Страница 18 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Рис. 1

а) Длина: $P_a = 2a + 2b$

Площадь: $S_a = ad + c(b-d)$

б) Длина: $P_b = 2d + 2b + 2c$

Площадь: $S_b = dc + ab$

В) Длина: $P_V = a + 2b + 2c + d + \pi d$

Площадь: $S_V = ab - \frac{\pi d^2}{4}$

89. Составьте выражения для вычисления длины синей линии и площади фигуры, которую она ограничивает (рис. 1).

а

Для вычисления длины синей линии (периметра) $P_а$ необходимо сложить длины всех ее сторон. Фигура представляет собой многоугольник. Длина нижней стороны равна $a$, левой — $b$, верхней — $c$, а правой вертикальной стороны — $d$. Две оставшиеся стороны (внутренний угол) можно выразить через заданные размеры. Горизонтальная сторона во внутреннем углу имеет длину $a-c$, а вертикальная — $b-d$. Таким образом, периметр $P_а$ равен сумме длин всех сторон: $P_а = a + b + c + d + (a-c) + (b-d)$. После упрощения получаем: $P_а = 2a + 2b$.

Для вычисления площади фигуры $S_а$ можно разбить ее на два прямоугольника. Например, проведя горизонтальную линию от правого верхнего угла фигуры влево. Получатся два прямоугольника: 1. Нижний прямоугольник со сторонами $a$ и $d$. Его площадь равна $ad$. 2. Верхний прямоугольник со сторонами $c$ и $(b-d)$. Его площадь равна $c(b-d) = bc - cd$. Общая площадь фигуры $S_а$ равна сумме площадей этих прямоугольников: $S_а = ad + bc - cd$.

Ответ: Длина линии: $P_а = 2a + 2b$. Площадь фигуры: $S_а = ad + bc - cd$.

б

Для вычисления длины синей линии (периметра) $P_б$ сложим длины всех ее участков. Фигура является симметричной. Периметр состоит из:

• нижнего основания длиной $a$;
• двух вертикальных участков высотой $b$ (боковые стороны "ствола");
• двух горизонтальных участков под "перекладиной", каждый длиной $\frac{d-a}{2}$, в сумме $d-a$;
• двух вертикальных участков высотой $c$ (боковые стороны "перекладины");
• верхнего основания длиной $d$.

Суммарная длина $P_б$ составляет: $P_б = a + 2b + (d-a) + 2c + d = 2b + 2c + 2d$.

Площадь фигуры $S_б$ можно найти как сумму площадей двух прямоугольников: 1. Нижний прямоугольник ("ствол") со сторонами $a$ и $b$. Его площадь равна $ab$. 2. Верхний прямоугольник ("перекладина") со сторонами $d$ и $c$. Его площадь равна $cd$. Общая площадь фигуры $S_б$ равна: $S_б = ab + cd$.

Ответ: Длина линии: $P_б = 2b + 2c + 2d$. Площадь фигуры: $S_б = ab + cd$.

в

Длина синей линии (периметр) $P_в$ состоит из прямолинейных и криволинейных участков.

• Прямолинейные участки: нижнее основание длиной $a$, две боковые стороны высотой $b$ и три горизонтальных отрезка на верхней стороне, каждый длиной $c$. Их общая длина: $a + 2b + 3c$.
• Криволинейные участки: две дуги полуокружностей. Каждая полуокружность имеет диаметр $d$. Длина одной дуги равна $\frac{1}{2}\pi d$. Суммарная длина двух дуг равна $\pi d$.

Общий периметр $P_в$ равен сумме длин всех этих участков: $P_в = a + 2b + 3c + \pi d$.

Площадь фигуры $S_в$ вычисляется как площадь большого прямоугольника за вычетом площадей двух полукругов.

• Площадь большого прямоугольника со сторонами $a$ и $b$ равна $ab$.
• Два полукруга с диаметром $d$ вместе образуют один круг с радиусом $r = \frac{d}{2}$. Площадь этого круга равна $\pi r^2 = \pi (\frac{d}{2})^2 = \frac{\pi d^2}{4}$.

Таким образом, площадь фигуры $S_в$ равна: $S_в = ab - \frac{\pi d^2}{4}$.

Ответ: Длина линии: $P_в = a + 2b + 3c + \pi d$. Площадь фигуры: $S_в = ab - \frac{\pi d^2}{4}$.

90. Составьте выражения для вычисления длины синей линии и площади фигуры, которую она ограничивает (рис. 2).

Рис. 2

а) Длина синей линии: $L_a = 2a + 2b + 8d$

Площадь фигуры: $S_a = ab - 4cd$

б) Длина синей линии: $L_b = 2a + 2b + \frac{3}{2}\pi c - 3c$

Площадь фигуры: $S_b = ab - \frac{\pi c^2}{8}$

а

Для вычисления длины синей линии (периметра) сложим длины всех ее участков.

