Страница 31 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

165. Расстояние между двумя городами мотоциклист проехал за 0,8 ч, а велосипедист – за 4 ч. Скорость велосипедиста на 48 км/ч меньше скорости мотоциклиста. Найдите скорость каждого из них.

Для решения этой задачи составим уравнение. Пусть $x$ км/ч — скорость мотоциклиста. Согласно условию, скорость велосипедиста на 48 км/ч меньше, следовательно, она составляет $(x - 48)$ км/ч.

Расстояние — это произведение скорости на время ($S = v \cdot t$). Мотоциклист и велосипедист проехали одинаковое расстояние между городами.

Расстояние, которое проехал мотоциклист за 0,8 ч, равно: $S_м = x \cdot 0,8$ км.

Расстояние, которое проехал велосипедист за 4 ч, равно: $S_в = (x - 48) \cdot 4$ км.

Так как расстояния равны ($S_м = S_в$), мы можем приравнять эти два выражения и составить уравнение:

$0,8x = 4(x - 48)$

Решим полученное уравнение, чтобы найти $x$:

1. Раскроем скобки в правой части уравнения:

$0,8x = 4x - 192$

2. Перенесем слагаемые с переменной $x$ в одну сторону, а числовые значения — в другую:

$192 = 4x - 0,8x$

3. Упростим правую часть:

$192 = 3,2x$

4. Найдем $x$, разделив 192 на 3,2:

$x = \frac{192}{3,2} = \frac{1920}{32} = 60$

Таким образом, скорость мотоциклиста составляет 60 км/ч.

Теперь найдем скорость велосипедиста:

$x - 48 = 60 - 48 = 12$ км/ч.

Ответ: скорость мотоциклиста — 60 км/ч, скорость велосипедиста — 12 км/ч.

166. За 2 кг конфет одного вида заплатили столько же, сколько за 3,5 кг конфет другого вида. Какова цена каждого вида конфет, если 1 кг конфет первого вида на 144 р. дороже 1 кг конфет второго вида?

Для решения задачи составим уравнение. Пусть $x$ рублей — это цена 1 кг конфет второго вида.

Согласно условию, 1 кг конфет первого вида на 144 рубля дороже, следовательно, его цена составляет $(x + 144)$ рублей.

Стоимость 2 кг конфет первого вида можно выразить как $2 \cdot (x + 144)$ рублей.

Стоимость 3,5 кг конфет второго вида составляет $3,5 \cdot x$ рублей.

Поскольку за обе покупки заплатили одинаковую сумму, мы можем приравнять их стоимости и составить уравнение:

$2 \cdot (x + 144) = 3,5x$

Теперь решим это уравнение. Сначала раскроем скобки в левой части:

$2x + 288 = 3,5x$

Далее перенесем все слагаемые с переменной $x$ в одну сторону уравнения, а числовые значения — в другую. Вычтем $2x$ из обеих частей:

$288 = 3,5x - 2x$

$288 = 1,5x$

Чтобы найти $x$, разделим 288 на 1,5:

$x = \frac{288}{1,5} = \frac{2880}{15} = 192$

Таким образом, цена 1 кг конфет второго вида составляет 192 рубля.

Теперь найдем цену 1 кг конфет первого вида, прибавив 144 рубля:

$192 + 144 = 336$

Цена 1 кг конфет первого вида составляет 336 рублей.

Ответ: цена 1 кг конфет первого вида — 336 рублей, цена 1 кг конфет второго вида — 192 рубля.

167. Килограмм огурцов на 24 р. дешевле килограмма помидоров. Сколько стоит 1 кг помидоров, если за 3,2 кг помидоров заплатили столько, сколько за 4 кг огурцов?

Пусть $x$ — это цена 1 кг помидоров в рублях.

Из условия задачи известно, что килограмм огурцов на 24 рубля дешевле килограмма помидоров. Значит, цена 1 кг огурцов составляет $(x - 24)$ рубля.

Также в условии сказано, что стоимость 3,2 кг помидоров равна стоимости 4 кг огурцов. На основе этого можно составить уравнение:

$3.2 \cdot x = 4 \cdot (x - 24)$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти $x$. Сначала раскроем скобки в правой части уравнения:

$3.2x = 4x - 96$

Перенесем слагаемые, содержащие $x$, в одну сторону, а числовые значения — в другую:

$4x - 3.2x = 96$

$0.8x = 96$

Теперь найдем $x$, разделив обе части уравнения на 0.8:

$x = \frac{96}{0.8}$

$x = 120$

Таким образом, мы нашли, что цена 1 кг помидоров составляет 120 рублей.

