Страница 8 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

22. В саду собирали в отдельные ящики яблоки и груши. Количество ящиков с яблоками относится к количеству ящиков с грушами как $7:3$. Сколько было ящиков с яблоками, если всего собрали 140 ящиков с фруктами?

Для решения этой задачи необходимо использовать метод пропорционального деления.

Согласно условию, количество ящиков с яблоками и количество ящиков с грушами соотносятся как $7:3$. Это значит, что на каждые 7 частей ящиков с яблоками приходится 3 части ящиков с грушами.

1. Найдем общее количество частей в этом отношении. Для этого сложим части, приходящиеся на яблоки и на груши:

$7 + 3 = 10 \text{ (частей)}$

Таким образом, все 140 ящиков составляют 10 равных частей.

2. Определим, сколько ящиков содержится в одной части. Для этого разделим общее количество ящиков на общее количество частей:

$140 \div 10 = 14 \text{ (ящиков)}$

Итак, одна часть равна 14 ящикам.

3. Теперь найдем количество ящиков с яблоками. Так как на яблоки приходится 7 частей, умножим количество ящиков в одной части на 7:

$14 \times 7 = 98 \text{ (ящиков)}$

Таким образом, с яблоками было 98 ящиков.

Для проверки можно вычислить количество ящиков с грушами (3 части): $14 \times 3 = 42$ ящика. Сумма ящиков с яблоками и грушами будет: $98 + 42 = 140$, что соответствует общему количеству ящиков по условию задачи.

Ответ: 98 ящиков.

23. Запишите в виде десятичной дроби:

1) $8\%$;

2) $42\%$;

3) $70\%$;

4) $220\%$.

Чтобы записать проценты в виде десятичной дроби, необходимо данное число процентов разделить на 100. Это действие равносильно переносу запятой на два знака влево в числе, выражающем проценты.

1)

Чтобы записать 8% в виде десятичной дроби, нужно разделить 8 на 100.

$8\% = \frac{8}{100} = 0,08$

Для этого мысленно ставим запятую после цифры 8 (получаем 8,0) и переносим её на два знака влево, добавляя слева недостающие нули.

Ответ: 0,08.

2)

Чтобы записать 42% в виде десятичной дроби, нужно разделить 42 на 100.

$42\% = \frac{42}{100} = 0,42$

Переносим запятую в числе 42,0 на два знака влево и получаем 0,42.

Ответ: 0,42.

3)

Чтобы записать 70% в виде десятичной дроби, нужно разделить 70 на 100.

$70\% = \frac{70}{100} = 0,70 = 0,7$

Переносим запятую в числе 70,0 на два знака влево, получаем 0,70. Незначащий ноль в конце десятичной дроби можно отбросить.

Ответ: 0,7.

4)

Чтобы записать 220% в виде десятичной дроби, нужно разделить 220 на 100.

$220\% = \frac{220}{100} = 2,20 = 2,2$

Переносим запятую в числе 220,0 на два знака влево и получаем 2,20. Незначащий ноль в конце можно убрать.

Ответ: 2,2.

24. Запишите в виде обыкновенной дроби:

1) $12\%$;

2) $30\%$;

3) $75\%$;

4) $160\%$.

1) 12%

Чтобы представить проценты в виде обыкновенной дроби, необходимо число процентов записать в числитель, а в знаменатель поставить 100. Затем, если возможно, сократить полученную дробь.
Записываем 12% в виде дроби: $12\% = \frac{12}{100}$
Теперь сократим эту дробь. Наибольший общий делитель для чисел 12 и 100 равен 4. Разделим числитель и знаменатель на 4: $\frac{12 \div 4}{100 \div 4} = \frac{3}{25}$
Ответ: $\frac{3}{25}$

2) 30%

Записываем 30% в виде дроби со знаменателем 100: $30\% = \frac{30}{100}$
Сократим дробь. Наибольший общий делитель для 30 и 100 равен 10: $\frac{30 \div 10}{100 \div 10} = \frac{3}{10}$
Ответ: $\frac{3}{10}$

