Страница 10 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

49. В таблице приведена информация о доходах и расходах фирмы за 5 месяцев:

Месяц | Доход, р. | Расход, р.

Январь | 240 000 | 235 000

Февраль | 250 000 | 255 000

Март | 265 000 | 245 000

Апрель | 243 000 | 235 000

Май | 255 000 | 215 000

Определите, в каком месяце:

1) расход был больше, чем в предыдущем;

2) доход был меньше, чем в предыдущем;

3) разница между доходом и расходом была наибольшей.

1) расход был больше, чем в предыдущем;

Для ответа на этот вопрос необходимо сравнить расходы каждого месяца (начиная с февраля) с расходами предыдущего месяца.
- Расход в феврале ($255~000$ р.) по сравнению с январем ($235~000$ р.): $255~000 > 235~000$, следовательно, расход увеличился.
- Расход в марте ($245~000$ р.) по сравнению с февралем ($255~000$ р.): $245~000 < 255~000$, следовательно, расход уменьшился.
- Расход в апреле ($235~000$ р.) по сравнению с мартом ($245~000$ р.): $235~000 < 245~000$, следовательно, расход уменьшился.
- Расход в мае ($215~000$ р.) по сравнению с апрелем ($235~000$ р.): $215~000 < 235~000$, следовательно, расход уменьшился.
Таким образом, единственный месяц, в котором расход был больше, чем в предыдущем, — это февраль.
Ответ: в феврале.

2) доход был меньше, чем в предыдущем;

Сравним доходы каждого месяца (начиная с февраля) с доходами предыдущего месяца.
- Доход в феврале ($250~000$ р.) по сравнению с январем ($240~000$ р.): $250~000 > 240~000$, следовательно, доход увеличился.
- Доход в марте ($265~000$ р.) по сравнению с февралем ($250~000$ р.): $265~000 > 250~000$, следовательно, доход увеличился.
- Доход в апреле ($243~000$ р.) по сравнению с мартом ($265~000$ р.): $243~000 < 265~000$, следовательно, доход уменьшился.
- Доход в мае ($255~000$ р.) по сравнению с апрелем ($243~000$ р.): $255~000 > 243~000$, следовательно, доход увеличился.
Единственный месяц, в котором доход был меньше, чем в предыдущем, — это апрель.
Ответ: в апреле.

3) разница между доходом и расходом была наибольшей.

Чтобы найти наибольшую разницу, вычислим разницу между доходом и расходом (прибыль) для каждого из пяти месяцев.
- Январь: $240~000 - 235~000 = 5~000$ р.
- Февраль: $250~000 - 255~000 = -5~000$ р.
- Март: $265~000 - 245~000 = 20~000$ р.
- Апрель: $243~000 - 235~000 = 8~000$ р.
- Май: $255~000 - 215~000 = 40~000$ р.
Сравнивая полученные значения ($5~000$, $-5~000$, $20~000$, $8~000$ и $40~000$), мы видим, что наибольшая разница, равная $40~000$ р., была достигнута в мае.
Ответ: в мае.

50. Какую цифру можно поставить вместо звёздочки, чтобы получилось верное неравенство (рассмотрите все возможные случаи):

1) $27\ast3 < 2746$;

2) $-4,256 > -4,25\ast$?

1) В неравенстве $27*3 < 2746$ сравниваются два четырехзначных числа. Обозначим неизвестную цифру, стоящую на месте звездочки, через $x$. Тогда левая часть неравенства примет вид $27x3$.

Сравним числа $27x3$ и $2746$ поразрядно слева направо.
- Цифры в разряде тысяч одинаковы: $2 = 2$.
- Цифры в разряде сотен одинаковы: $7 = 7$.
- Чтобы неравенство было верным, сравнение должно определиться на разряде десятков или единиц.

