Страница 24 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

107. Найдите корень уравнения:

1) $10x + 7 = 8x - 9;$

2) $20 - 3x = 2x - 45;$

3) $2,7 + 1,9x = 2x + 1,5;$

4) $\frac{13}{18}x + 13 = \frac{7}{12}x + 8.$

Дано уравнение $10x + 7 = 8x - 9$.

Для решения перенесем все слагаемые с переменной $x$ в левую часть уравнения, а числовые слагаемые — в правую. При переносе слагаемых из одной части уравнения в другую их знаки меняются на противоположные.

$10x - 8x = -9 - 7$

Приведем подобные слагаемые в обеих частях уравнения:

$2x = -16$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 2:

$x = \frac{-16}{2}$

$x = -8$

Ответ: -8

Дано уравнение $20 - 3x = 2x - 45$.

Сгруппируем слагаемые с $x$ в одной части уравнения, а свободные члены — в другой. Перенесем $-3x$ в правую часть, а $-45$ — в левую, меняя их знаки.

$20 + 45 = 2x + 3x$

Упростим обе части уравнения:

$65 = 5x$

Чтобы найти $x$, разделим обе части на 5:

$x = \frac{65}{5}$

$x = 13$

Ответ: 13

Дано уравнение $2,7 + 1,9x = 2x + 1,5$.

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в правую часть, а числа — в левую часть уравнения.

$2,7 - 1,5 = 2x - 1,9x$

Выполним вычитание в обеих частях:

$1,2 = 0,1x$

Чтобы найти $x$, разделим 1,2 на 0,1. Это эквивалентно умножению на 10.

$x = \frac{1,2}{0,1}$

$x = 12$

Ответ: 12

Дано уравнение $\frac{13}{18}x + 13 = \frac{7}{12}x + 8$.

Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей 18 и 12. НОК(18, 12) = 36.

$36 \cdot (\frac{13}{18}x + 13) = 36 \cdot (\frac{7}{12}x + 8)$

Раскроем скобки:

$36 \cdot \frac{13}{18}x + 36 \cdot 13 = 36 \cdot \frac{7}{12}x + 36 \cdot 8$

$(36/18) \cdot 13x + 468 = (36/12) \cdot 7x + 288$

$2 \cdot 13x + 468 = 3 \cdot 7x + 288$

$26x + 468 = 21x + 288$

Теперь решим полученное линейное уравнение. Перенесем слагаемые с $x$ влево, а числа вправо:

$26x - 21x = 288 - 468$

$5x = -180$

Найдем $x$, разделив обе части на 5:

$x = \frac{-180}{5}$

$x = -36$

Ответ: -36

108. Решите уравнение:

1) $-3(x-4) = 5x - 12;$

2) $(16x-5) - (3-5x) = 6;$

3) $26 - 4x = 3x - 7(x-3);$

4) $-2(3-4x) + 5(2-1,6x) = 4.$

1) Исходное уравнение: $-3(x - 4) = 5x - 12$.
Раскроем скобки в левой части уравнения, умножив $-3$ на каждый член в скобках:
$-3 \cdot x - 3 \cdot (-4) = 5x - 12$
$-3x + 12 = 5x - 12$
Теперь перенесем все слагаемые с переменной $x$ в одну часть уравнения, а числовые слагаемые — в другую. Перенесем $-3x$ вправо, а $-12$ влево, меняя их знаки:
$12 + 12 = 5x + 3x$
Приведем подобные слагаемые в обеих частях уравнения:
$24 = 8x$
Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 8:
$x = \frac{24}{8}$
$x = 3$
Ответ: 3

2) Исходное уравнение: $(16x - 5) - (3 - 5x) = 6$.
Раскроем скобки. Перед первыми скобками нет знака, поэтому просто убираем их. Перед вторыми скобками стоит знак минус, поэтому меняем знаки всех слагаемых внутри скобок на противоположные:
$16x - 5 - 3 + 5x = 6$
Приведем подобные слагаемые в левой части уравнения:
$(16x + 5x) + (-5 - 3) = 6$
$21x - 8 = 6$
Перенесем числовое слагаемое $-8$ в правую часть уравнения, изменив его знак:
$21x = 6 + 8$
$21x = 14$
Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 21:
$x = \frac{14}{21}$
Сократим дробь на 7:
$x = \frac{2}{3}$
Ответ: $\frac{2}{3}$