3) 75%

Записываем 75% в виде дроби: $75\% = \frac{75}{100}$
Сократим дробь. Наибольший общий делитель для 75 и 100 равен 25: $\frac{75 \div 25}{100 \div 25} = \frac{3}{4}$
Ответ: $\frac{3}{4}$

4) 160%

Записываем 160% в виде дроби. Так как значение больше 100%, дробь будет неправильной (числитель больше знаменателя). $160\% = \frac{160}{100}$
Сократим дробь. Наибольший общий делитель для 160 и 100 равен 20: $\frac{160 \div 20}{100 \div 20} = \frac{8}{5}$
Эту неправильную дробь также можно представить в виде смешанного числа $1\frac{3}{5}$, но в виде обыкновенной дроби она записывается как $\frac{8}{5}$.
Ответ: $\frac{8}{5}$

25. Запишите в процентах:

1) $0,14$;

2) $0,6$;

3) $0,276$;

4) $1\frac{1}{4}$.

Чтобы перевести число в проценты, его нужно умножить на 100 и добавить знак процента (%). Это правило основано на том, что 1% — это одна сотая часть числа ($1\% = 0,01$).

1) Для перевода десятичной дроби 0,14 в проценты, умножим ее на 100.

$0,14 \cdot 100\% = 14\%$

Ответ: 14%

2) Для перевода десятичной дроби 0,6 в проценты, умножим ее на 100.

$0,6 \cdot 100\% = 60\%$

Ответ: 60%

3) Для перевода десятичной дроби 0,276 в проценты, умножим ее на 100.

$0,276 \cdot 100\% = 27,6\%$

Ответ: 27,6%

4) Сначала преобразуем смешанное число $1\frac{1}{4}$ в десятичную дробь. Дробная часть $\frac{1}{4}$ равна 0,25.

$1\frac{1}{4} = 1 + \frac{1}{4} = 1 + 0,25 = 1,25$

Теперь умножим полученную десятичную дробь на 100, чтобы выразить ее в процентах.

$1,25 \cdot 100\% = 125\%$

Ответ: 125%

26. Запишите в процентах:

1) $0.03$;

2) $0.542$;

3) $5$;

4) $2\frac{3}{5}$.

Для того чтобы преобразовать число в проценты, его необходимо умножить на 100 и добавить к результату знак процента (%).

1) Чтобы перевести десятичную дробь 0,03 в проценты, умножаем ее на 100:
$0,03 \times 100 = 3\%$

Ответ: 3%

2) Чтобы перевести десятичную дробь 0,542 в проценты, умножаем ее на 100:
$0,542 \times 100 = 54,2\%$

Ответ: 54,2%

3) Чтобы перевести целое число 5 в проценты, умножаем его на 100:
$5 \times 100 = 500\%$

Ответ: 500%

4) Сначала преобразуем смешанную дробь $2\frac{3}{5}$ в десятичную. Для этого переведем ее дробную часть $\frac{3}{5}$ в десятичный вид, разделив числитель на знаменатель: $3 \div 5 = 0,6$.
Таким образом, смешанная дробь равна $2 + 0,6 = 2,6$.
Теперь умножаем полученное десятичное число на 100, чтобы выразить его в процентах:
$2,6 \times 100 = 260\%$

Ответ: 260%

27. Молоко содержит 3% белков. Сколько граммов белков содержится в 400 г молока?

Чтобы найти, сколько граммов белков содержится в 400 г молока, нужно вычислить 3% от 400 г. Это можно сделать, составив пропорцию или умножив общую массу на долю, выраженную в виде десятичной дроби.

Способ 1: Решение через пропорцию

Примем общую массу молока, 400 г, за 100%. Массу белков, которую нужно найти, обозначим через $x$ г. Эта масса составляет 3%.

