Страница 25 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

119. Найдите корень уравнения:

1) $ \frac{3m + 5}{4} = \frac{5m + 1}{3} $

2) $ \frac{5x + 3}{5} = \frac{x - 5}{8} $

1) Решим уравнение $\frac{3m + 5}{4} = \frac{5m + 1}{3}$.

Это уравнение представляет собой пропорцию. Мы можем решить его, используя свойство перекрестного умножения, то есть, умножив числитель левой части на знаменатель правой и числитель правой части на знаменатель левой.

$3 \cdot (3m + 5) = 4 \cdot (5m + 1)$

Теперь раскроем скобки в обеих частях уравнения, умножив число перед скобкой на каждый член внутри скобок:

$9m + 15 = 20m + 4$

Далее сгруппируем все члены с переменной $m$ в одной части уравнения, а все постоянные члены (числа) — в другой. Перенесем $9m$ в правую часть (изменив знак на минус) и $4$ в левую часть (также изменив знак на минус):

$15 - 4 = 20m - 9m$

Выполним вычитание в обеих частях:

$11 = 11m$

Чтобы найти значение $m$, разделим обе части уравнения на 11:

$m = \frac{11}{11}$

$m = 1$

Ответ: $1$

2) Решим уравнение $\frac{5x + 3}{5} = \frac{x - 5}{8}$.

Как и в предыдущем случае, это пропорция. Применим правило перекрестного умножения:

$8 \cdot (5x + 3) = 5 \cdot (x - 5)$

Раскроем скобки:

$8 \cdot 5x + 8 \cdot 3 = 5 \cdot x - 5 \cdot 5$

$40x + 24 = 5x - 25$

Теперь перенесем все члены с переменной $x$ в левую часть, а постоянные члены — в правую. Не забываем менять знак при переносе через знак равенства:

$40x - 5x = -25 - 24$

Приведем подобные слагаемые в каждой части уравнения:

$35x = -49$

Для того чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на коэффициент при $x$, то есть на 35:

$x = \frac{-49}{35}$

Полученную дробь можно сократить. Наибольший общий делитель для 49 и 35 — это 7. Разделим числитель и знаменатель на 7:

$x = -\frac{49 \div 7}{35 \div 7} = -\frac{7}{5}$

Ответ можно также представить в виде десятичной дроби: $x = -1.4$.

Ответ: $-\frac{7}{5}$

120. Чему равен корень уравнения:

1) $ \frac{2x}{3} + \frac{5x}{4} = 23; $

2) $ \frac{x}{6} - \frac{x}{8} = \frac{7}{36}; $

3) $ \frac{3x}{10} - \frac{4}{15} = \frac{x}{6}? $

1) $\frac{2x}{3} + \frac{5x}{4} = 23$

Для решения данного уравнения необходимо избавиться от дробей. Для этого найдем наименьший общий знаменатель для чисел 3 и 4. Наименьшее общее кратное (НОК) для 3 и 4 равно 12. Умножим обе части уравнения на 12:

$12 \cdot (\frac{2x}{3} + \frac{5x}{4}) = 12 \cdot 23$

Раскроем скобки, умножив каждый член на 12:

$\frac{12 \cdot 2x}{3} + \frac{12 \cdot 5x}{4} = 276$

Сократим дроби:

$4 \cdot 2x + 3 \cdot 5x = 276$

Выполним умножение:

$8x + 15x = 276$

Приведем подобные слагаемые в левой части уравнения:

$23x = 276$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 23:

$x = \frac{276}{23}$

$x = 12$

Ответ: 12

2) $\frac{x}{6} - \frac{x}{8} = \frac{7}{36}$

Чтобы решить это уравнение, приведем все дроби к общему знаменателю. Найдем НОК для знаменателей 6, 8 и 36.

$6 = 2 \cdot 3$

$8 = 2^3$

$36 = 2^2 \cdot 3^2$

НОК(6, 8, 36) = $2^3 \cdot 3^2 = 8 \cdot 9 = 72$.

