Номер 110, страница 24 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 3. Равносильные уравнения. Линейное уравнение с одной переменной. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 110, страница 24.

Условие.

110. Составьте уравнение, равносильное данному:

1) $3x - 7 = 14$;

2) $|x| = 7$;

3) $x + 4 = x - 4$.

Решение 1.

Решение 5.

Равносильные уравнения — это уравнения, имеющие одинаковые множества решений (корней). Чтобы составить уравнение, равносильное данному, сначала найдем решение исходного уравнения, а затем создадим новое уравнение с таким же решением.

1)

Дано уравнение $3x - 7 = 14$.
Для нахождения корня решим это линейное уравнение.
Сначала перенесем слагаемое без переменной в правую часть уравнения, изменив его знак:
$3x = 14 + 7$
$3x = 21$
Теперь разделим обе части уравнения на коэффициент при $x$, то есть на 3:
$x = \frac{21}{3}$
$x = 7$
Исходное уравнение имеет один корень: $x = 7$. Следовательно, любое уравнение, имеющее единственный корень $x=7$, будет ему равносильно. Самый простой пример — это само решение, записанное в виде уравнения.

Ответ: например, $x=7$ или $3x=21$.

2)

Дано уравнение $|x| = 7$.
По определению модуля, это уравнение означает, что значение $x$ может быть как 7, так и -7.
То есть уравнение имеет два корня: $x_1 = 7$ и $x_2 = -7$.
Нужно составить уравнение, которое имеет те же два корня. Удобно использовать квадратное уравнение. Например, уравнение $x^2 = a$ при $a > 0$ имеет два корня: $\sqrt{a}$ и $-\sqrt{a}$.
Если мы возведем обе части исходного уравнения в квадрат, получим равносильное уравнение:
$(|x|)^2 = 7^2$
$x^2 = 49$
Это уравнение имеет корни $x = \sqrt{49} = 7$ и $x = -\sqrt{49} = -7$. Множества корней совпадают, значит, уравнения равносильны.

Ответ: например, $x^2 = 49$.

3)

Дано уравнение $x + 4 = x - 4$.
Попробуем решить это уравнение. Перенесем все слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а числовые слагаемые — в правую.
$x - x = -4 - 4$
$0 \cdot x = -8$
Мы получили равенство $0 = -8$, которое является ложным. Это означает, что не существует такого значения $x$, при котором равенство было бы верным. Следовательно, исходное уравнение не имеет корней (множество его решений пусто).
Чтобы составить равносильное уравнение, нужно привести любой другой пример уравнения, у которого нет решений. Таким будет любое уравнение, приводящее к неверному числовому равенству.

Ответ: например, $x = x+1$ или $0 \cdot x = 5$.