Составим пропорцию:

400 г — 100%

$x$ г — 3%

Из этого соотношения получаем уравнение: $\frac{400}{100} = \frac{x}{3}$.

Выразим $x$:

$x = \frac{400 \times 3}{100} = \frac{1200}{100} = 12$ г.

Способ 2: Решение через десятичную дробь

Сначала представим процентное содержание белков в виде десятичной дроби. Для этого нужно разделить число процентов на 100:

$3\% = \frac{3}{100} = 0.03$

Теперь умножим общую массу молока на полученную дробь, чтобы найти массу белков:

Масса белков = $400 \text{ г} \times 0.03 = 12$ г.

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: в 400 г молока содержится 12 г белков.

28. За перевод денег клиент должен уплатить банку комиссию в размере $2\%$ от суммы перевода. Сколько всего денег будет списано со счёта клиента, если он хочет перевести $60\,000 \text{ р.}$?

Для того чтобы рассчитать общую сумму, которая будет списана со счёта, необходимо сначала найти размер комиссии, а затем прибавить эту сумму к сумме самого перевода.

1. Находим размер комиссии.

Сумма перевода составляет 60 000 р. Комиссия банка равна 2% от этой суммы. Чтобы найти процент от числа, нужно это число умножить на дробь, соответствующую этому проценту.

Представим 2% в виде десятичной дроби: $2\% = \frac{2}{100} = 0,02$.

Теперь рассчитаем сумму комиссии:

$60\ 000 \cdot 0,02 = 1\ 200$ р.

2. Находим общую сумму списания.

Общая сумма списания — это сумма самого перевода и банковской комиссии.

Общая сумма = Сумма перевода + Сумма комиссии

$60\ 000 + 1\ 200 = 61\ 200$ р.

Также задачу можно решить одним действием. Если сумма перевода — это 100%, а комиссия — 2%, то всего будет списано $100\% + 2\% = 102\%$ от суммы перевода. Умножим сумму перевода на коэффициент, соответствующий 102%:

$60\ 000 \cdot 1,02 = 61\ 200$ р.

Ответ: 61 200 р.

29. В лаборатории есть два слитка сплавов меди. Первый слиток массой 60 кг содержит 10%, а второй массой 120 кг содержит 25% меди.

1) Сколько килограммов меди содержится в первом слитке?

2) Сколько килограммов меди содержится в обоих слитках вместе?

3) Если сплавить вместе оба слитка, то каково будет процентное содержание меди в этом сплаве?

1) Сколько килограммов меди содержится в первом слитке?

Для того чтобы найти массу меди в первом слитке, необходимо его общую массу умножить на долю содержания меди. Масса первого слитка — $60$ кг, а содержание меди в нем — $10\%$.

Переведем проценты в десятичную дробь: $10\% = \frac{10}{100} = 0.1$.

Вычислим массу меди:

$m_1 = 60 \text{ кг} \times 0.1 = 6 \text{ кг}$.

Ответ: 6 кг.

2) Сколько килограммов меди содержится в обоих слитках вместе?

Сначала найдем массу меди во втором слитке. Его масса — $120$ кг, а содержание меди — $25\%$.

Переведем проценты в десятичную дробь: $25\% = \frac{25}{100} = 0.25$.

Вычислим массу меди во втором слитке:

$m_2 = 120 \text{ кг} \times 0.25 = 30 \text{ кг}$.

Теперь сложим массу меди из первого и второго слитков, чтобы найти общую массу меди:

$m_{\text{общ}} = m_1 + m_2 = 6 \text{ кг} + 30 \text{ кг} = 36 \text{ кг}$.

Ответ: 36 кг.

3) Если сплавить вместе оба слитка, то каково будет процентное содержание меди в этом сплаве?

При сплавлении двух слитков их массы складываются. Найдем общую массу нового сплава:

$M_{\text{сплава}} = 60 \text{ кг} + 120 \text{ кг} = 180 \text{ кг}$.