Умножим обе части уравнения на 72:

$72 \cdot (\frac{x}{6} - \frac{x}{8}) = 72 \cdot \frac{7}{36}$

Раскроем скобки:

$\frac{72x}{6} - \frac{72x}{8} = \frac{72 \cdot 7}{36}$

Сократим дроби:

$12x - 9x = 2 \cdot 7$

$12x - 9x = 14$

Вычтем подобные слагаемые в левой части:

$3x = 14$

Найдем $x$:

$x = \frac{14}{3}$

Можно также представить ответ в виде смешанной дроби: $x = 4\frac{2}{3}$.

Ответ: $\frac{14}{3}$

3) $\frac{3x}{10} - \frac{4}{15} = \frac{x}{6}$

Для начала сгруппируем слагаемые, содержащие переменную $x$, в одной части уравнения, а свободные члены — в другой. Перенесем $\frac{x}{6}$ в левую часть, а $-\frac{4}{15}$ в правую, изменив их знаки:

$\frac{3x}{10} - \frac{x}{6} = \frac{4}{15}$

Теперь найдем общий знаменатель для 10, 6 и 15. НОК(10, 6, 15) = 30. Умножим обе части уравнения на 30:

$30 \cdot (\frac{3x}{10} - \frac{x}{6}) = 30 \cdot \frac{4}{15}$

Раскроем скобки:

$\frac{30 \cdot 3x}{10} - \frac{30x}{6} = \frac{30 \cdot 4}{15}$

Сократим дроби:

$3 \cdot 3x - 5x = 2 \cdot 4$

Выполним умножение:

$9x - 5x = 8$

Приведем подобные слагаемые:

$4x = 8$

Найдем $x$, разделив обе части на 4:

$x = \frac{8}{4}$

$x = 2$

Ответ: 2

121. Решите уравнение:

1) $\frac{7x}{6} - \frac{5x}{18} = \frac{4}{27}$;

2) $\frac{2x}{7} + \frac{x}{4} = \frac{15}{14}$;

3) $-\frac{x}{8} + 1 = \frac{x}{12}$.

1) $\frac{7x}{6} - \frac{5x}{18} = \frac{4}{27}$

Чтобы решить это уравнение, избавимся от дробей, умножив обе части уравнения на наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей 6, 18 и 27.
Разложим знаменатели на простые множители:
$6 = 2 \cdot 3$
$18 = 2 \cdot 3^2$
$27 = 3^3$
НОК(6, 18, 27) = $2 \cdot 3^3 = 2 \cdot 27 = 54$.
Умножим каждый член уравнения на 54:
$54 \cdot \frac{7x}{6} - 54 \cdot \frac{5x}{18} = 54 \cdot \frac{4}{27}$
Сокращаем дроби:
$9 \cdot 7x - 3 \cdot 5x = 2 \cdot 4$
$63x - 15x = 8$
Приводим подобные слагаемые в левой части:
$48x = 8$
Находим x:
$x = \frac{8}{48}$
$x = \frac{1}{6}$
Ответ: $x = \frac{1}{6}$.

2) $\frac{2x}{7} + \frac{x}{4} = \frac{15}{14}$

Найдем наименьшее общее кратное знаменателей 7, 4 и 14.
НОК(7, 4, 14) = 28.
Умножим обе части уравнения на 28, чтобы избавиться от дробей:
$28 \cdot \frac{2x}{7} + 28 \cdot \frac{x}{4} = 28 \cdot \frac{15}{14}$
Сокращаем дроби:
$4 \cdot 2x + 7 \cdot x = 2 \cdot 15$
$8x + 7x = 30$
Складываем слагаемые с x:
$15x = 30$
Находим x:
$x = \frac{30}{15}$
$x = 2$
Ответ: $x = 2$.

