Номер 104, страница 23 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 3. Равносильные уравнения. Линейное уравнение с одной переменной. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 104, страница 23.

Условие.

104. Равносильны ли уравнения:

1) $7x = 28$ и $x + 4 = 11;$

2) $\frac{1}{6}x = 2$ и $-0,1x = -1,2;$

3) $x - 8 = 0$ и $x(x - 8) = 0;$

4) $x + 4 = 4 + x$ и $|x| = x;$

5) $\frac{7}{x} = 0$ и $2x = 0;$

6) $x^2 = -100$ и $\frac{10}{x} = 0?$

Решение 1.

Решение 5.

1) Два уравнения называются равносильными, если множества их решений (корней) совпадают. Чтобы проверить равносильность, найдем корни каждого уравнения.

Решим первое уравнение: $7x = 28$.
Разделим обе части на 7:
$x = \frac{28}{7}$
$x = 4$.
Множество решений первого уравнения: $\{4\}$.

Решим второе уравнение: $x + 4 = 11$.
Вычтем 4 из обеих частей:
$x = 11 - 4$
$x = 7$.
Множество решений второго уравнения: $\{7\}$.

Множества решений не совпадают ( $\{4\} \neq \{7\}$ ), следовательно, уравнения не равносильны.
Ответ: не равносильны.

2) Найдем корни каждого уравнения.

Решим первое уравнение: $\frac{1}{6}x = 2$.
Умножим обе части на 6:
$x = 2 \cdot 6$
$x = 12$.
Множество решений первого уравнения: $\{12\}$.

Решим второе уравнение: $-0,1x = -1,2$.
Разделим обе части на -0,1:
$x = \frac{-1,2}{-0,1}$
$x = 12$.
Множество решений второго уравнения: $\{12\}$.

Множества решений совпадают ( $\{12\} = \{12\}$ ), следовательно, уравнения равносильны.
Ответ: равносильны.

3) Найдем корни каждого уравнения.

Решим первое уравнение: $x - 8 = 0$.
$x = 8$.
Множество решений первого уравнения: $\{8\}$.

Решим второе уравнение: $x(x - 8) = 0$.
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю.
$x = 0$ или $x - 8 = 0$.
Отсюда получаем два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = 8$.
Множество решений второго уравнения: $\{0, 8\}$.

Множества решений не совпадают ( $\{8\} \neq \{0, 8\}$ ), так как второе уравнение имеет дополнительный корень $x=0$. Следовательно, уравнения не равносильны.
Ответ: не равносильны.

4) Найдем множества решений каждого уравнения.

Решим первое уравнение: $x + 4 = 4 + x$.
Вычтем $x$ из обеих частей: $4 = 4$.
Мы получили верное числовое равенство, которое не зависит от переменной $x$. Это означает, что любое число является решением этого уравнения.
Множество решений первого уравнения — все действительные числа: $x \in (-\infty; +\infty)$.

Решим второе уравнение: $|x| = x$.
По определению модуля числа, это равенство верно только для неотрицательных чисел.
Множество решений второго уравнения: $x \in [0; +\infty)$.

Множества решений не совпадают ( $(-\infty; +\infty) \neq [0; +\infty)$ ), следовательно, уравнения не равносильны.
Ответ: не равносильны.

5) Найдем корни каждого уравнения.

Решим первое уравнение: $\frac{7}{x} = 0$.
Дробь равна нулю, если ее числитель равен нулю, а знаменатель при этом не равен нулю.
Числитель дроби равен 7, что не равно нулю. Следовательно, это уравнение не имеет решений.
Множество решений первого уравнения — пустое множество: $\emptyset$.

Решим второе уравнение: $2x = 0$.
$x = \frac{0}{2}$
$x = 0$.
Множество решений второго уравнения: $\{0\}$.

Множества решений не совпадают ( $\emptyset \neq \{0\}$ ), следовательно, уравнения не равносильны.
Ответ: не равносильны.

6) Найдем корни каждого уравнения.

Решим первое уравнение: $x^2 = -100$.
Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным ($x^2 \ge 0$ для любого $x \in \mathbb{R}$).
Следовательно, это уравнение не имеет действительных решений.
Множество решений первого уравнения — пустое множество: $\emptyset$.

Решим второе уравнение: $\frac{10}{x} = 0$.
Дробь равна нулю, если ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.
Числитель дроби равен 10, что не равно нулю. Следовательно, это уравнение также не имеет решений.
Множество решений второго уравнения — пустое множество: $\emptyset$.

Оба уравнения не имеют решений. Так как множества их решений совпадают (оба пусты), уравнения являются равносильными.
Ответ: равносильны.