3) Исходное уравнение: $26 - 4x = 3x - 7(x - 3)$.
Раскроем скобки в правой части уравнения, умножив $-7$ на каждый член в скобках:
$26 - 4x = 3x - 7 \cdot x - 7 \cdot (-3)$
$26 - 4x = 3x - 7x + 21$
Приведем подобные слагаемые в правой части:
$26 - 4x = -4x + 21$
Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а числовые слагаемые — в правую:
$-4x + 4x = 21 - 26$
Приведем подобные слагаемые в обеих частях:
$0 \cdot x = -5$
$0 = -5$
Получили неверное числовое равенство. Это означает, что уравнение не имеет решений ни при каком значении $x$.
Ответ: уравнение не имеет корней.

4) Исходное уравнение: $-2(3 - 4x) + 5(2 - 1,6x) = 4$.
Раскроем скобки, умножая множители перед скобками на каждый член внутри них:
$-2 \cdot 3 - 2 \cdot (-4x) + 5 \cdot 2 + 5 \cdot (-1,6x) = 4$
$-6 + 8x + 10 - 8x = 4$
Приведем подобные слагаемые в левой части уравнения:
$(8x - 8x) + (-6 + 10) = 4$
$0 \cdot x + 4 = 4$
$4 = 4$
Получили верное числовое равенство, которое не зависит от переменной $x$. Это означает, что равенство будет верным при любом значении $x$.
Ответ: $x$ - любое число.

109. Решите уравнение:

1) $4(13 - 3x) - 17 = -5x;$

2) $(18 - 3x) - (4 + 2x) = 10;$

3) $14 - x = 0.5(4 - 2x) + 12;$

4) $4x - 3(20 - x) = 10x - 3(11 + x).$

1) $4(13 - 3x) - 17 = -5x$

Сначала раскроем скобки в левой части уравнения, умножив 4 на каждый член в скобках:

$4 \cdot 13 - 4 \cdot 3x - 17 = -5x$

$52 - 12x - 17 = -5x$

Теперь приведем подобные слагаемые в левой части (вычтем 17 из 52):

$(52 - 17) - 12x = -5x$

$35 - 12x = -5x$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в одну сторону, а числа - в другую. Для этого добавим $12x$ к обеим частям уравнения:

$35 = -5x + 12x$

$35 = 7x$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 7:

$x = \frac{35}{7}$

$x = 5$

Ответ: 5

2) $(18 - 3x) - (4 + 2x) = 10$

Раскроем скобки. Так как перед второй скобкой стоит знак минус, знаки всех слагаемых внутри нее меняются на противоположные:

$18 - 3x - 4 - 2x = 10$

Приведем подобные слагаемые в левой части, сгруппировав числа и слагаемые с $x$:

$(18 - 4) + (-3x - 2x) = 10$

$14 - 5x = 10$

Перенесем число 14 в правую часть уравнения, изменив его знак на противоположный:

$-5x = 10 - 14$

$-5x = -4$

Разделим обе части на -5, чтобы найти $x$:

$x = \frac{-4}{-5}$

$x = 0,8$

Ответ: 0,8

3) $14 - x = 0,5(4 - 2x) + 12$

Раскроем скобки в правой части уравнения, умножив 0,5 на каждый член в скобках:

$14 - x = 0,5 \cdot 4 - 0,5 \cdot 2x + 12$

$14 - x = 2 - x + 12$

Приведем подобные слагаемые (числа) в правой части:

$14 - x = (2 + 12) - x$

$14 - x = 14 - x$

Мы получили тождество, то есть равенство, которое верно для любого значения переменной $x$. Это означает, что решением уравнения является любое число.

Ответ: $x$ - любое число.

4) $4x - 3(20 - x) = 10x - 3(11 + x)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения. В левой части умножим -3 на $(20-x)$, в правой -3 на $(11+x)$:

$4x - 3 \cdot 20 - 3 \cdot (-x) = 10x - 3 \cdot 11 - 3 \cdot x$

$4x - 60 + 3x = 10x - 33 - 3x$

Приведем подобные слагаемые в каждой части уравнения:

$(4x + 3x) - 60 = (10x - 3x) - 33$

$7x - 60 = 7x - 33$

Перенесем все слагаемые с $x$ в левую часть, а числа - в правую:

$7x - 7x = -33 + 60$

$0 \cdot x = 27$

$0 = 27$

Мы получили неверное числовое равенство, которое не зависит от $x$. Это означает, что не существует такого значения $x$, при котором исходное равенство было бы верным. Следовательно, уравнение не имеет решений.

