Номер 111, страница 24 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 3. Равносильные уравнения. Линейное уравнение с одной переменной. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 111, страница 24.

Условие.

111. Составьте уравнение, равносильное данному:

1) $ \frac{3}{x} = 1; $

2) $ \frac{3}{x} = 0; $

3) $ \frac{3}{x} = 3. $

Решение 1.

Решение 5.

Два уравнения называются равносильными, если множества их корней совпадают. Это означает, что у них одни и те же решения, или же оба уравнения не имеют решений. Чтобы составить равносильное уравнение, сначала найдем корень (или убедимся в его отсутствии) для данного уравнения, а затем подберем другое уравнение с таким же решением.

1)

Рассмотрим уравнение $\frac{3}{x} = 1$.
Область допустимых значений (ОДЗ) для этого уравнения: знаменатель не может быть равен нулю, следовательно, $x \neq 0$.
Для решения умножим обе части уравнения на $x$ (это допустимо, так как $x \neq 0$):
$x \cdot \frac{3}{x} = 1 \cdot x$
$3 = x$
Корень $x=3$ принадлежит ОДЗ. Таким образом, данное уравнение имеет единственный корень $x=3$.
Теперь составим равносильное уравнение. Самый простой вариант — это линейное уравнение, корнем которого является $x=3$.
Например, $x - 3 = 0$.
Это уравнение имеет единственный корень $x=3$, следовательно, оно равносильно исходному.
Ответ: $x - 3 = 0$.

2)

Рассмотрим уравнение $\frac{3}{x} = 0$.
ОДЗ: $x \neq 0$.
Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля.
В данном уравнении числитель равен 3. Так как $3 \neq 0$, левая часть уравнения никогда не может быть равна нулю.
Следовательно, уравнение не имеет корней.
Теперь составим равносильное уравнение, то есть уравнение, которое также не имеет корней.
Например, уравнение $x^2 = -1$. В множестве действительных чисел оно не имеет решений, так как квадрат любого действительного числа неотрицателен.
Другой простой пример: $0 \cdot x = 7$. При подстановке любого числа $x$ левая часть будет равна 0, а правая — 7. Равенство $0=7$ неверно, значит, у уравнения нет корней.
Ответ: $x^2 = -1$.

3)

Рассмотрим уравнение $\frac{3}{x} = 3$.
ОДЗ: $x \neq 0$.
Умножим обе части уравнения на $x$ :
$x \cdot \frac{3}{x} = 3 \cdot x$
$3 = 3x$
Разделим обе части на 3:
$1 = x$
Корень $x=1$ принадлежит ОДЗ. Уравнение имеет единственный корень $x=1$.
Составим равносильное уравнение, корнем которого является $x=1$.
Например, линейное уравнение $x - 1 = 0$.
Корень этого уравнения — $x=1$, значит, оно равносильно исходному.
Ответ: $x - 1 = 0$.