Рассмотрим два случая для цифры в разряде десятков $x$:
1. Если цифра в разряде десятков левого числа меньше, чем у правого, то есть $x < 4$, то все число $27x3$ будет меньше числа $2746$ независимо от цифры в разряде единиц. Цифры, которые меньше 4, это 0, 1, 2, 3.
Например, $2703 < 2746$, $2713 < 2746$, $2723 < 2746$, $2733 < 2746$. Все эти неравенства верны.

2. Если цифра в разряде десятков левого числа равна цифре в разряде десятков правого, то есть $x = 4$, то сравнение переходит на разряд единиц. Неравенство примет вид $2743 < 2746$. Так как $3 < 6$, это неравенство является верным. Значит, цифра 4 также подходит.

Если же мы возьмем $x > 4$ (например, $x = 5$), то получим $2753 < 2746$, что неверно. Следовательно, цифры 5, 6, 7, 8, 9 не подходят.

Таким образом, вместо звездочки можно поставить цифры 0, 1, 2, 3, 4.
Ответ: 0, 1, 2, 3, 4.

2) В неравенстве $-4,256 > -4,25*$ сравниваются два отрицательных десятичных числа. Обозначим неизвестную цифру, стоящую на месте звездочки, через $y$. Тогда правая часть неравенства примет вид $-4,25y$.

Из двух отрицательных чисел больше то, модуль которого меньше. То есть, чтобы неравенство $-4,256 > -4,25y$ было верным, должно выполняться неравенство для их модулей: $|-4,256| < |-4,25y|$, что равносильно $4,256 < 4,25y$.

Сравним числа $4,256$ и $4,25y$ поразрядно слева направо.
- Целые части одинаковы: $4 = 4$.
- Цифры в разряде десятых одинаковы: $2 = 2$.
- Цифры в разряде сотых одинаковы: $5 = 5$.
- Сравнение зависит от цифры в разряде тысячных. Чтобы неравенство $4,256 < 4,25y$ было верным, цифра в разряде тысячных левого числа должна быть меньше цифры в разряде тысячных правого числа. То есть, должно выполняться условие $6 < y$.

Цифры, которые больше 6, это 7, 8, 9.
Проверим:

• Если $y = 7$, то $-4,256 > -4,257$ (верно, так как $4,256 < 4,257$).
• Если $y = 8$, то $-4,256 > -4,258$ (верно, так как $4,256 < 4,258$).
• Если $y = 9$, то $-4,256 > -4,259$ (верно, так как $4,256 < 4,259$).

Если $y \le 6$, неравенство будет неверным. Например, при $y=5$ имеем $-4,256 > -4,255$, что неверно.

Таким образом, вместо звездочки можно поставить цифры 7, 8, 9.
Ответ: 7, 8, 9.

51. Какую цифру можно поставить вместо звёздочки, чтобы получилось верное неравенство (рассмотрите все возможные случаи):

1) $152* < 1523$;

2) $-8,5*8 > -8,527$?

1) Рассматривается неравенство $152* < 1523$.

В данном неравенстве сравниваются два положительных четырехзначных числа. Первые три цифры (разряды тысяч, сотен и десятков) у обоих чисел одинаковы: 1, 5 и 2. Следовательно, чтобы неравенство было верным, цифра в разряде единиц у первого числа должна быть меньше цифры в разряде единиц у второго числа.

Пусть вместо звёздочки стоит цифра $x$. Тогда мы получаем неравенство $x < 3$.

Цифры, которые удовлетворяют этому условию, это 0, 1 и 2.

• Если подставить 0: $1520 < 1523$ (верно).
• Если подставить 1: $1521 < 1523$ (верно).
• Если подставить 2: $1522 < 1523$ (верно).
• Если подставить 3: $1523 < 1523$ (неверно, так как числа равны).

Таким образом, вместо звёздочки можно поставить цифры 0, 1 или 2.

Ответ: 0, 1, 2.

2) Рассматривается неравенство $-8,5*8 > -8,527$.

