Страница 15 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Как иначе называют буквенные выражения?

1. Буквенные выражения иначе называют алгебраическими выражениями.

Этот термин используется потому, что такие выражения являются основным объектом изучения в алгебре — разделе математики, который обобщает и расширяет арифметику. В отличие от арифметических выражений, которые состоят только из чисел, знаков операций и скобок, буквенные (алгебраические) выражения включают в себя также и буквы.

Эти буквы называются переменными, так как они могут принимать различные числовые значения. Использование переменных позволяет записывать общие математические законы и формулы, а также составлять и решать уравнения. Совокупность чисел, переменных, знаков арифметических действий и скобок образует алгебраическое выражение.

Примерами буквенных (алгебраических) выражений являются: $a+b$, $5x - 4y$, $m^2 + 2mn + n^2$, $\frac{k-8}{c}$.

Также в качестве синонима иногда используется название "выражение с переменными", которое прямо указывает на их ключевую особенность.

Ответ: Алгебраические выражения.

2. Какие выражения называют алгебраическими?

Алгебраическим выражением называют осмысленную математическую запись, которая состоит из чисел, букв (переменных) и знаков арифметических операций. Такие выражения также могут включать скобки для указания порядка действий. Ключевое отличие алгебраического выражения от арифметического — наличие в нем одной или нескольких буквенных переменных.

Основные компоненты алгебраического выражения:

1. Числа (константы): это постоянные, неизменные величины. Например: $5, -10, \frac{1}{2}, \pi$.

2. Буквы (переменные): это символы, обозначающие неизвестные или изменяющиеся величины. Например: $x, a, y, t$.

3. Знаки математических операций: это символы, указывающие на действия, которые нужно выполнить. Основные операции: сложение ($+$), вычитание ($-$), умножение ($\cdot$), деление ($:$ или $/$), возведение в степень ($a^n$) и извлечение корня ($\sqrt{a}$).

Классификация и примеры алгебраических выражений

В зависимости от того, какие операции содержатся в выражении, их можно разделить на несколько типов.

1. Целые выражения

Это выражения, которые не содержат деления на переменную. Они состоят из чисел и переменных, соединенных операциями сложения, вычитания, умножения и возведения в целую степень.
Примеры: $3x^2 - 5y + 1$; $2a(b+c)$; $\frac{m+n}{4}$. Деление на число, как в последнем примере, допускается.

2. Дробные выражения

Это выражения, в которых есть операция деления на переменную или на выражение, содержащее переменную.
Примеры: $\frac{x+1}{x-1}$; $a + \frac{5}{b}$; $(c-d) : (c^2)$.

3. Рациональные выражения

Это общее название для целых и дробных выражений. В таких выражениях над переменными выполняются только операции сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в целую степень.
Примеры: все выражения из пунктов 1 и 2.

4. Иррациональные выражения

Это выражения, содержащие операцию извлечения корня из переменной или возведение переменной в дробную (нецелую) степень.
Примеры: $\sqrt{x} + 7$; $y^{\frac{1}{3}} - 2a$; $\frac{\sqrt{m+n}}{k}$.

Ответ: Алгебраическими выражениями называют математические записи, состоящие из чисел, буквенных переменных и знаков математических операций (сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень, извлечение корня). Они классифицируются на целые, дробные, рациональные и иррациональные в зависимости от операций, применяемых к переменным.

3. Какие алгебраические выражения называют целыми?

Целыми алгебраическими выражениями называют выражения, которые составлены из чисел и переменных с помощью действий сложения, вычитания, умножения, а также возведения в натуральную степень. Ключевая особенность целых выражений заключается в том, что они не содержат операции деления на переменную или на выражение с переменной.

Таким образом, если в алгебраическом выражении нет знаменателей, содержащих переменные, то такое выражение является целым.

Примеры целых выражений:

• Любой многочлен, например: $5x^3 - 2x^2y + 8y - 1$.

• Любой одночлен, например: $13a^4b^2c$.

• Сумма или разность переменных: $m + n - k$.

• Выражение, содержащее деление на число (константу), так как это эквивалентно умножению на дробное число: $ \frac{x}{5} + 2y $, что то же самое, что и $0.2x + 2y$.

Для сравнения, выражения, которые НЕ являются целыми (их называют дробными или дробно-рациональными):

• Выражения, содержащие деление на переменную: $a + \frac{1}{a}$.

• Выражения, где в знаменателе дроби есть переменная: $\frac{x+y}{z-3}$.

• Выражение $ \frac{b-8}{c} $, так как оно содержит деление на переменную $c$.

Ответ: Целыми называют алгебраические выражения, которые не содержат деления на переменную или на выражение с переменной. Они составляются из чисел и переменных с помощью действий сложения, вычитания, умножения и возведения в натуральную степень.