• Нижний горизонтальный участок: $a$.
• Два вертикальных участка по бокам: $b + b = 2b$.
• Верхняя "зубчатая" часть:
  • Сумма длин четырех верхних горизонтальных участков равна $a$. Это можно понять, если мысленно "поднять" нижние горизонтальные участки в вырезах на один уровень с верхними. Вместе они составят линию длиной $a$.
  • Вертикальные участки в вырезах: имеется 3 выреза, в каждом из которых линия идет вниз на $d$ и вверх на $d$. Общая длина этих участков: $3 \times (d + d) = 6d$.

Итого, общая длина линии $P_a$ равна сумме всех этих частей: $P_a = a + 2b + a + 6d = 2a + 2b + 6d$.

Площадь фигуры $S_a$ можно вычислить как сумму площади основного прямоугольника и площади четырех "выступов".

• Основной прямоугольник имеет стороны $a$ и $(b-d)$. Его площадь равна $a(b-d)$.
• Четыре прямоугольных "выступа" наверху имеют стороны $c$ и $d$. Их общая площадь равна $4 \times (c \times d) = 4cd$.

Таким образом, общая площадь фигуры: $S_a = a(b-d) + 4cd$.

Ответ: Длина линии: $P_a = 2a + 2b + 6d$. Площадь фигуры: $S_a = a(b-d) + 4cd$.

б

Для вычисления длины синей линии (периметра) сложим длины всех ее прямолинейных и криволинейных участков.

• Верхний прямой участок: $a$.
• Два прямых участка на левой стороне: $b + b = 2b$.
• Три криволинейных участка являются полуокружностями с диаметром $c$. Длина одной такой полуокружности равна половине длины окружности: $L_{полуокр.} = \frac{1}{2}\pi d = \frac{\pi c}{2}$. Так как таких участков три, их общая длина составляет $3 \times \frac{\pi c}{2} = \frac{3\pi c}{2}$.

Итого, общая длина линии $P_б$ равна: $P_б = a + 2b + \frac{3\pi c}{2}$.

Площадь фигуры $S_б$ можно найти, если взять за основу площадь центрального прямоугольника и учесть вырезанные и добавленные части.

• Из рисунка видно, что высота исходного прямоугольника слева равна $2b$, а справа она же равна диаметру $c$. Следовательно, можно считать, что исходный прямоугольник имеет стороны $a$ и $2b$ (или $c$). Его площадь равна $a \times 2b = 2ab$.
• Из этого прямоугольника вырезаны две полуокружности (слева и снизу) и добавлена одна полуокружность (справа). Все полуокружности имеют одинаковый диаметр $c$.
• Таким образом, итоговое изменение площади равно площади одной добавленной полуокружности минус площади двух вырезанных, что эквивалентно вычитанию площади одной полуокружности: $S_{изм.} = S_{полуокр.} - 2 \times S_{полуокр.} = -S_{полуокр.}$.
• Площадь полуокружности с диаметром $c$ (и радиусом $r = c/2$) равна: $S_{полуокр.} = \frac{1}{2}\pi r^2 = \frac{1}{2}\pi (\frac{c}{2})^2 = \frac{\pi c^2}{8}$.

Общая площадь фигуры: $S_б = (\text{Площадь прямоугольника}) - (\text{Площадь одной полуокружности}) = 2ab - \frac{\pi c^2}{8}$.

Ответ: Длина линии: $P_б = a + 2b + \frac{3\pi c}{2}$. Площадь фигуры: $S_б = 2ab - \frac{\pi c^2}{8}$.

91. (Задача из русского фольклора) Мельник берёт за работу $\frac{1}{10}$ смолотой муки. Сколько муки намололи крестьянину, если домой он повёз 99 пудов муки?

Для решения этой задачи обозначим общее количество намолотой муки за $x$.

Мельник за свою работу забирает $\frac{1}{10}$ часть от всей муки. Это количество можно выразить как $\frac{1}{10}x$.

Крестьянину остается вся мука за вычетом той части, которую забрал мельник. Если вся мука это 1 (целое), то доля крестьянина составляет: $1 - \frac{1}{10} = \frac{10}{10} - \frac{1}{10} = \frac{9}{10}$

Таким образом, крестьянин получает $\frac{9}{10}$ от всего количества муки, то есть $\frac{9}{10}x$.

Из условия задачи мы знаем, что крестьянин повёз домой 99 пудов муки. Это и есть его доля. Составим уравнение: $\frac{9}{10}x = 99$

Теперь найдём $x$ (общее количество муки), решив это уравнение. Для этого нужно разделить 99 на $\frac{9}{10}$: $x = 99 \div \frac{9}{10}$

Чтобы разделить на дробь, нужно умножить на обратную ей дробь: $x = 99 \cdot \frac{10}{9}$

Сократим 99 и 9: $x = \frac{99 \cdot 10}{9} = 11 \cdot 10 = 110$

Следовательно, всего было намолото 110 пудов муки.