3) $-\frac{x}{8} + 1 = \frac{x}{12}$

Сначала сгруппируем члены, содержащие x, с одной стороны уравнения. Перенесем $-\frac{x}{8}$ в правую часть, изменив знак:
$1 = \frac{x}{12} + \frac{x}{8}$
Теперь приведем дроби в правой части к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для 12 и 8 это 24.
$1 = \frac{2 \cdot x}{2 \cdot 12} + \frac{3 \cdot x}{3 \cdot 8}$
$1 = \frac{2x}{24} + \frac{3x}{24}$
$1 = \frac{2x + 3x}{24}$
$1 = \frac{5x}{24}$
Чтобы найти x, умножим обе части на 24:
$24 = 5x$
Отсюда:
$x = \frac{24}{5}$
$x = 4.8$
Ответ: $x = \frac{24}{5}$.

122. При каком значении переменной:

1) значение выражения $4x - 0,2(8x - 7)$ равно $-22,6$;

2) выражения $0,2(3 - 2y)$ и $0,3(7 - 6y) + 2,7$ принимают равные значения;

3) значение выражения $0,6y$ на $1,5$ больше значения выражения $0,3(y - 4)$;

4) значение выражения $5x - 1$ в $5$ раз меньше значения выражения $6,5 + 2x$?

1) Чтобы найти значение переменной, при котором значение выражения $4x - 0,2(8x - 7)$ равно $-22,6$, необходимо составить и решить уравнение. Приравняем данное выражение к числу $-22,6$:
$4x - 0,2(8x - 7) = -22,6$
Сначала раскроем скобки, умножив $-0,2$ на каждый член в скобках:
$4x - 0,2 \cdot 8x - 0,2 \cdot (-7) = -22,6$
$4x - 1,6x + 1,4 = -22,6$
Теперь приведем подобные слагаемые в левой части уравнения:
$(4 - 1,6)x + 1,4 = -22,6$
$2,4x + 1,4 = -22,6$
Перенесем число $1,4$ из левой части в правую, изменив его знак на противоположный:
$2,4x = -22,6 - 1,4$
$2,4x = -24$
Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на $2,4$:
$x = \frac{-24}{2,4}$
$x = -10$
Ответ: $-10$.

2) Чтобы найти значение переменной, при котором выражения $0,2(3 - 2y)$ и $0,3(7 - 6y) + 2,7$ принимают равные значения, нужно приравнять их друг к другу и решить полученное уравнение:
$0,2(3 - 2y) = 0,3(7 - 6y) + 2,7$
Раскроем скобки в обеих частях уравнения:
$0,2 \cdot 3 - 0,2 \cdot 2y = 0,3 \cdot 7 - 0,3 \cdot 6y + 2,7$
$0,6 - 0,4y = 2,1 - 1,8y + 2,7$
Приведем подобные слагаемые в правой части уравнения:
$0,6 - 0,4y = (2,1 + 2,7) - 1,8y$
$0,6 - 0,4y = 4,8 - 1,8y$
Соберем слагаемые с переменной $y$ в левой части, а свободные члены — в правой. Для этого перенесем $-1,8y$ влево и $0,6$ вправо, меняя их знаки:
$1,8y - 0,4y = 4,8 - 0,6$
$1,4y = 4,2$
Найдем $y$, разделив обе части уравнения на $1,4$:
$y = \frac{4,2}{1,4}$
$y = 3$
Ответ: $3$.

3) Условие, что значение выражения $0,6y$ на $1,5$ больше значения выражения $0,3(y - 4)$, можно записать в виде уравнения. Это означает, что если к меньшему выражению прибавить $1,5$, то оно станет равно большему:
$0,6y = 0,3(y - 4) + 1,5$
Раскроем скобки в правой части уравнения:
$0,6y = 0,3 \cdot y - 0,3 \cdot 4 + 1,5$
$0,6y = 0,3y - 1,2 + 1,5$
Приведем подобные слагаемые в правой части:
$0,6y = 0,3y + 0,3$
Перенесем слагаемое $0,3y$ в левую часть уравнения с противоположным знаком:
$0,6y - 0,3y = 0,3$
$0,3y = 0,3$
Найдем $y$, разделив обе части уравнения на $0,3$:
$y = \frac{0,3}{0,3}$
$y = 1$
Ответ: $1$.