Общая масса меди в этом новом сплаве, как мы выяснили в предыдущем пункте, составляет $36$ кг.

Чтобы найти процентное содержание меди, нужно разделить массу меди на общую массу сплава и умножить на $100\%$.

Процентное содержание меди $C$:

$C = \frac{m_{\text{общ}}}{M_{\text{сплава}}} \times 100\% = \frac{36 \text{ кг}}{180 \text{ кг}} \times 100\%$.

Сократим дробь: $\frac{36}{180} = \frac{1}{5} = 0.2$.

Теперь умножим на $100\%$:

$C = 0.2 \times 100\% = 20\%$.

Ответ: 20%.

30. Начальная стоимость платья составляла 1400 р. Во время предновогодней распродажи цена платья была уменьшена на 40%.

1) Сколько рублей стоило платье во время распродажи?

2) Сколько процентов составляет начальная цена платья от его стоимости во время распродажи?

1) Сколько рублей стоило платье во время распродажи?
Начальная стоимость платья — 1400 рублей. Цена была снижена на 40%. Следовательно, новая цена составляет $100\% - 40\% = 60\%$ от начальной.
Чтобы найти новую стоимость, нужно умножить начальную цену на долю, которая соответствует 60%:
$1400 \cdot \frac{60}{100} = 1400 \cdot 0.6 = 840$ рублей.
Таким образом, во время распродажи платье стоило 840 рублей.

Ответ: 840 рублей.

2) Сколько процентов составляет начальная цена платья от его стоимости во время распродажи?
Начальная цена составляет 1400 рублей, а цена во время распродажи — 840 рублей. В этом вопросе мы сравниваем начальную цену с ценой распродажи, поэтому цена распродажи принимается за 100%.
Чтобы найти, сколько процентов составляет начальная цена от цены распродажи, нужно разделить начальную цену на цену распродажи и умножить результат на 100%.
$\frac{1400}{840} \cdot 100\%$
Сократим дробь:
$\frac{1400}{840} = \frac{140}{84} = \frac{70}{42} = \frac{35}{21} = \frac{5}{3}$
Теперь умножим на 100%:
$\frac{5}{3} \cdot 100\% = \frac{500}{3}\% = 166 \frac{2}{3}\%$
Таким образом, начальная цена составляет $166 \frac{2}{3}\%$ от цены во время распродажи.

Ответ: $166 \frac{2}{3}\%$.

31. Площадь комнаты равна $24 \text{ м}^2$, что составляет $40\%$ площади всей квартиры. Какова площадь квартиры?

Чтобы найти общую площадь квартиры, необходимо определить, какому значению соответствует 100%, если известно, что 40% от этого значения равны 24 м².

Пусть $S$ — это общая площадь квартиры. Согласно условию задачи, площадь комнаты, равная 24 м², составляет 40% от $S$.

Способ 1: Использование пропорции

Составим пропорцию, где $S$ — это 100%:
24 м² — 40%
$S$ м² — 100%

Из этой пропорции выразим $S$:
$S = \frac{24 \times 100}{40}$

Выполним вычисление:
$S = \frac{2400}{40} = \frac{240}{4} = 60$ м²

Способ 2: Через десятичные дроби

Сначала представим 40% в виде десятичной дроби:
$40\% = \frac{40}{100} = 0.4$

Теперь составим уравнение, исходя из условия, что 0.4 от общей площади $S$ равны 24:
$0.4 \times S = 24$

Чтобы найти $S$, разделим известную часть (24) на долю, которую она составляет (0.4):
$S = \frac{24}{0.4} = 60$ м²

Оба способа дают одинаковый результат. Общая площадь квартиры составляет 60 м².

Ответ: 60 м².

32. Юля вяжет шарф. Она связала 63 ряда, что составляет 36% запланированного количества. Сколько рядов будет в шарфе?

