Номер 99, страница 19 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 2. Введение в алгебру. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 99, страница 19.

Условие.

99. Дано 12 натуральных чисел. Докажите, что из них всегда можно выбрать два, разность которых делится нацело на 11.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для решения этой задачи воспользуемся принципом Дирихле.

Рассмотрим остатки от деления данных 12 натуральных чисел на 11. При делении любого натурального числа на 11 может получиться один из 11 возможных остатков: $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10$.

Таким образом, у нас есть 12 чисел (это «голуби» в терминологии принципа Дирихле) и 11 возможных остатков (это «клетки»).

Согласно принципу Дирихле, если число «голубей» (12) больше числа «клеток» (11), то по крайней мере в одной «клетке» окажется более одного «голубя». В нашем случае это означает, что среди 12 заданных натуральных чисел обязательно найдутся как минимум два числа, которые имеют одинаковый остаток при делении на 11.

Пусть эти два числа — $a$ и $b$. То, что они имеют одинаковый остаток при делении на 11, можно записать следующим образом:

$a = 11k + r$

$b = 11m + r$

где $k$ и $m$ — некоторые целые числа (неполные частные), а $r$ — их одинаковый остаток ($0 \le r \le 10$).

Теперь найдем разность этих двух чисел:

$a - b = (11k + r) - (11m + r) = 11k + r - 11m - r = 11k - 11m = 11(k - m)$

Поскольку $k$ и $m$ — целые числа, то их разность $(k - m)$ также является целым числом. Следовательно, разность $a - b$ представляет собой произведение числа 11 на целое число, а это означает, что разность $a - b$ делится нацело на 11. Утверждение доказано.

Ответ: Утверждение доказано с помощью принципа Дирихле, так как при делении 12 чисел на 11 как минимум два числа будут иметь одинаковый остаток, и их разность будет делиться на 11.