Номер 90, страница 18 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 2. Введение в алгебру. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 90, страница 18.

Условие.

90. Составьте выражения для вычисления длины синей линии и площади фигуры, которую она ограничивает (рис. 2).

Рис. 2

а) Длина синей линии: $L_a = 2a + 2b + 8d$

Площадь фигуры: $S_a = ab - 4cd$

б) Длина синей линии: $L_b = 2a + 2b + \frac{3}{2}\pi c - 3c$

Площадь фигуры: $S_b = ab - \frac{\pi c^2}{8}$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а

Для вычисления длины синей линии (периметра) сложим длины всех ее участков.

• Нижний горизонтальный участок: $a$.
• Два вертикальных участка по бокам: $b + b = 2b$.
• Верхняя "зубчатая" часть:
  • Сумма длин четырех верхних горизонтальных участков равна $a$. Это можно понять, если мысленно "поднять" нижние горизонтальные участки в вырезах на один уровень с верхними. Вместе они составят линию длиной $a$.
  • Вертикальные участки в вырезах: имеется 3 выреза, в каждом из которых линия идет вниз на $d$ и вверх на $d$. Общая длина этих участков: $3 \times (d + d) = 6d$.

Итого, общая длина линии $P_a$ равна сумме всех этих частей: $P_a = a + 2b + a + 6d = 2a + 2b + 6d$.

Площадь фигуры $S_a$ можно вычислить как сумму площади основного прямоугольника и площади четырех "выступов".

• Основной прямоугольник имеет стороны $a$ и $(b-d)$. Его площадь равна $a(b-d)$.
• Четыре прямоугольных "выступа" наверху имеют стороны $c$ и $d$. Их общая площадь равна $4 \times (c \times d) = 4cd$.

Таким образом, общая площадь фигуры: $S_a = a(b-d) + 4cd$.

Ответ: Длина линии: $P_a = 2a + 2b + 6d$. Площадь фигуры: $S_a = a(b-d) + 4cd$.

б

Для вычисления длины синей линии (периметра) сложим длины всех ее прямолинейных и криволинейных участков.

• Верхний прямой участок: $a$.
• Два прямых участка на левой стороне: $b + b = 2b$.
• Три криволинейных участка являются полуокружностями с диаметром $c$. Длина одной такой полуокружности равна половине длины окружности: $L_{полуокр.} = \frac{1}{2}\pi d = \frac{\pi c}{2}$. Так как таких участков три, их общая длина составляет $3 \times \frac{\pi c}{2} = \frac{3\pi c}{2}$.

Итого, общая длина линии $P_б$ равна: $P_б = a + 2b + \frac{3\pi c}{2}$.

Площадь фигуры $S_б$ можно найти, если взять за основу площадь центрального прямоугольника и учесть вырезанные и добавленные части.

• Из рисунка видно, что высота исходного прямоугольника слева равна $2b$, а справа она же равна диаметру $c$. Следовательно, можно считать, что исходный прямоугольник имеет стороны $a$ и $2b$ (или $c$). Его площадь равна $a \times 2b = 2ab$.
• Из этого прямоугольника вырезаны две полуокружности (слева и снизу) и добавлена одна полуокружность (справа). Все полуокружности имеют одинаковый диаметр $c$.
• Таким образом, итоговое изменение площади равно площади одной добавленной полуокружности минус площади двух вырезанных, что эквивалентно вычитанию площади одной полуокружности: $S_{изм.} = S_{полуокр.} - 2 \times S_{полуокр.} = -S_{полуокр.}$.
• Площадь полуокружности с диаметром $c$ (и радиусом $r = c/2$) равна: $S_{полуокр.} = \frac{1}{2}\pi r^2 = \frac{1}{2}\pi (\frac{c}{2})^2 = \frac{\pi c^2}{8}$.

Общая площадь фигуры: $S_б = (\text{Площадь прямоугольника}) - (\text{Площадь одной полуокружности}) = 2ab - \frac{\pi c^2}{8}$.

Ответ: Длина линии: $P_б = a + 2b + \frac{3\pi c}{2}$. Площадь фигуры: $S_б = 2ab - \frac{\pi c^2}{8}$.