Ответ: нет корней.

110. Составьте уравнение, равносильное данному:

1) $3x - 7 = 14$;

2) $|x| = 7$;

3) $x + 4 = x - 4$.

Равносильные уравнения — это уравнения, имеющие одинаковые множества решений (корней). Чтобы составить уравнение, равносильное данному, сначала найдем решение исходного уравнения, а затем создадим новое уравнение с таким же решением.

Дано уравнение $3x - 7 = 14$.
Для нахождения корня решим это линейное уравнение.
Сначала перенесем слагаемое без переменной в правую часть уравнения, изменив его знак:
$3x = 14 + 7$
$3x = 21$
Теперь разделим обе части уравнения на коэффициент при $x$, то есть на 3:
$x = \frac{21}{3}$
$x = 7$
Исходное уравнение имеет один корень: $x = 7$. Следовательно, любое уравнение, имеющее единственный корень $x=7$, будет ему равносильно. Самый простой пример — это само решение, записанное в виде уравнения.

Ответ: например, $x=7$ или $3x=21$.

Дано уравнение $|x| = 7$.
По определению модуля, это уравнение означает, что значение $x$ может быть как 7, так и -7.
То есть уравнение имеет два корня: $x_1 = 7$ и $x_2 = -7$.
Нужно составить уравнение, которое имеет те же два корня. Удобно использовать квадратное уравнение. Например, уравнение $x^2 = a$ при $a > 0$ имеет два корня: $\sqrt{a}$ и $-\sqrt{a}$.
Если мы возведем обе части исходного уравнения в квадрат, получим равносильное уравнение:
$(|x|)^2 = 7^2$
$x^2 = 49$
Это уравнение имеет корни $x = \sqrt{49} = 7$ и $x = -\sqrt{49} = -7$. Множества корней совпадают, значит, уравнения равносильны.

Ответ: например, $x^2 = 49$.

Дано уравнение $x + 4 = x - 4$.
Попробуем решить это уравнение. Перенесем все слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а числовые слагаемые — в правую.
$x - x = -4 - 4$
$0 \cdot x = -8$
Мы получили равенство $0 = -8$, которое является ложным. Это означает, что не существует такого значения $x$, при котором равенство было бы верным. Следовательно, исходное уравнение не имеет корней (множество его решений пусто).
Чтобы составить равносильное уравнение, нужно привести любой другой пример уравнения, у которого нет решений. Таким будет любое уравнение, приводящее к неверному числовому равенству.

Ответ: например, $x = x+1$ или $0 \cdot x = 5$.

111. Составьте уравнение, равносильное данному:

1) $ \frac{3}{x} = 1; $

2) $ \frac{3}{x} = 0; $

3) $ \frac{3}{x} = 3. $

Два уравнения называются равносильными, если множества их корней совпадают. Это означает, что у них одни и те же решения, или же оба уравнения не имеют решений. Чтобы составить равносильное уравнение, сначала найдем корень (или убедимся в его отсутствии) для данного уравнения, а затем подберем другое уравнение с таким же решением.

1)

Рассмотрим уравнение $\frac{3}{x} = 1$.
Область допустимых значений (ОДЗ) для этого уравнения: знаменатель не может быть равен нулю, следовательно, $x \neq 0$.
Для решения умножим обе части уравнения на $x$ (это допустимо, так как $x \neq 0$):
$x \cdot \frac{3}{x} = 1 \cdot x$
$3 = x$
Корень $x=3$ принадлежит ОДЗ. Таким образом, данное уравнение имеет единственный корень $x=3$.
Теперь составим равносильное уравнение. Самый простой вариант — это линейное уравнение, корнем которого является $x=3$.
Например, $x - 3 = 0$.
Это уравнение имеет единственный корень $x=3$, следовательно, оно равносильно исходному.
Ответ: $x - 3 = 0$.