Ответ: 120 рублей.

168. В одном баке было в 3 раза больше воды, чем в другом. Когда в первый бак долили 16 л воды, а во второй – 80 л, то в обоих баках воды стало поровну. Сколько литров воды было сначала в каждом баке?

Для решения задачи введем переменную. Пусть $x$ литров — это количество воды, которое было сначала во втором баке.

По условию, в первом баке было в 3 раза больше воды, значит, в нем было $3x$ литров.

Когда в первый бак долили 16 литров, в нем стало $(3x + 16)$ литров воды.

Когда во второй бак долили 80 литров, в нем стало $(x + 80)$ литров воды.

После этого количество воды в обоих баках стало равным. Составим и решим уравнение:

$3x + 16 = x + 80$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть уравнения, а числовые значения — в правую, меняя знаки при переносе:

$3x - x = 80 - 16$

$2x = 64$

$x = 64 / 2$

$x = 32$

Итак, мы нашли, что изначально во втором баке было 32 литра воды.

Теперь найдем, сколько воды было в первом баке:

$3x = 3 \cdot 32 = 96$ литров.

Проверим: после добавления воды в первом баке стало $96 + 16 = 112$ литров, а во втором $32 + 80 = 112$ литров. Количество воды стало равным, значит, задача решена верно.

Ответ: сначала в первом баке было 96 литров воды, а во втором — 32 литра.

169. На одной полке было в 4 раза больше книг, чем на другой. Когда с первой полки взяли 5 книг, а на вторую поставили 16 книг, то на обеих полках книг стало поровну. Сколько книг было сначала на каждой полке?

Для решения задачи введем переменную. Пусть $x$ — количество книг, которое изначально было на второй полке. Поскольку на первой полке было в 4 раза больше книг, то их количество составляло $4x$.

Когда с первой полки взяли 5 книг, на ней осталось $4x - 5$ книг.

Когда на вторую полку поставили 16 книг, на ней стало $x + 16$ книг.

По условию задачи, после этих изменений количество книг на обеих полках стало равным. Составим уравнение на основе этого условия:

$4x - 5 = x + 16$

Теперь решим это уравнение. Перенесем все слагаемые, содержащие $x$, в левую часть уравнения, а свободные члены — в правую. При переносе слагаемого из одной части уравнения в другую его знак меняется на противоположный.

$4x - x = 16 + 5$

Приведем подобные слагаемые в обеих частях уравнения:

$3x = 21$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 3:

$x = \frac{21}{3}$

$x = 7$

Таким образом, мы нашли, что изначально на второй полке было 7 книг.

Теперь найдем количество книг на первой полке, зная, что их было в 4 раза больше:

$4 \cdot x = 4 \cdot 7 = 28$

Итак, на первой полке было 28 книг.

Проверим результат:
После того как с первой полки взяли 5 книг: $28 - 5 = 23$ книги.
После того как на вторую полку добавили 16 книг: $7 + 16 = 23$ книги.
23 = 23. Количество книг на полках стало равным, значит, задача решена верно.

Ответ: сначала на первой полке было 28 книг, а на второй — 7 книг.

170. Сейчас отцу 26 лет, а его сыну – 2 года. Через сколько лет отец будет в 5 раз старше сына?

Чтобы найти, через сколько лет отец будет в 5 раз старше сына, введем переменную.

Пусть $x$ — это количество лет, которое должно пройти.

Через $x$ лет возраст отца будет равен $26 + x$.

Возраст сына через $x$ лет будет равен $2 + x$.

Согласно условию задачи, возраст отца должен стать в 5 раз больше возраста сына. Мы можем составить следующее уравнение:

$26 + x = 5 \times (2 + x)$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти значение $x$.

Раскроем скобки в правой части уравнения:

$26 + x = 10 + 5x$

Перенесем все члены с $x$ в одну сторону, а свободные члены (числа) — в другую.

$26 - 10 = 5x - x$

$16 = 4x$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 4:

$x = \frac{16}{4}$

$x = 4$

Таким образом, через 4 года отец будет в 5 раз старше сына.

Выполним проверку:

Возраст отца через 4 года: $26 + 4 = 30$ лет.

Возраст сына через 4 года: $2 + 4 = 6$ лет.

Проверим отношение возрастов: $30 \div 6 = 5$.

Условие выполняется.

Ответ: через 4 года.

171. Сейчас матери 40 лет, а её дочери – 18 лет. Сколько лет тому назад дочь была в 3 раза моложе матери?