4) Условие, что значение выражения $5x - 1$ в $5$ раз меньше значения выражения $6,5 + 2x$, означает, что если умножить меньшее выражение на $5$, оно станет равно большему. Составим уравнение:
$5 \cdot (5x - 1) = 6,5 + 2x$
Раскроем скобки в левой части уравнения:
$5 \cdot 5x - 5 \cdot 1 = 6,5 + 2x$
$25x - 5 = 6,5 + 2x$
Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую, меняя их знаки при переносе:
$25x - 2x = 6,5 + 5$
$23x = 11,5$
Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на $23$:
$x = \frac{11,5}{23}$
$x = 0,5$
Ответ: $0,5$.

123. При каком значении переменной:

1) выражения $6 - (2x - 9)$ и $(18 + 2x) - 3(x - 3)$ принимают равные значения;

2) значение выражения $-4(2y - 0,9)$ на $2,4$ меньше значения выражения $5,6 - 10y$?

1) выражения 6 − (2x − 9) и (18 + 2x) − 3(x − 3) принимают равные значения;

Чтобы найти значение переменной, при котором значения выражений равны, необходимо приравнять эти выражения и решить полученное уравнение.

Составим уравнение:

$6 - (2x - 9) = (18 + 2x) - 3(x - 3)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения. В левой части изменим знаки слагаемых в скобках на противоположные, так как перед скобкой стоит знак минус. В правой части умножим $-3$ на каждое слагаемое в скобках $(x-3)$.

$6 - 2x + 9 = 18 + 2x - 3x + 9$

Приведем подобные слагаемые в каждой части уравнения.

$(6 + 9) - 2x = (18 + 9) + (2x - 3x)$

$15 - 2x = 27 - x$

Теперь перенесем слагаемые, содержащие переменную $x$, в левую часть уравнения, а постоянные члены — в правую. При переносе слагаемого из одной части в другую его знак меняется на противоположный.

$-2x + x = 27 - 15$

Выполним вычисления.

$-x = 12$

Чтобы найти $x$, умножим обе части уравнения на $-1$.

$x = -12$

Ответ: $x = -12$

2) значение выражения −4(2y − 0,9) на 2,4 меньше значения выражения 5,6 − 10y?

Условие "значение первого выражения на 2,4 меньше значения второго" означает, что если к первому выражению прибавить 2,4, то оно станет равным второму. Это можно записать в виде уравнения: первое выражение + 2,4 = второе выражение. Или, что то же самое: первое выражение = второе выражение - 2,4.

Составим уравнение по условию задачи:

$-4(2y - 0,9) = (5,6 - 10y) - 2,4$

Раскроем скобки в левой части уравнения, умножив $-4$ на каждое слагаемое. В правой части выполним вычитание.

$-4 \cdot 2y - 4 \cdot (-0,9) = (5,6 - 2,4) - 10y$

$-8y + 3,6 = 3,2 - 10y$

Перенесем слагаемые с переменной $y$ в левую часть, а числовые значения — в правую, меняя знаки при переносе.

$-8y + 10y = 3,2 - 3,6$

Приведем подобные слагаемые.

$2y = -0,4$

Разделим обе части уравнения на 2, чтобы найти $y$.

$y = \frac{-0,4}{2}$

$y = -0,2$

Ответ: $y = -0,2$

124. Решите уравнение:

1) $ |x| + 6 = 13; $

2) $ |x| - 7 = -12; $

3) $ 7|x| - 3 = 0; $

4) $ |x - 5| = 4; $

5) $ |9 + x| = 0; $

6) $ |x - 4| = -2; $

7) $ |3x + 4| = 2; $

8) $ |2x + 1| + 13 = 14; $

9) $ ||x| - 3| = 5. $

1) $|x| + 6 = 13$

Для решения этого уравнения сначала изолируем выражение с модулем. Перенесем 6 в правую часть уравнения, изменив знак на противоположный:
$|x| = 13 - 6$
$|x| = 7$

Уравнение вида $|a| = b$, где $b > 0$, имеет два решения: $a = b$ и $a = -b$.
Следовательно, получаем два корня:
$x_1 = 7$
$x_2 = -7$

Ответ: $7; -7$.