2)

Рассмотрим уравнение $\frac{3}{x} = 0$.
ОДЗ: $x \neq 0$.
Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля.
В данном уравнении числитель равен 3. Так как $3 \neq 0$, левая часть уравнения никогда не может быть равна нулю.
Следовательно, уравнение не имеет корней.
Теперь составим равносильное уравнение, то есть уравнение, которое также не имеет корней.
Например, уравнение $x^2 = -1$. В множестве действительных чисел оно не имеет решений, так как квадрат любого действительного числа неотрицателен.
Другой простой пример: $0 \cdot x = 7$. При подстановке любого числа $x$ левая часть будет равна 0, а правая — 7. Равенство $0=7$ неверно, значит, у уравнения нет корней.
Ответ: $x^2 = -1$.

3)

Рассмотрим уравнение $\frac{3}{x} = 3$.
ОДЗ: $x \neq 0$.
Умножим обе части уравнения на $x$ :
$x \cdot \frac{3}{x} = 3 \cdot x$
$3 = 3x$
Разделим обе части на 3:
$1 = x$
Корень $x=1$ принадлежит ОДЗ. Уравнение имеет единственный корень $x=1$.
Составим равносильное уравнение, корнем которого является $x=1$.
Например, линейное уравнение $x - 1 = 0$.
Корень этого уравнения — $x=1$, значит, оно равносильно исходному.
Ответ: $x - 1 = 0$.

112. Решите уравнение:

1) $0,8 - (1,5x - 2) = -0,8 + 4,5x;$

2) $0,6x - 5(0,3x + 0,2) = 0,5(x - 1) - 0,8;$

3) $\frac{1}{7}\left(\frac{7}{8}y + 7\right) - \frac{3}{4}\left(\frac{2}{9}y + 1\frac{7}{9}\right) = \frac{1}{12};$

4) $\frac{5}{27}(5,4 - 8,1y) = 0,03 + \frac{4}{17}(6,8 - 3,4y).$

1) $0,8 - (1,5x - 2) = -0,8 + 4,5x$

Раскроем скобки в левой части уравнения, помня, что знак "минус" перед скобкой меняет знаки всех слагаемых внутри на противоположные:

$0,8 - 1,5x + 2 = -0,8 + 4,5x$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$2,8 - 1,5x = -0,8 + 4,5x$

Перенесем слагаемые, содержащие переменную $x$, в правую часть, а свободные члены — в левую часть уравнения, изменяя их знаки на противоположные:

$2,8 + 0,8 = 4,5x + 1,5x$

Выполним сложение в обеих частях:

$3,6 = 6x$

Чтобы найти $x$, разделим обе части на 6:

$x = \frac{3,6}{6}$

$x = 0,6$

Ответ: $0,6$.

2) $0,6x - 5(0,3x + 0,2) = 0,5(x - 1) - 0,8$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения, используя распределительный закон умножения:

$0,6x - 5 \cdot 0,3x - 5 \cdot 0,2 = 0,5 \cdot x - 0,5 \cdot 1 - 0,8$

$0,6x - 1,5x - 1 = 0,5x - 0,5 - 0,8$

Приведем подобные слагаемые в каждой части уравнения:

$-0,9x - 1 = 0,5x - 1,3$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в одну сторону, а свободные члены — в другую:

$-1 + 1,3 = 0,5x + 0,9x$

Выполним вычисления:

$0,3 = 1,4x$

Найдем $x$:

$x = \frac{0,3}{1,4} = \frac{3}{14}$

Ответ: $\frac{3}{14}$.

3) $\frac{1}{7}(\frac{7}{8}y + 7) - \frac{3}{4}(\frac{2}{9}y + 1\frac{7}{9}) = \frac{1}{12}$

Сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $1\frac{7}{9} = \frac{9 \cdot 1 + 7}{9} = \frac{16}{9}$.

