Номер 125, страница 25 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 3. Равносильные уравнения. Линейное уравнение с одной переменной. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 125, страница 25.

Условие.

125. Решите уравнение:

1) $|x| - 8 = -5$;

2) $|x| + 5 = 2$;

3) $|x + 12| = 3$;

4) $|8 - 0.2x| = 12$;

5) $|10x - 7| - 32 = -16$;

6) $||x| - 2| = 2$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) $|x| - 8 = -5$

Чтобы решить это уравнение, сначала изолируем выражение с модулем. Для этого перенесем $-8$ в правую часть уравнения с противоположным знаком:

$|x| = -5 + 8$

$|x| = 3$

Уравнение $|x| = 3$ означает, что мы ищем числа, расстояние от которых до нуля на координатной прямой равно 3. Таких чисел два: 3 и -3.

Следовательно, уравнение имеет два корня:

$x_1 = 3$ и $x_2 = -3$.

Ответ: $-3; 3$.

2) $|x| + 5 = 2$

Изолируем выражение с модулем, перенеся 5 в правую часть уравнения:

$|x| = 2 - 5$

$|x| = -3$

По определению, абсолютная величина (модуль) любого числа — это величина неотрицательная, то есть $|x| \ge 0$ для любого действительного числа $x$. Поскольку $-3$ является отрицательным числом, данное уравнение не может иметь решений.

Ответ: решений нет.

3) $|x + 12| = 3$

Это уравнение вида $|A|=b$, где $b > 0$. Оно равносильно совокупности двух уравнений: $A = b$ и $A = -b$. В нашем случае $A = x + 12$ и $b = 3$.

Рассмотрим два случая:

1) Выражение под модулем равно 3:

$x + 12 = 3$

$x = 3 - 12$

$x_1 = -9$

2) Выражение под модулем равно -3:

$x + 12 = -3$

$x = -3 - 12$

$x_2 = -15$

Уравнение имеет два корня.

Ответ: $-15; -9$.

4) $|8 - 0.2x| = 12$

Данное уравнение также раскрывается на два случая, так как значение модуля равно положительному числу.

1) $8 - 0.2x = 12$

$-0.2x = 12 - 8$

$-0.2x = 4$

$x = \frac{4}{-0.2}$

$x_1 = -20$

2) $8 - 0.2x = -12$

$-0.2x = -12 - 8$

$-0.2x = -20$

$x = \frac{-20}{-0.2}$

$x_2 = 100$

Получаем два корня.

Ответ: $-20; 100$.

5) $|10x - 7| - 32 = -16$

В первую очередь, изолируем модуль в левой части уравнения:

$|10x - 7| = -16 + 32$

$|10x - 7| = 16$

Теперь решаем полученное уравнение, рассмотрев два возможных случая:

1) $10x - 7 = 16$

$10x = 16 + 7$

$10x = 23$

$x_1 = 2.3$

2) $10x - 7 = -16$

$10x = -16 + 7$

$10x = -9$

$x_2 = -0.9$

Уравнение имеет два корня.

Ответ: $-0.9; 2.3$.

6) $||x| - 2| = 2$

Это уравнение с вложенным модулем. Начнем с раскрытия внешнего модуля. Уравнение $|A| = 2$ распадается на два:

1) $|x| - 2 = 2$

2) $|x| - 2 = -2$

Теперь решим каждое из этих двух уравнений отдельно.

Решение первого уравнения:

$|x| - 2 = 2$

$|x| = 4$

Отсюда получаем два корня: $x_1 = 4$ и $x_2 = -4$.

Решение второго уравнения:

$|x| - 2 = -2$

$|x| = -2 + 2$

$|x| = 0$

Отсюда получаем один корень: $x_3 = 0$.

Объединяя все найденные решения, получаем три корня.

Ответ: $-4; 0; 4$.