2) $|x| - 7 = -12$

Изолируем выражение с модулем, перенеся -7 в правую часть уравнения:
$|x| = -12 + 7$
$|x| = -5$

Модуль (абсолютная величина) любого числа по определению является неотрицательной величиной, то есть $|x| \ge 0$. Уравнение $|x| = -5$ не может быть верным ни при каком значении $x$.
Следовательно, у уравнения нет решений.

Ответ: корней нет.

3) $7|x| - 3 = 0$

Сначала изолируем выражение с модулем. Переносим -3 в правую часть и делим обе части на 7:
$7|x| = 3$
$|x| = \frac{3}{7}$

Это уравнение имеет два корня:
$x_1 = \frac{3}{7}$
$x_2 = -\frac{3}{7}$

Ответ: $\frac{3}{7}; -\frac{3}{7}$.

4) $|x - 5| = 4$

Данное уравнение эквивалентно двум отдельным уравнениям:
1) $x - 5 = 4$
$x = 4 + 5$
$x_1 = 9$

2) $x - 5 = -4$
$x = -4 + 5$
$x_2 = 1$

Ответ: $1; 9$.

5) $|9 + x| = 0$

Модуль выражения равен нулю только в том случае, если само выражение равно нулю.
$9 + x = 0$
$x = -9$

Ответ: $-9$.

6) $|x - 4| = -2$

Модуль любого выражения всегда является неотрицательным числом. Таким образом, он не может быть равен -2.
У данного уравнения нет решений.

Ответ: корней нет.

7) $|3x + 4| = 2$

Раскрываем модуль, рассматривая два случая:
1) $3x + 4 = 2$
$3x = 2 - 4$
$3x = -2$
$x_1 = -\frac{2}{3}$

2) $3x + 4 = -2$
$3x = -2 - 4$
$3x = -6$
$x_2 = -2$

Ответ: $-2; -\frac{2}{3}$.

8) $|2x + 1| + 13 = 14$

Изолируем модуль в левой части уравнения:
$|2x + 1| = 14 - 13$
$|2x + 1| = 1$

Теперь раскрываем модуль:
1) $2x + 1 = 1$
$2x = 1 - 1$
$2x = 0$
$x_1 = 0$

2) $2x + 1 = -1$
$2x = -1 - 1$
$2x = -2$
$x_2 = -1$

Ответ: $-1; 0$.

9) $||x| - 3| = 5$

Это уравнение с вложенным модулем. Сначала раскрываем внешний модуль. Уравнение распадается на два:
1) $|x| - 3 = 5$
2) $|x| - 3 = -5$

Теперь решаем каждое из этих уравнений.
Решаем первое уравнение:
$|x| - 3 = 5$
$|x| = 5 + 3$
$|x| = 8$
Это дает нам два корня: $x_1 = 8$ и $x_2 = -8$.

Решаем второе уравнение:
$|x| - 3 = -5$
$|x| = -5 + 3$
$|x| = -2$
Это уравнение не имеет решений, так как модуль не может быть отрицательным.

Таким образом, исходное уравнение имеет только два корня.

Ответ: $-8; 8$.

125. Решите уравнение:

1) $|x| - 8 = -5$;

2) $|x| + 5 = 2$;

3) $|x + 12| = 3$;

4) $|8 - 0.2x| = 12$;

5) $|10x - 7| - 32 = -16$;

6) $||x| - 2| = 2$.