Уравнение примет вид:

$\frac{1}{7}(\frac{7}{8}y + 7) - \frac{3}{4}(\frac{2}{9}y + \frac{16}{9}) = \frac{1}{12}$

Раскроем скобки:

$\frac{1}{7} \cdot \frac{7}{8}y + \frac{1}{7} \cdot 7 - \frac{3}{4} \cdot \frac{2}{9}y - \frac{3}{4} \cdot \frac{16}{9} = \frac{1}{12}$

Выполним умножение и сокращение дробей:

$\frac{1}{8}y + 1 - \frac{1}{6}y - \frac{4}{3} = \frac{1}{12}$

Сгруппируем слагаемые с переменной $y$ и свободные члены:

$(\frac{1}{8}y - \frac{1}{6}y) + (1 - \frac{4}{3}) = \frac{1}{12}$

Приведем дроби к общим знаменателям (для $y$ это 24, для свободных членов — 3):

$(\frac{3}{24}y - \frac{4}{24}y) + (\frac{3}{3} - \frac{4}{3}) = \frac{1}{12}$

$-\frac{1}{24}y - \frac{1}{3} = \frac{1}{12}$

Перенесем $-\frac{1}{3}$ в правую часть:

$-\frac{1}{24}y = \frac{1}{12} + \frac{1}{3}$

Приведем дроби в правой части к общему знаменателю 12:

$-\frac{1}{24}y = \frac{1}{12} + \frac{4}{12}$

$-\frac{1}{24}y = \frac{5}{12}$

Найдем $y$, умножив обе части на $-24$:

$y = \frac{5}{12} \cdot (-24) = - \frac{5 \cdot 24}{12} = -5 \cdot 2 = -10$

Ответ: $-10$.

4) $\frac{5}{27}(5,4 - 8,1y) = 0,03 + \frac{4}{17}(6,8 - 3,4y)$

Раскроем скобки. Для этого удобно заметить, что $5,4 = 27 \cdot 0,2$ и $8,1 = 27 \cdot 0,3$. А также $6,8 = 17 \cdot 0,4$ и $3,4 = 17 \cdot 0,2$.

Выполним умножение в левой части:

$\frac{5}{27} \cdot 5,4 - \frac{5}{27} \cdot 8,1y = \frac{5 \cdot (27 \cdot 0,2)}{27} - \frac{5 \cdot (27 \cdot 0,3)}{27}y = 5 \cdot 0,2 - 5 \cdot 0,3y = 1 - 1,5y$

Выполним умножение в правой части:

$0,03 + \frac{4}{17} \cdot 6,8 - \frac{4}{17} \cdot 3,4y = 0,03 + \frac{4 \cdot (17 \cdot 0,4)}{17} - \frac{4 \cdot (17 \cdot 0,2)}{17}y = 0,03 + 4 \cdot 0,4 - 4 \cdot 0,2y = 0,03 + 1,6 - 0,8y$

Уравнение принимает вид:

$1 - 1,5y = 0,03 + 1,6 - 0,8y$

Приведем подобные слагаемые в правой части:

$1 - 1,5y = 1,63 - 0,8y$

Перенесем слагаемые с переменной в одну сторону, а свободные члены в другую:

$1 - 1,63 = -0,8y + 1,5y$

Выполним вычисления:

$-0,63 = 0,7y$

Найдем $y$:

$y = \frac{-0,63}{0,7} = -\frac{6,3}{7} = -0,9$

Ответ: $-0,9$.

113. Найдите корень уравнения:

1) $0,9x - 0,6(x - 3) = 2(0,2x - 1,3)$;

2) $-0,4(3x - 1) + 8(0,8x - 0,3) = 5 - (3,8x + 4)$;

3) $\frac{4}{7}(0,56 - 4,2y) + 0,4 = \frac{5}{13}(0,52 - 6,5y)$.

$0,9x - 0,6(x - 3) = 2(0,2x - 1,3)$
Сначала раскроем скобки в обеих частях уравнения:
$0,9x - 0,6 \cdot x - 0,6 \cdot (-3) = 2 \cdot 0,2x - 2 \cdot 1,3$
$0,9x - 0,6x + 1,8 = 0,4x - 2,6$
Теперь приведем подобные слагаемые в левой части уравнения:
$(0,9 - 0,6)x + 1,8 = 0,4x - 2,6$
$0,3x + 1,8 = 0,4x - 2,6$
Перенесем слагаемые с переменной $x$ в одну сторону, а числовые слагаемые — в другую. При переносе слагаемого из одной части уравнения в другую его знак меняется на противоположный.
$1,8 + 2,6 = 0,4x - 0,3x$
$4,4 = 0,1x$
Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на $0,1$:
$x = \frac{4,4}{0,1}$
$x = 44$