Для решения этой задачи обозначим искомое количество лет через переменную $x$.

$x$ лет назад возраст матери составлял $40 - x$ лет, а возраст дочери — $18 - x$ лет.

Согласно условию задачи, в тот момент времени возраст матери был в 3 раза больше возраста дочери. Это можно записать в виде следующего уравнения:
$40 - x = 3 \cdot (18 - x)$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти значение $x$.
1. Раскроем скобки в правой части уравнения:
$40 - x = 54 - 3x$
2. Перенесем все члены с переменной $x$ в левую часть уравнения, а все постоянные числа — в правую. При переносе через знак равенства знак члена меняется на противоположный:
$3x - x = 54 - 40$
3. Упростим обе части уравнения:
$2x = 14$
4. Найдем $x$, разделив обе части уравнения на 2:
$x = \frac{14}{2}$
$x = 7$

Таким образом, 7 лет назад дочь была в 3 раза моложе матери.

Проверка:
Вычислим возраст матери и дочери 7 лет назад:
Возраст матери: $40 - 7 = 33$ года.
Возраст дочери: $18 - 7 = 11$ лет.
Проверим, выполняется ли условие: $33 \div 11 = 3$. Да, возраст матери был ровно в 3 раза больше возраста дочери. Решение верное.

Ответ: 7 лет назад.

172. Для школьной библиотеки приобрели 50 орфографических и толковых словарей русского языка на общую сумму 22 000 р. Сколько было куплено словарей каждого вида, если орфографический словарь стоит 400 р., а толковый – 500 р.?

Для решения этой задачи введем переменные и составим систему уравнений. Пусть $x$ — количество купленных орфографических словарей, а $y$ — количество купленных толковых словарей.

Согласно условию, всего было приобретено 50 словарей. На основе этого мы можем составить первое уравнение:

$x + y = 50$

Общая стоимость покупки составила 22 000 рублей. Цена одного орфографического словаря — 400 рублей, а одного толкового — 500 рублей. Следовательно, общая стоимость всех орфографических словарей равна $400x$ рублей, а всех толковых — $500y$ рублей. Это позволяет нам составить второе уравнение:

$400x + 500y = 22000$

Таким образом, мы получили систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} x + y = 50 \\ 400x + 500y = 22000 \end{cases}$

Для упрощения вычислений разделим второе уравнение на 100:

$4x + 5y = 220$

Теперь наша система выглядит следующим образом:

$\begin{cases} x + y = 50 \\ 4x + 5y = 220 \end{cases}$

Воспользуемся методом подстановки для решения системы. Выразим переменную $x$ из первого уравнения:

$x = 50 - y$

Теперь подставим полученное выражение для $x$ во второе уравнение:

$4(50 - y) + 5y = 220$

Раскроем скобки и решим полученное уравнение относительно $y$:

$200 - 4y + 5y = 220$

$y = 220 - 200$

$y = 20$

Мы нашли, что было куплено 20 толковых словарей.

Теперь определим количество орфографических словарей, подставив найденное значение $y$ в выражение для $x$:

$x = 50 - 20$

$x = 30$

Следовательно, было куплено 30 орфографических словарей.

Для проверки правильности решения выполним проверку:

1. Общее количество словарей: $30 + 20 = 50$. (Соответствует условию)

2. Общая стоимость: $30 \cdot 400 \text{ р.} + 20 \cdot 500 \text{ р.} = 12000 \text{ р.} + 10000 \text{ р.} = 22000 \text{ р.}$ (Соответствует условию)

Ответ: было куплено 30 орфографических словарей и 20 толковых словарей.

173. Клиент банка положил 300 000 р. на два различных вклада, причём по одному вкладу ему насчитывали 7% годовых, а по другому – 8% годовых. Через год он получил 22 200 р. прибыли. Какая сумма была внесена на каждый из вкладов?

Для решения задачи введем переменные. Пусть $x$ — это сумма в рублях, которую клиент положил на вклад под 7% годовых, а $y$ — сумма, которую он положил на вклад под 8% годовых.

