Страница 9 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

35. За некоторое время рабочий изготовил 20 деталей. Сколько деталей он изготовит за это же время, если его производительность труда увеличится в 1,3 раза?

Для решения этой задачи нужно понять, как связаны количество изготовленной продукции, производительность труда и время. Эти величины связаны прямой пропорциональностью, которую можно выразить формулой:
Количество деталей = Производительность × Время

Обозначим начальные величины:

• $A_1$ — начальное количество деталей, $A_1 = 20$.
• $P_1$ — начальная производительность труда.
• $t$ — время, затраченное на работу.

Соответственно, для начальных условий формула выглядит так: $A_1 = P_1 \times t$, или $20 = P_1 \times t$.

Теперь рассмотрим условия после изменения производительности:

• $A_2$ — новое количество деталей, которое нам нужно найти.
• $P_2$ — новая производительность труда. По условию, она увеличилась в 1,3 раза, то есть: $P_2 = P_1 \times 1,3$.
• Время $t$ осталось тем же.

Запишем формулу для новых условий:
$A_2 = P_2 \times t$
Подставим в эту формулу выражение для новой производительности $P_2$:
$A_2 = (P_1 \times 1,3) \times t$
Так как от перестановки множителей произведение не меняется, мы можем записать:
$A_2 = (P_1 \times t) \times 1,3$

Из начальных условий мы знаем, что $P_1 \times t = 20$. Подставим это значение в нашу последнюю формулу:
$A_2 = 20 \times 1,3$
$A_2 = 26$
Таким образом, при увеличенной производительности рабочий изготовит 26 деталей за то же время.

Ответ: 26 деталей.

36. Автомобиль за некоторое время проехал $72 \text{ км}$. Какое расстояние проедет за то же время велосипедист, скорость которого в $8$ раз меньше скорости автомобиля?

Для решения этой задачи можно использовать логические рассуждения, основанные на формуле расстояния: $S = v \cdot t$, где $S$ — расстояние, $v$ — скорость, а $t$ — время.

В задаче говорится, что автомобиль и велосипедист движутся одинаковое количество времени ($t$ постоянно). Это означает, что пройденное расстояние прямо пропорционально скорости. Если скорость одного объекта в несколько раз меньше скорости другого, то и расстояние, которое он проедет за то же время, будет во столько же раз меньше.

По условию, скорость велосипедиста в 8 раз меньше скорости автомобиля. Следовательно, за то же самое время велосипедист проедет расстояние в 8 раз меньшее, чем автомобиль.

Расстояние, которое проехал автомобиль, составляет 72 км. Чтобы найти расстояние, которое проедет велосипедист, нужно расстояние автомобиля разделить на 8.

Выполним вычисление:

$72 \text{ км} \div 8 = 9 \text{ км}$

Таким образом, велосипедист проедет 9 км.

Ответ: 9 км.

37. Бригада рабочих выполняет некоторое производственное задание за 6,4 часа. За какое время бригада выполнит это задание, если производительность труда возрастёт в 1,6 раза?

Для решения этой задачи необходимо понять взаимосвязь между объемом работы, производительностью труда и временем. Эти величины связаны формулой: $Работа = Производительность \times Время$.

В данном случае объем работы (производственное задание) не меняется. Когда объем работы постоянен, производительность труда и время выполнения работы являются обратно пропорциональными величинами. Это означает, что если производительность увеличивается в определенное количество раз, то время, необходимое для выполнения работы, уменьшается во столько же раз.

Обозначим начальное время как $T_1$, а новое время как $T_2$.

По условию, начальное время выполнения задания составляет:

$T_1 = 6,4$ часа.

Производительность труда возрастает в 1,6 раза. Следовательно, чтобы найти новое время $T_2$, нужно начальное время $T_1$ разделить на коэффициент увеличения производительности, то есть на 1,6.

$T_2 = \frac{T_1}{1,6}$

Подставим известное значение $T_1$:

$T_2 = \frac{6,4}{1,6}$

Для упрощения вычислений можно умножить числитель и знаменатель дроби на 10, чтобы работать с целыми числами:

$T_2 = \frac{6,4 \times 10}{1,6 \times 10} = \frac{64}{16} = 4$

Таким образом, если производительность труда возрастет в 1,6 раза, бригада выполнит задание за 4 часа.

Ответ: 4 часа.

38. Автомобиль проезжает расстояние между двумя городами за 3,5 ч с некоторой скоростью. За какое время он проедет это расстояние, если уменьшит свою скорость в 1,2 раза?

Для решения этой задачи воспользуемся основной формулой, связывающей расстояние, скорость и время: $S = v \cdot t$, где $S$ — расстояние, $v$ — скорость, а $t$ — время.

