Номер 130, страница 26 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 3. Равносильные уравнения. Линейное уравнение с одной переменной. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 130, страница 26.

Условие.

130. Найдите все целые значения $m$, при которых корень уравнения:

1) $mx = 3$;

2) $(m + 4)x = 49$

является целым числом.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1)

Рассмотрим уравнение $mx = 3$.

Чтобы найти корень уравнения $x$, необходимо выразить его через $m$. Для этого разделим обе части уравнения на коэффициент $m$. Данная операция возможна только при условии, что $m \neq 0$.

Случай 1: $m = 0$.
Уравнение принимает вид $0 \cdot x = 3$, что эквивалентно $0 = 3$. Это неверное равенство, следовательно, при $m=0$ уравнение не имеет корней.

Случай 2: $m \neq 0$.
Корень уравнения можно найти, разделив обе части на $m$: $x = \frac{3}{m}$.

Согласно условию задачи, корень $x$ должен быть целым числом. Это означает, что результат деления $3$ на $m$ должен быть целым числом. Такое возможно только в том случае, если $m$ является целым делителем числа 3.

Целыми делителями числа 3 являются числа: 1, -1, 3, -3.

Ответ: -3, -1, 1, 3.

2)

Рассмотрим уравнение $(m + 4)x = 49$.

Аналогично первому пункту, выразим корень $x$ через $m$. Для этого разделим обе части уравнения на коэффициент при $x$, то есть на выражение $(m+4)$. Операция деления возможна при условии, что $(m+4) \neq 0$.

Случай 1: $m+4=0$, то есть $m = -4$.
Уравнение принимает вид $0 \cdot x = 49$, что эквивалентно $0 = 49$. Это неверное равенство, следовательно, при $m=-4$ уравнение не имеет корней.

Случай 2: $m+4 \neq 0$.
Корень уравнения равен $x = \frac{49}{m+4}$.

По условию, $m$ — целое число, значит, выражение $(m+4)$ также является целым числом. Чтобы корень $x$ был целым, необходимо, чтобы знаменатель $(m+4)$ был целым делителем числителя 49.

Найдем все целые делители числа 49. Это числа: 1, -1, 7, -7, 49, -49.

Теперь решим уравнения для $m$, приравнивая выражение $(m+4)$ к каждому из найденных делителей:
$m+4 = 1 \implies m = 1 - 4 = -3$
$m+4 = -1 \implies m = -1 - 4 = -5$
$m+4 = 7 \implies m = 7 - 4 = 3$
$m+4 = -7 \implies m = -7 - 4 = -11$
$m+4 = 49 \implies m = 49 - 4 = 45$
$m+4 = -49 \implies m = -49 - 4 = -53$

Все найденные значения $m$ являются целыми.

Ответ: -53, -11, -5, -3, 3, 45.