По условию задачи, 63 связанных ряда составляют 36% от общего запланированного количества рядов шарфа. Нам необходимо найти это общее количество, которое соответствует 100%.

Для решения задачи можно составить пропорцию. Пусть $x$ — это общее количество рядов в шарфе, которое нам нужно найти.

Составим соотношение:

63 ряда — это 36%

$x$ рядов — это 100%

Из этого соотношения получается пропорция:

$ \frac{63}{36} = \frac{x}{100} $

Чтобы найти $x$, выразим его из уравнения:

$ x = \frac{63 \cdot 100}{36} $

Выполним вычисления:

$ x = \frac{6300}{36} $

Для упрощения расчетов, сократим дробь. И числитель (6300), и знаменатель (36) делятся на 9:

$ x = \frac{6300 \div 9}{36 \div 9} = \frac{700}{4} $

Теперь разделим 700 на 4:

$ x = 175 $

Таким образом, запланированное количество рядов в шарфе равно 175.

Ответ: 175 рядов.

33. Если очистить от шелухи 40 кг семян подсолнуха, то получится 36 кг очищенных семян. Сколько надо взять килограммов семян подсолнуха, чтобы получить 90 кг очищенных семян?

Для решения этой задачи можно использовать метод пропорций. Пусть $x$ — это искомое количество килограммов семян подсолнуха, которое необходимо взять.

Из условия задачи нам известно, что из 40 кг неочищенных семян получается 36 кг очищенных. Мы хотим найти, сколько неочищенных семян потребуется для получения 90 кг очищенных. Составим соответствие:

40 кг неочищенных семян — 36 кг очищенных семян
$x$ кг неочищенных семян — 90 кг очищенных семян

Соотношение массы неочищенных семян к массе очищенных семян — это постоянная величина. Запишем это в виде пропорции:

$\frac{40}{36} = \frac{x}{90}$

Теперь найдем значение $x$, выразив его из данной пропорции:

$x = \frac{40 \times 90}{36}$

Выполним вычисления. Сначала перемножим числа в числителе:

$40 \times 90 = 3600$

Теперь разделим полученный результат на знаменатель:

$x = \frac{3600}{36}$

$x = 100$

Следовательно, для получения 90 кг очищенных семян подсолнуха необходимо взять 100 кг неочищенных семян.

Ответ: 100 кг.

34. Для производства 1 т бумаги необходимо использовать 6,3 $\text{м}^3$ древесины или 1400 кг макулатуры. Учащиеся школы собрали 2100 кг макулатуры. Сколько кубических метров древесины можно сэкономить, использовав для производства бумаги собранную макулатуру?

Из условия задачи мы знаем, что для производства одного и того же количества бумаги (1 тонны) требуется либо 6,3 м³ древесины, либо 1400 кг макулатуры. Это означает, что 1400 кг макулатуры эквивалентны 6,3 м³ древесины по объему производства.

Учащиеся собрали 2100 кг макулатуры. Чтобы определить, сколько древесины можно сэкономить, используя это количество макулатуры, можно составить пропорцию. Пусть $x$ — это количество кубических метров древесины, которое можно сэкономить.

Составим пропорцию:
1400 кг макулатуры → 6,3 м³ древесины
2100 кг макулатуры → $x$ м³ древесины

Математически это можно записать в виде уравнения:
$ \frac{1400}{2100} = \frac{6.3}{x} $

Теперь решим это уравнение относительно $x$:
$ x = \frac{2100 \times 6.3}{1400} $

Сначала можно сократить дробь $ \frac{2100}{1400} $, разделив числитель и знаменатель на 700:
$ \frac{2100}{1400} = \frac{21}{14} = \frac{3}{2} = 1.5 $

Теперь подставим это значение обратно в формулу для $x$:
$ x = 1.5 \times 6.3 $
$ x = 9.45 $

Следовательно, использование 2100 кг макулатуры позволяет сэкономить 9,45 м³ древесины.

Ответ: 9,45 м³.