1) $|x| - 8 = -5$

Чтобы решить это уравнение, сначала изолируем выражение с модулем. Для этого перенесем $-8$ в правую часть уравнения с противоположным знаком:

$|x| = -5 + 8$

$|x| = 3$

Уравнение $|x| = 3$ означает, что мы ищем числа, расстояние от которых до нуля на координатной прямой равно 3. Таких чисел два: 3 и -3.

Следовательно, уравнение имеет два корня:

$x_1 = 3$ и $x_2 = -3$.

Ответ: $-3; 3$.

2) $|x| + 5 = 2$

Изолируем выражение с модулем, перенеся 5 в правую часть уравнения:

$|x| = 2 - 5$

$|x| = -3$

По определению, абсолютная величина (модуль) любого числа — это величина неотрицательная, то есть $|x| \ge 0$ для любого действительного числа $x$. Поскольку $-3$ является отрицательным числом, данное уравнение не может иметь решений.

Ответ: решений нет.

3) $|x + 12| = 3$

Это уравнение вида $|A|=b$, где $b > 0$. Оно равносильно совокупности двух уравнений: $A = b$ и $A = -b$. В нашем случае $A = x + 12$ и $b = 3$.

Рассмотрим два случая:

1) Выражение под модулем равно 3:

$x + 12 = 3$

$x = 3 - 12$

$x_1 = -9$

2) Выражение под модулем равно -3:

$x + 12 = -3$

$x = -3 - 12$

$x_2 = -15$

Уравнение имеет два корня.

Ответ: $-15; -9$.

4) $|8 - 0.2x| = 12$

Данное уравнение также раскрывается на два случая, так как значение модуля равно положительному числу.

1) $8 - 0.2x = 12$

$-0.2x = 12 - 8$

$-0.2x = 4$

$x = \frac{4}{-0.2}$

$x_1 = -20$

2) $8 - 0.2x = -12$

$-0.2x = -12 - 8$

$-0.2x = -20$

$x = \frac{-20}{-0.2}$

$x_2 = 100$

Получаем два корня.

Ответ: $-20; 100$.

5) $|10x - 7| - 32 = -16$

В первую очередь, изолируем модуль в левой части уравнения:

$|10x - 7| = -16 + 32$

$|10x - 7| = 16$

Теперь решаем полученное уравнение, рассмотрев два возможных случая:

1) $10x - 7 = 16$

$10x = 16 + 7$

$10x = 23$

$x_1 = 2.3$

2) $10x - 7 = -16$

$10x = -16 + 7$

$10x = -9$

$x_2 = -0.9$

Уравнение имеет два корня.

Ответ: $-0.9; 2.3$.

6) $||x| - 2| = 2$

Это уравнение с вложенным модулем. Начнем с раскрытия внешнего модуля. Уравнение $|A| = 2$ распадается на два:

1) $|x| - 2 = 2$

2) $|x| - 2 = -2$

Теперь решим каждое из этих двух уравнений отдельно.

Решение первого уравнения:

$|x| - 2 = 2$

$|x| = 4$

Отсюда получаем два корня: $x_1 = 4$ и $x_2 = -4$.

Решение второго уравнения:

$|x| - 2 = -2$

$|x| = -2 + 2$

$|x| = 0$

Отсюда получаем один корень: $x_3 = 0$.

Объединяя все найденные решения, получаем три корня.

Ответ: $-4; 0; 4$.

126. При каком значении a уравнение:

1) $5ax = -45$ имеет корень, равный числу 3;

2) $(a-4)x = -5a + 4x - 7$ имеет корень, равный числу $-6$?

1) Чтобы найти значение параметра $a$, при котором уравнение $5ax = -45$ имеет корень, равный 3, необходимо подставить значение $x=3$ в это уравнение.

Выполним подстановку:

$5 \cdot a \cdot 3 = -45$

Упростим левую часть уравнения, перемножив числовые коэффициенты:

$15a = -45$

Теперь, чтобы найти $a$, разделим обе части уравнения на 15:

$a = \frac{-45}{15}$

$a = -3$

Проверка: при $a = -3$ исходное уравнение принимает вид $5 \cdot (-3) \cdot x = -45$, то есть $-15x = -45$. Корень этого уравнения $x = \frac{-45}{-15} = 3$, что соответствует условию.

