Номер 89, страница 18 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 2. Введение в алгебру. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 89, страница 18.

Условие.

Рис. 1

а) Длина: $P_a = 2a + 2b$

Площадь: $S_a = ad + c(b-d)$

б) Длина: $P_b = 2d + 2b + 2c$

Площадь: $S_b = dc + ab$

В) Длина: $P_V = a + 2b + 2c + d + \pi d$

Площадь: $S_V = ab - \frac{\pi d^2}{4}$

89. Составьте выражения для вычисления длины синей линии и площади фигуры, которую она ограничивает (рис. 1).

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а

Для вычисления длины синей линии (периметра) $P_а$ необходимо сложить длины всех ее сторон. Фигура представляет собой многоугольник. Длина нижней стороны равна $a$, левой — $b$, верхней — $c$, а правой вертикальной стороны — $d$. Две оставшиеся стороны (внутренний угол) можно выразить через заданные размеры. Горизонтальная сторона во внутреннем углу имеет длину $a-c$, а вертикальная — $b-d$. Таким образом, периметр $P_а$ равен сумме длин всех сторон: $P_а = a + b + c + d + (a-c) + (b-d)$. После упрощения получаем: $P_а = 2a + 2b$.

Для вычисления площади фигуры $S_а$ можно разбить ее на два прямоугольника. Например, проведя горизонтальную линию от правого верхнего угла фигуры влево. Получатся два прямоугольника: 1. Нижний прямоугольник со сторонами $a$ и $d$. Его площадь равна $ad$. 2. Верхний прямоугольник со сторонами $c$ и $(b-d)$. Его площадь равна $c(b-d) = bc - cd$. Общая площадь фигуры $S_а$ равна сумме площадей этих прямоугольников: $S_а = ad + bc - cd$.

Ответ: Длина линии: $P_а = 2a + 2b$. Площадь фигуры: $S_а = ad + bc - cd$.

б

Для вычисления длины синей линии (периметра) $P_б$ сложим длины всех ее участков. Фигура является симметричной. Периметр состоит из:

• нижнего основания длиной $a$;
• двух вертикальных участков высотой $b$ (боковые стороны "ствола");
• двух горизонтальных участков под "перекладиной", каждый длиной $\frac{d-a}{2}$, в сумме $d-a$;
• двух вертикальных участков высотой $c$ (боковые стороны "перекладины");
• верхнего основания длиной $d$.

Суммарная длина $P_б$ составляет: $P_б = a + 2b + (d-a) + 2c + d = 2b + 2c + 2d$.

Площадь фигуры $S_б$ можно найти как сумму площадей двух прямоугольников: 1. Нижний прямоугольник ("ствол") со сторонами $a$ и $b$. Его площадь равна $ab$. 2. Верхний прямоугольник ("перекладина") со сторонами $d$ и $c$. Его площадь равна $cd$. Общая площадь фигуры $S_б$ равна: $S_б = ab + cd$.

Ответ: Длина линии: $P_б = 2b + 2c + 2d$. Площадь фигуры: $S_б = ab + cd$.

в

Длина синей линии (периметр) $P_в$ состоит из прямолинейных и криволинейных участков.

• Прямолинейные участки: нижнее основание длиной $a$, две боковые стороны высотой $b$ и три горизонтальных отрезка на верхней стороне, каждый длиной $c$. Их общая длина: $a + 2b + 3c$.
• Криволинейные участки: две дуги полуокружностей. Каждая полуокружность имеет диаметр $d$. Длина одной дуги равна $\frac{1}{2}\pi d$. Суммарная длина двух дуг равна $\pi d$.

Общий периметр $P_в$ равен сумме длин всех этих участков: $P_в = a + 2b + 3c + \pi d$.

Площадь фигуры $S_в$ вычисляется как площадь большого прямоугольника за вычетом площадей двух полукругов.

• Площадь большого прямоугольника со сторонами $a$ и $b$ равна $ab$.
• Два полукруга с диаметром $d$ вместе образуют один круг с радиусом $r = \frac{d}{2}$. Площадь этого круга равна $\pi r^2 = \pi (\frac{d}{2})^2 = \frac{\pi d^2}{4}$.

Таким образом, площадь фигуры $S_в$ равна: $S_в = ab - \frac{\pi d^2}{4}$.

Ответ: Длина линии: $P_в = a + 2b + 3c + \pi d$. Площадь фигуры: $S_в = ab - \frac{\pi d^2}{4}$.