Ответ: $44$

$-0,4(3x - 1) + 8(0,8x - 0,3) = 5 - (3,8x + 4)$
Раскроем все скобки в уравнении:
$-0,4 \cdot 3x - 0,4 \cdot (-1) + 8 \cdot 0,8x + 8 \cdot (-0,3) = 5 - 3,8x - 4$
$-1,2x + 0,4 + 6,4x - 2,4 = 5 - 3,8x - 4$
Приведём подобные слагаемые в каждой части уравнения:
$(-1,2x + 6,4x) + (0,4 - 2,4) = (5 - 4) - 3,8x$
$5,2x - 2 = 1 - 3,8x$
Перенесём слагаемые, содержащие $x$, в левую часть, а свободные члены — в правую:
$5,2x + 3,8x = 1 + 2$
$9x = 3$
Разделим обе части на $9$:
$x = \frac{3}{9}$
Сократим дробь:
$x = \frac{1}{3}$

Ответ: $\frac{1}{3}$

$\frac{4}{7}(0,56 - 4,2y) + 0,4 = \frac{5}{13}(0,52 - 6,5y)$
Раскроем скобки. Для этого умножим множители перед скобками на каждое слагаемое внутри скобок:
$\frac{4}{7} \cdot 0,56 - \frac{4}{7} \cdot 4,2y + 0,4 = \frac{5}{13} \cdot 0,52 - \frac{5}{13} \cdot 6,5y$
Выполним умножение. Заметим, что $0,56$ делится на $7$ ($0,56 = 7 \cdot 0,08$), $4,2$ делится на $7$ ($4,2 = 7 \cdot 0,6$), $0,52$ делится на $13$ ($0,52 = 13 \cdot 0,04$) и $6,5$ делится на $13$ ($6,5 = 13 \cdot 0,5$).
$4 \cdot (0,08) - 4 \cdot (0,6)y + 0,4 = 5 \cdot (0,04) - 5 \cdot (0,5)y$
$0,32 - 2,4y + 0,4 = 0,2 - 2,5y$
Приведём подобные слагаемые в левой части:
$(0,32 + 0,4) - 2,4y = 0,2 - 2,5y$
$0,72 - 2,4y = 0,2 - 2,5y$
Перенесём слагаемые с переменной $y$ в левую часть, а числовые слагаемые — в правую:
$-2,4y + 2,5y = 0,2 - 0,72$
$0,1y = -0,52$
Разделим обе части уравнения на $0,1$:
$y = \frac{-0,52}{0,1}$
$y = -5,2$

Ответ: $-5,2$

114. Решите уравнение:

1) $8(7x-3) = -48(3x+2)$;

2) $4,5(8x+20) = 6(6x+15)$.

1) $8(7x - 3) = -48(3x + 2)$

Разделим обе части уравнения на 8 для упрощения:

$\frac{8(7x - 3)}{8} = \frac{-48(3x + 2)}{8}$

$7x - 3 = -6(3x + 2)$

Теперь раскроем скобки в правой части уравнения, умножив $-6$ на каждый член в скобках:

$7x - 3 = -18x - 12$

Перенесем все слагаемые с переменной $x$ в левую часть уравнения, а постоянные слагаемые (числа) — в правую. При переносе слагаемого из одной части в другую его знак меняется на противоположный.

$7x + 18x = -12 + 3$

Приведем подобные слагаемые в обеих частях:

$25x = -9$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на коэффициент при $x$, то есть на 25:

$x = -\frac{9}{25}$

Для удобства можно перевести дробь в десятичный вид:

$x = -0,36$

Ответ: $-0,36$.

2) $4,5(8x + 20) = 6(6x + 15)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения. Для этого умножим число перед скобками на каждый член внутри скобок.

В левой части:

$4,5 \cdot 8x + 4,5 \cdot 20 = 36x + 90$

В правой части:

$6 \cdot 6x + 6 \cdot 15 = 36x + 90$

Уравнение принимает вид:

$36x + 90 = 36x + 90$

Мы получили тождество, то есть верное равенство, в котором левая и правая части абсолютно одинаковы. Это означает, что равенство будет верным при любом значении переменной $x$.

Если мы продолжим решение, перенеся слагаемые с $x$ в одну сторону, а числа в другую, мы получим:

$36x - 36x = 90 - 90$

$0 \cdot x = 0$

Это равенство также верно для любого значения $x$. Следовательно, уравнение имеет бесконечно много корней.