Ответ: 110 пудов муки.

92. В столовую завезли капусту, морковь и картофель. Капусты было 64 кг, масса моркови составляла $ \frac{5}{8} $ массы капусты, а масса картофеля – 180% массы моркови. Сколько всего килограммов овощей завезли в столовую?

Для того чтобы найти общую массу овощей, необходимо последовательно вычислить массу каждого вида овощей, а затем сложить полученные значения.

1. Найдем массу моркови.

По условию, масса капусты равна 64 кг, а масса моркови составляет $ \frac{5}{8} $ от массы капусты. Чтобы найти массу моркови, умножим массу капусты на эту дробь:

$64 \text{ кг} \times \frac{5}{8} = \frac{64 \times 5}{8} = 8 \times 5 = 40$ кг.

Таким образом, масса моркови составляет 40 кг.

2. Найдем массу картофеля.

Масса картофеля составляет 180% от массы моркови. Для вычисления необходимо перевести проценты в десятичную дробь: $180\% = \frac{180}{100} = 1.8$.

Теперь умножим массу моркови на это значение:

$40 \text{ кг} \times 1.8 = 72$ кг.

Следовательно, масса картофеля равна 72 кг.

3. Найдем общую массу овощей.

Сложим массу капусты, моркови и картофеля:

$64 \text{ кг} + 40 \text{ кг} + 72 \text{ кг} = 176$ кг.

Ответ: в столовую завезли 176 килограммов овощей.

93. Известно, что $a$ и $b$ — натуральные числа, а число $\frac{a}{b}$ — правильная дробь. Можно ли утверждать, что:

1) $a - b > 0$;

2) $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$;

3) $\frac{b}{a} > \frac{a}{b}$?

По условию задачи, $a$ и $b$ – натуральные числа, то есть $a \in \mathbb{N}$ и $b \in \mathbb{N}$. Это означает, что $a \ge 1$ и $b \ge 1$.

Дробь $\frac{a}{b}$ является правильной. По определению правильной дроби, ее числитель меньше знаменателя. Так как $a$ и $b$ – положительные числа, это означает, что $a < b$.

Таким образом, все утверждения мы будем проверять, исходя из условия $0 < a < b$.

1) $a - b > 0$;

Рассмотрим неравенство $a - b > 0$. Перенесем $b$ в правую часть неравенства, прибавив $b$ к обеим частям: $a > b$. Это утверждение противоречит условию задачи, согласно которому $a < b$ (так как дробь $\frac{a}{b}$ правильная). Например, пусть $a = 3$ и $b = 4$. Числа натуральные, дробь $\frac{3}{4}$ – правильная. При этом разность $a - b = 3 - 4 = -1$. Так как $-1 < 0$, утверждение $a - b > 0$ неверно.
Ответ: нет, нельзя утверждать.

2) $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$;

Мы знаем, что $a < b$. Поскольку $a$ и $b$ — натуральные числа, они оба положительны. Разделим обе части неравенства $a < b$ на положительное число $ab$. При делении на положительное число знак неравенства не меняется: $\frac{a}{ab} < \frac{b}{ab}$
Сократив дроби, получаем: $\frac{1}{b} < \frac{1}{a}$
Это неравенство эквивалентно исходному утверждению $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$. Также можно рассуждать, что для положительных чисел, чем больше число, тем меньше обратное ему число. Так как $b$ больше $a$, то $\frac{1}{b}$ будет меньше $\frac{1}{a}$. Следовательно, это утверждение всегда верно при заданных условиях.
Ответ: да, можно утверждать.

3) $\frac{b}{a} > \frac{a}{b}$?

Сравним две дроби $\frac{b}{a}$ и $\frac{a}{b}$. Так как $a$ и $b$ — натуральные числа, то $a > 0$ и $b > 0$. Значит, мы можем умножить обе части предполагаемого неравенства на положительное число $ab$, не меняя знака неравенства. $\frac{b}{a} \cdot ab > \frac{a}{b} \cdot ab$
$b^2 > a^2$
Поскольку $a$ и $b$ положительны, извлечение квадратного корня из обеих частей сохранит знак неравенства: $\sqrt{b^2} > \sqrt{a^2}$
$b > a$
Это неравенство совпадает с условием $a < b$, которое дано в задаче. Таким образом, утверждение $\frac{b}{a} > \frac{a}{b}$ является следствием того, что дробь $\frac{a}{b}$ правильная. Альтернативное рассуждение: так как $\frac{a}{b}$ – правильная дробь, то $0 < \frac{a}{b} < 1$. Дробь $\frac{b}{a}$ является обратной к ней. Так как $a < b$, то $\frac{b}{a} > 1$. Следовательно, $\frac{b}{a} > 1 > \frac{a}{b}$, что доказывает истинность утверждения.
Ответ: да, можно утверждать.