В данном случае мы сравниваем два отрицательных числа. Из двух отрицательных чисел больше то, модуль которого меньше. Поэтому исходное неравенство будет верным, если будет выполняться неравенство для их модулей: $|-8,5*8| < |-8,527|$, то есть $8,5*8 < 8,527$.

Теперь сравним положительные десятичные дроби $8,5*8$ и $8,527$.

Сравнение начинаем поразрядно слева направо:

• Целые части равны: $8 = 8$.
• Цифры в разряде десятых равны: $5 = 5$.
• Сравниваем цифры в разряде сотых: на месте звёздочки стоит некоторая цифра $x$, а во втором числе стоит 2.

Чтобы неравенство $8,5x8 < 8,527$ было верным, цифра $x$ должна быть меньше или равна 2.

• Если $x < 2$, то есть $x = 0$ или $x = 1$, то неравенство будет верным. Например, $8,508 < 8,527$ и $8,518 < 8,527$. Это верные утверждения.
• Если $x = 2$, то неравенство принимает вид $8,528 < 8,527$. Теперь нужно сравнить цифры в разряде тысячных: $8$ и $7$. Так как $8 > 7$, то неравенство $8,528 < 8,527$ является ложным. Значит, цифра 2 не подходит.

Следовательно, вместо звёздочки можно поставить цифры 0 или 1.

Ответ: 0, 1.

52. Составьте числовое выражение и найдите его значение:

1) произведение суммы чисел -12 и 8 и числа 0,5; $ (-12 + 8) \times 0.5 $

2) сумма произведения чисел -12 и 8 и числа 0,5; $ (-12 \times 8) + 0.5 $

3) частное суммы и разности чисел -1,6 и -1,2; $ \frac{-1.6 + (-1.2)}{-1.6 - (-1.2)} $

4) квадрат суммы чисел -10 и 6; $ (-10 + 6)^2 $

5) сумма квадратов чисел -10 и 6. $ (-10)^2 + 6^2 $

1) произведение суммы чисел –12 и 8 и числа 0,5;

Сначала необходимо найти сумму чисел $-12$ и $8$. Затем результат этого сложения нужно умножить на число $0,5$.

Составим числовое выражение: $ ((-12) + 8) \cdot 0,5 $.

Выполним вычисления по порядку действий:

1. Находим сумму в скобках: $-12 + 8 = -4$.

2. Умножаем результат на $0,5$: $-4 \cdot 0,5 = -2$.

Ответ: -2

2) сумма произведения чисел –12 и 8 и числа 0,5;

В этом случае сначала нужно найти произведение чисел $-12$ и $8$. Затем к полученному результату необходимо прибавить число $0,5$.

Составим числовое выражение: $ ((-12) \cdot 8) + 0,5 $.

Выполним вычисления по порядку действий:

1. Находим произведение: $-12 \cdot 8 = -96$.

2. Прибавляем к результату $0,5$: $-96 + 0,5 = -95,5$.

Ответ: -95,5

3) частное суммы и разности чисел –1,6 и –1,2;

Здесь нужно найти два значения: сумму и разность чисел $-1,6$ и $-1,2$. Затем сумму нужно разделить на разность.

Составим числовое выражение: $ ((-1,6) + (-1,2)) \div ((-1,6) - (-1,2)) $.

Выполним вычисления по порядку действий:

1. Находим сумму чисел: $-1,6 + (-1,2) = -1,6 - 1,2 = -2,8$.

2. Находим разность чисел: $-1,6 - (-1,2) = -1,6 + 1,2 = -0,4$.

3. Находим частное (делим сумму на разность): $-2,8 \div (-0,4) = 28 \div 4 = 7$.

Ответ: 7

4) квадрат суммы чисел –10 и 6;

Сначала найдем сумму чисел $-10$ и $6$. Затем полученный результат возведем в квадрат.