Из условия мы знаем, что общая сумма вложений составляет 300 000 рублей. Это позволяет нам составить первое уравнение:
$x + y = 300000$

Также нам известно, что общая прибыль за год составила 22 200 рублей. Прибыль от первого вклада за год составляет 7% от суммы $x$, то есть $0.07x$. Прибыль от второго вклада — 8% от суммы $y$, то есть $0.08y$. Суммарная прибыль дает нам второе уравнение:
$0.07x + 0.08y = 22200$

Теперь мы имеем систему из двух линейных уравнений с двумя переменными:
$\begin{cases} x + y = 300000 \\ 0.07x + 0.08y = 22200 \end{cases}$

Решим эту систему. Для этого выразим одну переменную через другую из первого уравнения. Например, выразим $y$:
$y = 300000 - x$

Подставим это выражение для $y$ во второе уравнение системы:
$0.07x + 0.08(300000 - x) = 22200$

Теперь решим полученное уравнение относительно $x$. Сначала раскроем скобки:
$0.07x + 0.08 \cdot 300000 - 0.08x = 22200$
$0.07x + 24000 - 0.08x = 22200$
Приведем подобные слагаемые:
$24000 - 0.01x = 22200$
Перенесем свободные члены в правую часть уравнения:
$-0.01x = 22200 - 24000$
$-0.01x = -1800$
Найдем $x$:
$x = \frac{-1800}{-0.01} = 180000$

Таким образом, на вклад под 7% годовых было внесено 180 000 рублей.

Теперь найдем сумму второго вклада, $y$, используя ранее полученное выражение:
$y = 300000 - x = 300000 - 180000 = 120000$

Следовательно, на вклад под 8% годовых было внесено 120 000 рублей.

Проверка:
Проверим, выполняются ли условия задачи с найденными суммами.
Общая сумма вкладов: $180000 + 120000 = 300000$ рублей. (Верно)
Общая прибыль: $0.07 \cdot 180000 + 0.08 \cdot 120000 = 12600 + 9600 = 22200$ рублей. (Верно)

Ответ: на вклад под 7% годовых была внесена сумма 180 000 рублей, а на вклад под 8% годовых — 120 000 рублей.

174. Имеется 19 монет по 2 р. и по 5 р. на общую сумму 62 р. Сколько имеется монет каждого номинала?

Для решения этой задачи составим и решим систему линейных уравнений.

Составление системы уравнений

Пусть $x$ — это количество монет номиналом 2 рубля, а $y$ — количество монет номиналом 5 рублей.

Из условия задачи известно, что общее количество монет равно 19. На основе этого мы можем составить первое уравнение:

$x + y = 19$

Также известно, что общая сумма всех монет составляет 62 рубля. Стоимость всех двухрублевых монет равна $2x$, а всех пятирублевых — $5y$. Это дает нам второе уравнение:

$2x + 5y = 62$

В результате мы получаем систему из двух уравнений с двумя переменными:

$ \displaystyle \begin{cases} x + y = 19 \\ 2x + 5y = 62 \end{cases} $

Решение системы

Решим эту систему методом подстановки. Сначала выразим переменную $x$ из первого уравнения:

$x = 19 - y$

Теперь подставим это выражение во второе уравнение системы:

$2(19 - y) + 5y = 62$

Далее решаем полученное уравнение относительно $y$:

$38 - 2y + 5y = 62$

Приводим подобные слагаемые:

$3y = 62 - 38$

$3y = 24$

$y = \frac{24}{3}$

$y = 8$

Таким образом, мы нашли количество пятирублевых монет — их 8.

Теперь найдем количество двухрублевых монет, подставив значение $y=8$ в выражение для $x$:

$x = 19 - 8$

$x = 11$

Итак, количество двухрублевых монет — 11.

Проверка

Чтобы убедиться в правильности нашего решения, выполним проверку:

1. Общее количество монет: $11 + 8 = 19$. Это соответствует условию.

2. Общая сумма: $(11 \times 2) + (8 \times 5) = 22 + 40 = 62$ рубля. Это также соответствует условию.

Оба условия выполнены, следовательно, задача решена верно.

Ответ: имеется 11 монет по 2 рубля и 8 монет по 5 рублей.

175. В двух хранилищах было одинаковое количество угля. Когда из первого хранилища вывезли 680 т угля, а из второго – 200 т, то в первом осталось в 5 раз меньше угля, чем во втором. Сколько тонн угля было в каждом хранилище сначала?

Для решения задачи введём переменную. Пусть $x$ тонн — это количество угля, которое было в каждом хранилище первоначально.

Когда из первого хранилища вывезли 680 тонн угля, в нём осталось $(x - 680)$ тонн.

Когда из второго хранилища вывезли 200 тонн угля, в нём осталось $(x - 200)$ тонн.