Обозначим начальные параметры: $t_1 = 3.5$ ч — начальное время в пути. $v_1$ — начальная скорость автомобиля.

Новые параметры: $t_2$ — новое время в пути, которое нужно найти. $v_2$ — новая скорость автомобиля.

Расстояние $S$ между городами в обоих случаях одинаково. Изначально расстояние можно выразить как: $S = v_1 \cdot t_1 = v_1 \cdot 3.5$

По условию, скорость автомобиля уменьшилась в 1,2 раза. Это означает, что новая скорость $v_2$ связана с начальной скоростью $v_1$ следующим образом: $v_2 = \frac{v_1}{1.2}$

Автомобиль проезжает то же самое расстояние $S$ с новой скоростью $v_2$ за новое время $t_2$: $S = v_2 \cdot t_2 = \left(\frac{v_1}{1.2}\right) \cdot t_2$

Поскольку расстояние $S$ не изменилось, мы можем приравнять два полученных выражения: $v_1 \cdot 3.5 = \left(\frac{v_1}{1.2}\right) \cdot t_2$

Сократим $v_1$ в обеих частях уравнения (так как скорость не равна нулю): $3.5 = \frac{t_2}{1.2}$

Теперь выразим и вычислим $t_2$: $t_2 = 3.5 \cdot 1.2 = 4.2$ ч

Можно также решить задачу, используя свойство обратной пропорциональности. При постоянном расстоянии время и скорость являются обратно пропорциональными величинами. Это значит, что если скорость уменьшается в определенное количество раз, то время в пути увеличивается во столько же раз.

Так как скорость уменьшилась в 1,2 раза, время в пути увеличится в 1,2 раза: $t_2 = t_1 \cdot 1.2 = 3.5 \text{ ч} \cdot 1.2 = 4.2 \text{ ч}$

Ответ: 4,2 ч.

39. Разложите на простые множители число:

1) 288;

2) 693.

1) 288

Чтобы разложить число на простые множители, необходимо последовательно делить его на простые числа (2, 3, 5, 7, ...) до тех пор, пока в результате не получится 1.

Начнем с числа 288. Оно чётное, поэтому делится на 2.

$288 : 2 = 144$

Число 144 также чётное, снова делим на 2.

$144 : 2 = 72$

Продолжаем деление на 2:

$72 : 2 = 36$

$36 : 2 = 18$

$18 : 2 = 9$

Теперь у нас число 9. Оно не делится на 2. Следующее простое число — 3. Проверяем делимость на 3.

$9 : 3 = 3$

Число 3 — простое, делим его само на себя.

$3 : 3 = 1$

Деление закончено. Теперь соберём все простые множители, на которые мы делили: пять двоек и две тройки. Таким образом, разложение числа 288 на простые множители выглядит так:

$288 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3$

Используя степени, можно записать это в более компактном виде:

$288 = 2^5 \cdot 3^2$

Ответ: $288 = 2^5 \cdot 3^2$

2) 693

Разложим на простые множители число 693.

Число 693 нечётное, значит на 2 оно не делится. Проверим делимость на следующее простое число — 3. Сумма цифр числа 693 равна $6 + 9 + 3 = 18$. Поскольку 18 делится на 3, то и само число 693 делится на 3.

$693 : 3 = 231$

Проверим, делится ли 231 на 3. Сумма его цифр $2 + 3 + 1 = 6$. 6 делится на 3, значит, и 231 делится на 3.

$231 : 3 = 77$

Число 77 не делится на 3. Оно также не делится на 5 (так как не оканчивается на 0 или 5). Проверим делимость на следующее простое число — 7.

$77 : 7 = 11$

Число 11 является простым, поэтому оно делится только на само себя.

$11 : 11 = 1$

Мы получили простые множители: две тройки, одна семёрка и одна одиннадцать. Запишем их в виде произведения:

$693 = 3 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 11$

Или, используя степень:

$693 = 3^2 \cdot 7 \cdot 11$

Ответ: $693 = 3^2 \cdot 7 \cdot 11$

40. Разложите на простые множители число:

1) $72$;

2) $1200$.

1) Чтобы разложить число 72 на простые множители, необходимо представить его в виде произведения простых чисел. Для этого будем последовательно делить число 72 на наименьшие возможные простые делители.

Начинаем с наименьшего простого числа — 2. Число 72 является четным, поэтому оно делится на 2:

$72 : 2 = 36$

Полученное число 36 также четное, продолжаем делить на 2:

$36 : 2 = 18$

Результат 18 снова делим на 2:

$18 : 2 = 9$

Число 9 на 2 не делится. Переходим к следующему простому числу — 3. Число 9 делится на 3:

$9 : 3 = 3$

Результат 3 — простое число, которое делится само на себя:

$3 : 3 = 1$

Деление завершено, так как в результате мы получили 1. Простые множители, на которые мы делили, это 2, 2, 2, 3, 3. Теперь запишем их произведение:

$72 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3$

Для более короткой записи можно использовать степени:

$72 = 2^3 \cdot 3^2$

Ответ: $72 = 2^3 \cdot 3^2$

2) Разложим на простые множители число 1200. Будем использовать тот же метод последовательного деления на простые числа.