Составим числовое выражение: $ ((-10) + 6)^2 $.

Выполним вычисления:

1. Находим сумму в скобках: $-10 + 6 = -4$.

2. Возводим результат в квадрат: $(-4)^2 = 16$.

Ответ: 16

5) сумма квадратов чисел –10 и 6.

В этом задании нужно сначала возвести каждое число в квадрат по отдельности, а затем сложить полученные результаты.

Составим числовое выражение: $ (-10)^2 + 6^2 $.

Выполним вычисления:

1. Возводим в квадрат первое число: $(-10)^2 = 100$.

2. Возводим в квадрат второе число: $6^2 = 36$.

3. Складываем результаты: $100 + 36 = 136$.

Ответ: 136

53. Составьте числовое выражение и найдите его значение:

1) частное от деления суммы чисел $ \frac{4}{9} $ и $ -\frac{5}{6} $ на число $ -\frac{14}{27} $;

2) разность произведения чисел -1,5 и 4 и числа 2;

3) произведение суммы и разности чисел -1,9 и 0,9;

4) куб разности чисел 6 и 8.

1) частное от деления суммы чисел $\frac{4}{9}$ и $-\frac{5}{6}$ на число $-\frac{14}{27}$

Сначала составим числовое выражение в соответствии с условием задачи: $(\frac{4}{9} + (-\frac{5}{6})) : (-\frac{14}{27})$.

1. Выполним действие в скобках — сложение дробей. Для этого приведем их к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для знаменателей 9 и 6 равно 18.

$\frac{4}{9} + (-\frac{5}{6}) = \frac{4 \cdot 2}{9 \cdot 2} - \frac{5 \cdot 3}{6 \cdot 3} = \frac{8}{18} - \frac{15}{18} = \frac{8 - 15}{18} = -\frac{7}{18}$

2. Теперь выполним деление. Чтобы разделить на дробь, нужно умножить на дробь, обратную делителю.

$-\frac{7}{18} : (-\frac{14}{27}) = -\frac{7}{18} \cdot (-\frac{27}{14})$

Произведение двух отрицательных чисел — число положительное. Перед умножением сократим дроби:

$\frac{7 \cdot 27}{18 \cdot 14} = \frac{^1\cancel{7} \cdot ^{3}\cancel{27}}{^2\cancel{18} \cdot ^{2}\cancel{14}} = \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 2} = \frac{3}{4}$

Ответ: $\frac{3}{4}$

2) разность произведения чисел $-1,5$ и $4$ и числа $2$

Составим числовое выражение: $(-1,5 \cdot 4) - 2$.

1. Первым действием выполним умножение в скобках.

$-1,5 \cdot 4 = -6$

2. Вторым действием найдем разность — из полученного произведения вычтем 2.

$-6 - 2 = -8$

Ответ: $-8$

3) произведение суммы и разности чисел $-1,9$ и $0,9$

Составим выражение. Нам необходимо найти произведение двух результатов: суммы чисел $(-1,9 + 0,9)$ и их разности $(-1,9 - 0,9)$.

$(-1,9 + 0,9) \cdot (-1,9 - 0,9)$

1. Найдем значение в первых скобках (сумма):

$-1,9 + 0,9 = -1$

2. Найдем значение во вторых скобках (разность):

$-1,9 - 0,9 = -2,8$

3. Теперь перемножим полученные результаты:

$-1 \cdot (-2,8) = 2,8$

Ответ: $2,8$

4) куб разности чисел 6 и 8

Составим числовое выражение: $(6 - 8)^3$.

1. Сначала выполним действие в скобках — найдем разность чисел.

$6 - 8 = -2$

2. Теперь возведем полученный результат в куб (в третью степень).