Ответ: $a = -3$.

2) Чтобы найти значение параметра $a$, при котором уравнение $(a-4)x = -5a + 4x - 7$ имеет корень, равный -6, подставим значение $x=-6$ в исходное уравнение.

Выполним подстановку:

$(a-4) \cdot (-6) = -5a + 4 \cdot (-6) - 7$

Раскроем скобки в левой части и выполним умножение в правой части:

$-6a + 24 = -5a - 24 - 7$

Упростим правую часть уравнения:

$-6a + 24 = -5a - 31$

Теперь соберем все слагаемые, содержащие $a$, в одной части уравнения, а числовые слагаемые — в другой. Перенесем $-6a$ в правую часть (знак изменится на "+"), а $-31$ — в левую (знак изменится на "+"):

$24 + 31 = -5a + 6a$

Выполним сложение в обеих частях:

$55 = a$

Таким образом, искомое значение параметра $a$ равно 55.

Ответ: $a = 55$.

127. При каком значении a уравнение:

1) $3ax = 12 - x$ имеет корень, равный числу $-9$;

2) $(5a + 2)x = 8 - 2a$ имеет корень, равный числу 2?

1) Чтобы найти значение a, при котором уравнение $3ax = 12 - x$ имеет корень, равный числу $-9$, нужно подставить это значение x в уравнение и решить его относительно a.

Подставляем $x = -9$ в исходное уравнение:

$3a(-9) = 12 - (-9)$

Выполняем вычисления:

$-27a = 12 + 9$

$-27a = 21$

Теперь находим a, разделив обе части уравнения на $-27$:

$a = \frac{21}{-27}$

Сокращаем дробь, разделив числитель и знаменатель на 3:

$a = -\frac{7}{9}$

Ответ: $-\frac{7}{9}$

2) Чтобы найти значение a, при котором уравнение $(5a + 2)x = 8 - 2a$ имеет корень, равный числу 2, подставим значение $x = 2$ в это уравнение.

Подставляем $x = 2$:

$(5a + 2) \cdot 2 = 8 - 2a$

Раскрываем скобки в левой части уравнения:

$10a + 4 = 8 - 2a$

Переносим слагаемые, содержащие a, в левую часть, а числовые значения — в правую, меняя знаки при переносе:

$10a + 2a = 8 - 4$

Приводим подобные слагаемые:

$12a = 4$

Находим a, разделив обе части уравнения на 12:

$a = \frac{4}{12}$

Сокращаем дробь, разделив числитель и знаменатель на 4:

$a = \frac{1}{3}$

Ответ: $\frac{1}{3}$

128. Укажите какое-либо значение b, при котором будет целым числом корень уравнения:

1) $0,1x = b;$

2) $bx = 21;$

3) $\frac{1}{6}x = b;$

4) $bx = \frac{1}{6}.$

1)

В уравнении $0,1x = b$ выразим переменную $x$ через $b$:
$x = \frac{b}{0,1}$
$x = 10b$
Чтобы корень $x$ был целым числом, произведение $10b$ также должно быть целым. Этого можно достичь, выбрав любое целое число для $b$. Например, выберем $b=2$.
В этом случае корень уравнения будет равен $x = 10 \cdot 2 = 20$. Число $20$ является целым.

Ответ: $b=2$.

2)

В уравнении $bx = 21$ выразим переменную $x$ (при условии, что $b \neq 0$):
$x = \frac{21}{b}$
Чтобы корень $x$ был целым числом, значение $b$ должно быть делителем числа $21$.
Целыми делителями числа $21$ являются числа $\pm1, \pm3, \pm7, \pm21$.
Выберем любое из этих значений, например, $b=7$.
Тогда корень уравнения будет равен $x = \frac{21}{7} = 3$. Число $3$ является целым.