Начинаем с наименьшего простого числа — 2. Число 1200 четное:

$1200 : 2 = 600$

$600 : 2 = 300$

$300 : 2 = 150$

$150 : 2 = 75$

Полученное число 75 нечетное. Проверяем делимость на следующее простое число — 3. Сумма цифр числа 75 ($7 + 5 = 12$) делится на 3, следовательно, и само число 75 делится на 3:

$75 : 3 = 25$

Число 25 на 3 не делится. Переходим к следующему простому числу — 5. Число 25 оканчивается на 5, значит, оно делится на 5:

$25 : 5 = 5$

Результат 5 — это простое число, делим его само на себя:

$5 : 5 = 1$

Процесс деления завершен. Мы получили следующие простые множители: 2, 2, 2, 2, 3, 5, 5.

Запишем число 1200 в виде их произведения:

$1200 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5$

Используя степени, запишем это в компактном виде:

$1200 = 2^4 \cdot 3 \cdot 5^2$

Ответ: $1200 = 2^4 \cdot 3 \cdot 5^2$

41. Определите, являются ли взаимно простыми числа:

1) 728 и 1275;

2) 273 и 130.

Два натуральных числа называются взаимно простыми, если их наибольший общий делитель (НОД) равен 1. Чтобы определить, являются ли данные пары чисел взаимно простыми, найдем их НОД, разложив каждое число на простые множители.

1) 728 и 1275

Разложим число 728 на простые множители:

$ \begin{array}{r|l} 728 & 2 \\ 364 & 2 \\ 182 & 2 \\ 91 & 7 \\ 13 & 13 \\ 1 & \end{array} $

Таким образом, $728 = 2^3 \cdot 7 \cdot 13$.

Разложим число 1275 на простые множители:

$ \begin{array}{r|l} 1275 & 3 \\ 425 & 5 \\ 85 & 5 \\ 17 & 17 \\ 1 & \end{array} $

Таким образом, $1275 = 3 \cdot 5^2 \cdot 17$.

Простые множители числа 728: $\{2, 7, 13\}$.
Простые множители числа 1275: $\{3, 5, 17\}$.
Данные числа не имеют общих простых множителей. Следовательно, их наибольший общий делитель равен 1.

$НОД(728, 1275) = 1$.

Поскольку НОД равен 1, числа 728 и 1275 являются взаимно простыми.

Ответ: да, являются.

2) 273 и 130

Разложим число 273 на простые множители:

$ \begin{array}{r|l} 273 & 3 \\ 91 & 7 \\ 13 & 13 \\ 1 & \end{array} $

Таким образом, $273 = 3 \cdot 7 \cdot 13$.

Разложим число 130 на простые множители:

$ \begin{array}{r|l} 130 & 2 \\ 65 & 5 \\ 13 & 13 \\ 1 & \end{array} $

Таким образом, $130 = 2 \cdot 5 \cdot 13$.

Простые множители числа 273: $\{3, 7, 13\}$.
Простые множители числа 130: $\{2, 5, 13\}$.
У этих чисел есть общий простой множитель — 13.

$НОД(273, 130) = 13$.

Поскольку НОД не равен 1, числа 273 и 130 не являются взаимно простыми.

Ответ: нет, не являются.

42. Докажите, что числа 945 и 208 взаимно простые.

Чтобы доказать, что числа 945 и 208 являются взаимно простыми, необходимо показать, что их наибольший общий делитель (НОД) равен 1. Для этого можно использовать один из следующих методов.

Способ 1: Разложение на простые множители

Разложим каждое число на простые множители.
Для числа 945:
$945 = 5 \cdot 189 = 5 \cdot 3 \cdot 63 = 5 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 9 = 3^3 \cdot 5 \cdot 7$
Простые множители числа 945: 3, 5, 7.

Для числа 208:
$208 = 2 \cdot 104 = 2^2 \cdot 52 = 2^3 \cdot 26 = 2^4 \cdot 13$
Простые множители числа 208: 2, 13.

Поскольку у чисел 945 и 208 нет общих простых множителей, их наибольший общий делитель равен 1.