$(-2)^3 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = 4 \cdot (-2) = -8$

Ответ: $-8$

54. Для 90 учащихся седьмых классов решили закупить для каждого по 7 тетрадей в клетку и по 4 тетради в линейку. Стоимость одной тетради любого вида составляет 40 р. При покупке тетрадей в упаковках по 50 штук в каждой (упаковка состоит из тетрадей одного вида) на каждую упаковку предоставляется скидка в размере 5%. За какую наименьшую сумму можно приобрести необходимое количество тетрадей?

Для нахождения наименьшей суммы необходимо рассчитать затраты на каждый вид тетрадей, выбрав наиболее выгодный способ покупки (целыми упаковками со скидкой или частично поштучно без скидки), а затем сложить полученные минимальные стоимости.

Расчет необходимого количества тетрадей

Сначала определим, сколько всего тетрадей каждого вида нужно купить для 90 учащихся.

Тетрадей в клетку: $90 \text{ учащихся} \times 7 \text{ тетрадей/учащегося} = 630$ штук.

Тетрадей в линейку: $90 \text{ учащихся} \times 4 \text{ тетради/учащегося} = 360$ штук.

Расчет стоимости одной упаковки со скидкой

Стоимость одной тетради — 40 рублей. В одной упаковке 50 тетрадей. Стоимость упаковки без скидки составляет $50 \times 40 = 2000$ рублей. На покупку упаковки предоставляется скидка 5%.

Стоимость одной упаковки со скидкой: $2000 - (2000 \times \frac{5}{100}) = 2000 - 100 = 1900$ рублей.

Определение наименьшей стоимости для тетрадей в клетку

Нужно приобрести 630 тетрадей в клетку. Разделим это количество на число тетрадей в упаковке, чтобы определить, сколько целых упаковок можно купить:

$630 \div 50 = 12$ и 30 в остатке.

Это означает, что можно купить 12 полных упаковок и оставшиеся 30 тетрадей поштучно. Рассчитаем стоимость этого варианта:

Стоимость 12 упаковок: $12 \times 1900 \text{ р.} = 22800$ рублей.

Стоимость 30 тетрадей поштучно: $30 \times 40 \text{ р.} = 1200$ рублей.

Суммарная стоимость: $22800 + 1200 = 24000$ рублей.

Теперь рассмотрим другой вариант: покупка 13 упаковок, чтобы покрыть всю потребность. В этом случае мы купим $13 \times 50 = 650$ тетрадей. Стоимость 13 упаковок: $13 \times 1900 = 24700$ рублей.

Сравнивая два варианта, видим, что $24000 < 24700$. Следовательно, выгоднее купить 12 упаковок и 30 тетрадей поштучно. Минимальная стоимость тетрадей в клетку — 24000 рублей.

Определение наименьшей стоимости для тетрадей в линейку

Нужно приобрести 360 тетрадей в линейку. Аналогично рассчитаем количество упаковок:

$360 \div 50 = 7$ и 10 в остатке.

Рассчитаем стоимость покупки 7 упаковок и 10 тетрадей поштучно:

Стоимость 7 упаковок: $7 \times 1900 \text{ р.} = 13300$ рублей.

Стоимость 10 тетрадей поштучно: $10 \times 40 \text{ р.} = 400$ рублей.

Суммарная стоимость: $13300 + 400 = 13700$ рублей.

Рассмотрим вариант покупки 8 упаковок. Это $8 \times 50 = 400$ тетрадей. Стоимость 8 упаковок: $8 \times 1900 = 15200$ рублей.

Сравнивая варианты, получаем $13700 < 15200$. Выгоднее купить 7 упаковок и 10 тетрадей поштучно. Минимальная стоимость тетрадей в линейку — 13700 рублей.

Расчет итоговой наименьшей суммы

Чтобы найти общую наименьшую сумму, сложим минимальные затраты на оба вида тетрадей:

$24000 \text{ рублей (в клетку)} + 13700 \text{ рублей (в линейку)} = 37700$ рублей.

Ответ: 37700 рублей.