Номер 174, страница 31 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параграф 4. Решение задач с помощью уравнений. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 174, страница 31.

Условие.

174. Имеется 19 монет по 2 р. и по 5 р. на общую сумму 62 р. Сколько имеется монет каждого номинала?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для решения этой задачи составим и решим систему линейных уравнений.

Составление системы уравнений

Пусть $x$ — это количество монет номиналом 2 рубля, а $y$ — количество монет номиналом 5 рублей.

Из условия задачи известно, что общее количество монет равно 19. На основе этого мы можем составить первое уравнение:

$x + y = 19$

Также известно, что общая сумма всех монет составляет 62 рубля. Стоимость всех двухрублевых монет равна $2x$, а всех пятирублевых — $5y$. Это дает нам второе уравнение:

$2x + 5y = 62$

В результате мы получаем систему из двух уравнений с двумя переменными:

$ \displaystyle \begin{cases} x + y = 19 \\ 2x + 5y = 62 \end{cases} $

Решение системы

Решим эту систему методом подстановки. Сначала выразим переменную $x$ из первого уравнения:

$x = 19 - y$

Теперь подставим это выражение во второе уравнение системы:

$2(19 - y) + 5y = 62$

Далее решаем полученное уравнение относительно $y$:

$38 - 2y + 5y = 62$

Приводим подобные слагаемые:

$3y = 62 - 38$

$3y = 24$

$y = \frac{24}{3}$

$y = 8$

Таким образом, мы нашли количество пятирублевых монет — их 8.

Теперь найдем количество двухрублевых монет, подставив значение $y=8$ в выражение для $x$:

$x = 19 - 8$

$x = 11$

Итак, количество двухрублевых монет — 11.

Проверка

Чтобы убедиться в правильности нашего решения, выполним проверку:

1. Общее количество монет: $11 + 8 = 19$. Это соответствует условию.

2. Общая сумма: $(11 \times 2) + (8 \times 5) = 22 + 40 = 62$ рубля. Это также соответствует условию.

Оба условия выполнены, следовательно, задача решена верно.

Ответ: имеется 11 монет по 2 рубля и 8 монет по 5 рублей.