Ответ: $x$ — любое число.

115. Чему равен корень уравнения:

1) $-36(6x + 1) = 9(4 - 2x)$;

2) $3,2(3x - 2) = -4,8(6 - 2x)$?

1) Решим уравнение $-36(6x + 1) = 9(4 - 2x)$.

Для упрощения можно разделить обе части уравнения на 9, так как оба коэффициента (-36 и 9) делятся на 9:

$\frac{-36(6x + 1)}{9} = \frac{9(4 - 2x)}{9}$

$-4(6x + 1) = 4 - 2x$

Теперь раскроем скобки в левой части уравнения, умножив -4 на каждый член в скобках:

$-4 \cdot 6x - 4 \cdot 1 = 4 - 2x$

$-24x - 4 = 4 - 2x$

Сгруппируем слагаемые с переменной $x$ в левой части, а постоянные члены — в правой. Для этого перенесем $-2x$ в левую часть (при этом знак изменится на противоположный) и -4 в правую часть (знак также изменится):

$-24x + 2x = 4 + 4$

Приведем подобные слагаемые в обеих частях:

$-22x = 8$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на коэффициент при $x$, то есть на -22:

$x = \frac{8}{-22} = -\frac{8}{22}$

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на их общий делитель 2:

$x = -\frac{4}{11}$

Ответ: $x = -\frac{4}{11}$

2) Решим уравнение $3.2(3x - 2) = -4.8(6 - 2x)$.

Чтобы избавиться от десятичных дробей, можно умножить обе части уравнения на 10:

$10 \cdot 3.2(3x - 2) = 10 \cdot (-4.8(6 - 2x))$

$32(3x - 2) = -48(6 - 2x)$

Теперь можно упростить уравнение, разделив обе части на наибольший общий делитель чисел 32 и 48, который равен 16:

$\frac{32(3x - 2)}{16} = \frac{-48(6 - 2x)}{16}$

$2(3x - 2) = -3(6 - 2x)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$2 \cdot 3x - 2 \cdot 2 = -3 \cdot 6 - 3 \cdot (-2x)$

$6x - 4 = -18 + 6x$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в одну часть, а постоянные — в другую:

$6x - 6x = -18 + 4$

Приведем подобные слагаемые:

$0 \cdot x = -14$

$0 = -14$

Мы получили ложное равенство, которое не зависит от значения переменной $x$. Это означает, что исходное уравнение не имеет решений (корней).

Ответ: уравнение не имеет корней.

116. Решите уравнение:

1) $ (4x - 1.6)(8 + x) = 0; $

2) $ x(5 - 0.2x) = 0; $

3) $ (3x - 2)\left(4 + \frac{1}{3}x\right) = 0; $

4) $ (2x + 1.2)(x + 1)(0.7x - 0.21) = 0. $

1) $(4x - 1,6)(8 + x) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Поэтому мы можем приравнять каждую скобку к нулю, чтобы найти все возможные значения $x$.

Первый множитель:
$4x - 1,6 = 0$
Переносим $-1,6$ в правую часть уравнения, меняя знак:
$4x = 1,6$
Делим обе части уравнения на 4:
$x = \frac{1,6}{4}$
$x = 0,4$

Второй множитель:
$8 + x = 0$
Переносим 8 в правую часть уравнения, меняя знак:
$x = -8$

Таким образом, уравнение имеет два корня.

Ответ: $x_1 = 0,4$; $x_2 = -8$.

2) $x(5 - 0,2x) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. В данном случае у нас два множителя: $x$ и $(5 - 0,2x)$.

Первый множитель:
$x = 0$

Второй множитель:
$5 - 0,2x = 0$
Переносим 5 в правую часть:
$-0,2x = -5$
Делим обе части уравнения на $-0,2$:
$x = \frac{-5}{-0,2}$
$x = \frac{50}{2}$
$x = 25$

Уравнение имеет два корня.

Ответ: $x_1 = 0$; $x_2 = 25$.

3) $(3x - 2)(4 + \frac{1}{3}x) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Приравняем каждую скобку к нулю.

