Номер 93, страница 18 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 2. Введение в алгебру. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 93, страница 18.

Условие.

93. Известно, что $a$ и $b$ — натуральные числа, а число $\frac{a}{b}$ — правильная дробь. Можно ли утверждать, что:

1) $a - b > 0$;

2) $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$;

3) $\frac{b}{a} > \frac{a}{b}$?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

По условию задачи, $a$ и $b$ – натуральные числа, то есть $a \in \mathbb{N}$ и $b \in \mathbb{N}$. Это означает, что $a \ge 1$ и $b \ge 1$.

Дробь $\frac{a}{b}$ является правильной. По определению правильной дроби, ее числитель меньше знаменателя. Так как $a$ и $b$ – положительные числа, это означает, что $a < b$.

Таким образом, все утверждения мы будем проверять, исходя из условия $0 < a < b$.

1) $a - b > 0$;

Рассмотрим неравенство $a - b > 0$. Перенесем $b$ в правую часть неравенства, прибавив $b$ к обеим частям: $a > b$. Это утверждение противоречит условию задачи, согласно которому $a < b$ (так как дробь $\frac{a}{b}$ правильная). Например, пусть $a = 3$ и $b = 4$. Числа натуральные, дробь $\frac{3}{4}$ – правильная. При этом разность $a - b = 3 - 4 = -1$. Так как $-1 < 0$, утверждение $a - b > 0$ неверно.
Ответ: нет, нельзя утверждать.

2) $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$;

Мы знаем, что $a < b$. Поскольку $a$ и $b$ — натуральные числа, они оба положительны. Разделим обе части неравенства $a < b$ на положительное число $ab$. При делении на положительное число знак неравенства не меняется: $\frac{a}{ab} < \frac{b}{ab}$
Сократив дроби, получаем: $\frac{1}{b} < \frac{1}{a}$
Это неравенство эквивалентно исходному утверждению $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$. Также можно рассуждать, что для положительных чисел, чем больше число, тем меньше обратное ему число. Так как $b$ больше $a$, то $\frac{1}{b}$ будет меньше $\frac{1}{a}$. Следовательно, это утверждение всегда верно при заданных условиях.
Ответ: да, можно утверждать.

3) $\frac{b}{a} > \frac{a}{b}$?

Сравним две дроби $\frac{b}{a}$ и $\frac{a}{b}$. Так как $a$ и $b$ — натуральные числа, то $a > 0$ и $b > 0$. Значит, мы можем умножить обе части предполагаемого неравенства на положительное число $ab$, не меняя знака неравенства. $\frac{b}{a} \cdot ab > \frac{a}{b} \cdot ab$
$b^2 > a^2$
Поскольку $a$ и $b$ положительны, извлечение квадратного корня из обеих частей сохранит знак неравенства: $\sqrt{b^2} > \sqrt{a^2}$
$b > a$
Это неравенство совпадает с условием $a < b$, которое дано в задаче. Таким образом, утверждение $\frac{b}{a} > \frac{a}{b}$ является следствием того, что дробь $\frac{a}{b}$ правильная. Альтернативное рассуждение: так как $\frac{a}{b}$ – правильная дробь, то $0 < \frac{a}{b} < 1$. Дробь $\frac{b}{a}$ является обратной к ней. Так как $a < b$, то $\frac{b}{a} > 1$. Следовательно, $\frac{b}{a} > 1 > \frac{a}{b}$, что доказывает истинность утверждения.
Ответ: да, можно утверждать.