найти такое выражение (*), чтобы выполнялось равенство:

$7x + * = 3x - 1$

Выразим отсюда искомое выражение:

$* = 3x - 1 - 7x$

$* = -4x - 1$

Проверим:

$3x - 1 = 7x + (-4x - 1)$

$3x - 1 = 3x - 1$

Получилось тождество, верное для любого значения $x$.

Ответ: $-4x - 1$.

3) имело один корень

Линейное уравнение имеет один корень, если коэффициенты при переменной $x$ в левой и правой частях не равны.

Наше уравнение: $3x - 1 = 7x + *$.

Коэффициент при $x$ в левой части равен $3$. Нам нужно, чтобы после подстановки выражения вместо звёздочки и приведения подобных слагаемых коэффициент при $x$ в правой части не был равен $3$.

Правая часть имеет вид $7x + *$. Если мы подставим вместо звёздочки любое выражение, в котором слагаемое с $x$ не равно $-4x$, то итоговый коэффициент при $x$ в правой части не будет равен $3$.

Самый простой вариант — подставить выражение, не содержащее $x$, например, число 0.

Проверим:

$3x - 1 = 7x + 0$

$3x - 1 = 7x$

$-4x = 1$

$x = -1/4$

Уравнение имеет один корень.

Ответ: например, $0$.