Ответ: $b=7$.

3)

В уравнении $\frac{1}{6}x = b$ выразим переменную $x$ через $b$:
$x = \frac{b}{\frac{1}{6}}$
$x = 6b$
Чтобы корень $x$ был целым числом, произведение $6b$ должно быть целым. Для этого достаточно выбрать любое целое число для $b$. Например, выберем $b=5$.
Тогда корень уравнения будет равен $x = 6 \cdot 5 = 30$. Число $30$ является целым.

Ответ: $b=5$.

4)

В уравнении $bx = \frac{1}{6}$ выразим переменную $x$ (при условии, что $b \neq 0$):
$x = \frac{\frac{1}{6}}{b} = \frac{1}{6b}$
Чтобы корень $x$ был целым числом, которое мы обозначим как $k$ ($k \in \mathbb{Z}$ и $k \neq 0$), должно выполняться равенство $k = \frac{1}{6b}$.
Из этого равенства следует, что $6b = \frac{1}{k}$.
Чтобы найти подходящее значение $b$, мы можем выбрать любое ненулевое целое значение для $k$. Например, пусть $k=1$.
Тогда $6b = \frac{1}{1} = 1$, откуда $b = \frac{1}{6}$.
При $b = \frac{1}{6}$ корень уравнения равен $x = \frac{1}{6 \cdot \frac{1}{6}} = 1$. Число $1$ является целым.

Ответ: $b=\frac{1}{6}$.

129. Составьте уравнение, которое:

1) имеет единственный корень, равный числу -4;

2) имеет бесконечно много корней;

3) не имеет корней.

1) имеет единственный корень, равный числу −4;

Чтобы составить уравнение с единственным корнем, равным $-4$, необходимо, чтобы при подстановке этого числа в уравнение оно превращалось в верное числовое равенство, и чтобы других таких чисел не существовало. Самый простой способ — это исходить из самого равенства $x = -4$.

Преобразуем это равенство, перенеся число $-4$ в левую часть. Для этого прибавим $4$ к обеим частям уравнения:

$x + 4 = -4 + 4$

$x + 4 = 0$

Полученное уравнение $x + 4 = 0$ является линейным и имеет единственный корень, так как коэффициент при $x$ не равен нулю. Решив его, мы убеждаемся, что корень равен $-4$. Можно привести и другие примеры, например $2x = -8$ или $x - 1 = -5$.

Ответ: $x + 4 = 0$

2) имеет бесконечно много корней;

Уравнение имеет бесконечно много корней, если оно является тождеством, то есть равенством, которое верно при любом значении переменной. При решении такого уравнения мы приходим к верному числовому равенству вида $0=0$.

Чтобы составить такое уравнение, можно взять любое выражение с переменной, выполнить над ним тождественное преобразование и приравнять исходное и полученное выражения. Например, возьмем выражение $3(x+2)$ и раскроем скобки: $3x+6$.

Составим уравнение:

$3(x+2) = 3x+6$

Это уравнение будет верным для любого значения $x$. Если мы попытаемся его решить, то получим:

$3x + 6 = 3x + 6$

$3x - 3x = 6 - 6$

$0 \cdot x = 0$

Это равенство справедливо для любого $x$.

Ответ: $3(x+2) = 3x+6$

3) не имеет корней.

Уравнение не имеет корней, если при его решении мы приходим к противоречию — неверному числовому равенству (например, $0=1$).

Для составления такого уравнения можно взять любое неверное равенство и прибавить к обеим его частям одно и то же выражение с переменной. Начнем с неверного равенства $5 = 6$. Прибавим к обеим частям $x$:

$x + 5 = x + 6$

Полученное уравнение не имеет корней. Если мы попытаемся его решить, то получим противоречие:

$x - x = 6 - 5$

$0 = 1$

Это равенство ложно, следовательно, ни одно значение $x$ не может удовлетворять исходному уравнению.

Ответ: $x+5=x+6$