Согласно условию, в первом хранилище угля осталось в 5 раз меньше, чем во втором. Это можно выразить уравнением, умножив количество угля в первом хранилище на 5, чтобы оно стало равным количеству угля во втором:

$5 \cdot (x - 680) = x - 200$

Теперь решим полученное уравнение, чтобы найти $x$.

Сначала раскроем скобки в левой части уравнения:

$5x - 5 \cdot 680 = x - 200$
$5x - 3400 = x - 200$

Далее, перенесём все слагаемые с переменной $x$ в левую часть уравнения, а постоянные члены — в правую. При переносе слагаемого из одной части в другую его знак меняется на противоположный:

$5x - x = 3400 - 200$

Упростим обе части уравнения:

$4x = 3200$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 4:

$x = \frac{3200}{4}$
$x = 800$

Следовательно, первоначально в каждом хранилище было по 800 тонн угля.

Выполним проверку:
1. Количество угля, оставшееся в первом хранилище: $800 - 680 = 120$ тонн.
2. Количество угля, оставшееся во втором хранилище: $800 - 200 = 600$ тонн.
3. Проверим соотношение: $600 \div 120 = 5$. Количество угля во втором хранилище действительно в 5 раз больше, чем в первом. Решение найдено верно.

Ответ: 800 тонн.

176. У Ольги и Веры было поровну денег. Когда на покупку книг Ольга потратила 120 р., а Вера – 180 р., то у Ольги осталось в 2 раза больше денег, чем у Веры. Сколько денег было у каждой девочки сначала?

Для решения этой задачи можно составить уравнение.

Пусть $x$ рублей — это сумма денег, которая была у каждой девочки сначала.

После того как Ольга потратила на покупку книги 120 рублей, у нее осталось $(x - 120)$ рублей.

Вера потратила 180 рублей, и у нее осталось $(x - 180)$ рублей.

Согласно условию, у Ольги осталось в 2 раза больше денег, чем у Веры. Мы можем составить следующее уравнение:

$x - 120 = 2 \cdot (x - 180)$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти $x$. Сначала раскроем скобки в правой части уравнения:

$x - 120 = 2x - 360$

Далее, перенесем слагаемые с переменной $x$ в одну сторону, а числовые значения — в другую. Для этого вычтем $x$ из обеих частей и прибавим 360 к обеим частям:

$360 - 120 = 2x - x$

Выполним вычисления:

$240 = x$

Таким образом, первоначально у каждой девочки было по 240 рублей.

Проверим решение:

1. Сумма, оставшаяся у Ольги: $240 - 120 = 120$ рублей.

2. Сумма, оставшаяся у Веры: $240 - 180 = 60$ рублей.

3. Сравним оставшиеся суммы: $120 \div 60 = 2$. У Ольги действительно осталось в 2 раза больше денег, чем у Веры, что соответствует условию задачи.

Ответ: Сначала у каждой девочки было по 240 рублей.

177. В одном мешке было в 5 раз больше муки, чем в другом. Когда из первого мешка пересыпали 12 кг муки во второй мешок, масса муки во втором мешке составила $ \frac{5}{7} $ массы муки в первом. Сколько килограммов муки было в каждом мешке сначала?

Для решения этой задачи введем переменную и составим уравнение.

Пусть $x$ кг — это первоначальная масса муки во втором мешке.

Поскольку в первом мешке было в 5 раз больше муки, его начальная масса составляла $5x$ кг.

Далее, из первого мешка пересыпали 12 кг во второй.

Масса муки в первом мешке стала: $(5x - 12)$ кг.

Масса муки во втором мешке стала: $(x + 12)$ кг.

По условию, после этого масса муки во втором мешке составила $\frac{5}{7}$ массы муки в первом. Составим уравнение на основе этого соотношения:

$x + 12 = \frac{5}{7}(5x - 12)$

Теперь решим это уравнение. Для начала, чтобы избавиться от знаменателя, умножим обе части уравнения на 7:

$7 \cdot (x + 12) = 5 \cdot (5x - 12)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$7x + 84 = 25x - 60$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в одну сторону, а числовые значения — в другую. Удобнее перенести $7x$ вправо, а $-60$ влево:

$84 + 60 = 25x - 7x$

Приведем подобные члены:

$144 = 18x$

Найдем $x$, разделив обе части на 18:

$x = \frac{144}{18}$

$x = 8$

Таким образом, мы нашли, что первоначальная масса муки во втором мешке была 8 кг.

Теперь найдем первоначальную массу муки в первом мешке:

$5x = 5 \cdot 8 = 40$ кг.

Ответ: сначала в первом мешке было 40 кг муки, а во втором — 8 кг.