Первый множитель:
$3x - 2 = 0$
$3x = 2$
$x = \frac{2}{3}$

Второй множитель:
$4 + \frac{1}{3}x = 0$
$\frac{1}{3}x = -4$
Умножим обе части уравнения на 3:
$x = -4 \cdot 3$
$x = -12$

Уравнение имеет два корня.

Ответ: $x_1 = \frac{2}{3}$; $x_2 = -12$.

4) $(2x + 1,2)(x + 1)(0,7x - 0,21) = 0$

Произведение трех множителей равно нулю, если хотя бы один из них равен нулю. Приравняем к нулю каждый из множителей поочередно.

Первый множитель:
$2x + 1,2 = 0$
$2x = -1,2$
$x = \frac{-1,2}{2}$
$x = -0,6$

Второй множитель:
$x + 1 = 0$
$x = -1$

Третий множитель:
$0,7x - 0,21 = 0$
$0,7x = 0,21$
$x = \frac{0,21}{0,7}$
$x = 0,3$

Уравнение имеет три корня.

Ответ: $x_1 = -0,6$; $x_2 = -1$; $x_3 = 0,3$.

117. Решите уравнение:

1) $(1,8 - 0,3y)(2y + 9) = 0;$

2) $(5y + 4)(1,1y - 3,3) = 0.$

1)

Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Поэтому данное уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

$1,8 - 0,3y = 0$ или $2y + 9 = 0$.

Решим каждое уравнение по отдельности.

Первое уравнение:

$1,8 - 0,3y = 0$

$-0,3y = -1,8$

$y = \frac{-1,8}{-0,3}$

$y = 6$

Второе уравнение:

$2y + 9 = 0$

$2y = -9$

$y = -\frac{9}{2}$

$y = -4,5$

Ответ: $-4,5; 6$.

2)

Аналогично, приравниваем каждый из множителей к нулю, так как их произведение равно нулю.

$5y + 4 = 0$ или $1,1y - 3,3 = 0$.

Решим каждое уравнение.

Первое уравнение:

$5y + 4 = 0$

$5y = -4$

$y = -\frac{4}{5}$

$y = -0,8$

Второе уравнение:

$1,1y - 3,3 = 0$

$1,1y = 3,3$

$y = \frac{3,3}{1,1}$

$y = 3$

Ответ: $-0,8; 3$.

118. Решите уравнение:

1) $\frac{5x-4}{2} = \frac{16x+1}{7}$;

2) $\frac{4y+33}{3} = \frac{17+y}{2}$.

1)

Дано уравнение: $\frac{5x - 4}{2} = \frac{16x + 1}{7}$.

Это уравнение представляет собой пропорцию. Чтобы решить его, воспользуемся основным свойством пропорции: произведение крайних членов равно произведению средних членов (или, проще говоря, применим перекрестное умножение).

$7 \cdot (5x - 4) = 2 \cdot (16x + 1)$

Теперь раскроем скобки в обеих частях уравнения, умножив число перед скобкой на каждый член внутри скобки:

$7 \cdot 5x - 7 \cdot 4 = 2 \cdot 16x + 2 \cdot 1$

$35x - 28 = 32x + 2$

Сгруппируем слагаемые с переменной $x$ в левой части уравнения, а числовые слагаемые — в правой. При переносе слагаемого из одной части в другую его знак меняется на противоположный.

$35x - 32x = 2 + 28$

Приведем подобные слагаемые:

$3x = 30$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на коэффициент при $x$, то есть на 3:

$x = \frac{30}{3}$

$x = 10$

Ответ: $10$.

2)

Дано уравнение: $\frac{4y + 33}{3} = \frac{17 + y}{2}$.

Это также пропорция, поэтому используем перекрестное умножение для её решения:

$2 \cdot (4y + 33) = 3 \cdot (17 + y)$

Раскроем скобки в обеих частях:

$2 \cdot 4y + 2 \cdot 33 = 3 \cdot 17 + 3 \cdot y$

$8y + 66 = 51 + 3y$

Перенесем все слагаемые с переменной $y$ в левую часть, а все постоянные слагаемые — в правую, не забывая менять знаки при переносе.

$8y - 3y = 51 - 66$

Упростим обе части уравнения, приведя подобные слагаемые:

$5y = -15$

Чтобы найти $y$, разделим обе части уравнения на 5:

$y = \frac{-15}{5}$

$y = -3$

Ответ: $-3$.