Способ 2: Алгоритм Евклида

Найдем НОД с помощью последовательного деления с остатком (алгоритм Евклида).
$945 = 4 \cdot 208 + 113$
$208 = 1 \cdot 113 + 95$
$113 = 1 \cdot 95 + 18$
$95 = 5 \cdot 18 + 5$
$18 = 3 \cdot 5 + 3$
$5 = 1 \cdot 3 + 2$
$3 = 1 \cdot 2 + 1$
$2 = 2 \cdot 1 + 0$

Последний ненулевой остаток в этой последовательности равен 1. Следовательно, НОД(945, 208) = 1.

Ответ: Так как наибольший общий делитель чисел 945 и 208 равен 1 (НОД(945, 208) = 1), эти числа являются взаимно простыми, что и требовалось доказать.

43. Вместо звёздочки поставьте такую цифру, чтобы получилось число, кратное 3 (рассмотрите все возможные случаи):

1) $277*1$;

2) $6*52$.

1) 27 7*1;

Согласно признаку делимости на 3, число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3. Пусть в числе $27 7*1$ неизвестная цифра, стоящая на месте звёздочки, равна $x$. Сумма известных цифр данного числа составляет: $2 + 7 + 7 + 1 = 17$. Следовательно, полная сумма цифр числа равна $17 + x$. Нам нужно найти все такие цифры $x$ (от 0 до 9), при которых выражение $17 + x$ будет кратно 3.

Будем искать такие $x$, чтобы сумма $17 + x$ была числом, делящимся на 3. Ближайшие к 17 (в большую сторону) числа, кратные 3, — это 18, 21, 24.
- Если $17 + x = 18$, то $x = 18 - 17 = 1$. Цифра 1 подходит.
- Если $17 + x = 21$, то $x = 21 - 17 = 4$. Цифра 4 подходит.
- Если $17 + x = 24$, то $x = 24 - 17 = 7$. Цифра 7 подходит.
Следующее число, кратное 3, это 27. Но тогда $17 + x = 27$ даёт $x=10$, а это уже не цифра. Таким образом, мы рассмотрели все возможные случаи.

Ответ: 1, 4, 7.

2) 6*52

Действуем аналогично, используя признак делимости на 3. Пусть в числе $6*52$ неизвестная цифра равна $y$. Сумма известных цифр равна: $6 + 5 + 2 = 13$. Полная сумма цифр числа равна $13 + y$. Эта сумма должна быть кратна 3.

Найдем все подходящие цифры $y$ от 0 до 9. Ближайшие к 13 (в большую сторону) числа, кратные 3, — это 15, 18, 21.
- Если $13 + y = 15$, то $y = 15 - 13 = 2$. Цифра 2 подходит.
- Если $13 + y = 18$, то $y = 18 - 13 = 5$. Цифра 5 подходит.
- Если $13 + y = 21$, то $y = 21 - 13 = 8$. Цифра 8 подходит.
Следующее кратное трём число — 24. Для него $13 + y = 24$ даёт $y = 11$, что не является цифрой. Следовательно, других решений нет.

Ответ: 2, 5, 8.

44. Вместо звёздочки поставьте такую цифру, чтобы получилось число, кратное 3 (рассмотрите все возможные случаи):

1) $56*18$;

2) $205*$.

Для того чтобы число делилось на 3, сумма его цифр должна делиться на 3. Это основной признак делимости на 3, который мы будем использовать для решения задачи.

Пусть неизвестная цифра, которую нужно поставить вместо звёздочки, — это $x$. Тогда мы имеем число $56x18$.

Найдём сумму известных цифр этого числа:$5 + 6 + 1 + 8 = 20$.

Сумма всех цифр числа равна $20 + x$. Чтобы число $56x18$ делилось на 3, эта сумма должна быть кратна 3.Проверим все возможные варианты для цифры $x$ (от 0 до 9):

• Если $x = 0$, сумма равна $20 + 0 = 20$ (не делится на 3).
• Если $x = 1$, сумма равна $20 + 1 = 21$ (делится на 3, так как $21 : 3 = 7$). Цифра 1 подходит.
• Если $x = 2$, сумма равна $20 + 2 = 22$ (не делится на 3).
• Если $x = 3$, сумма равна $20 + 3 = 23$ (не делится на 3).
• Если $x = 4$, сумма равна $20 + 4 = 24$ (делится на 3, так как $24 : 3 = 8$). Цифра 4 подходит.
• Если $x = 5$, сумма равна $20 + 5 = 25$ (не делится на 3).
• Если $x = 6$, сумма равна $20 + 6 = 26$ (не делится на 3).
• Если $x = 7$, сумма равна $20 + 7 = 27$ (делится на 3, так как $27 : 3 = 9$). Цифра 7 подходит.
• Если $x = 8$, сумма равна $20 + 8 = 28$ (не делится на 3).
• Если $x = 9$, сумма равна $20 + 9 = 29$ (не делится на 3).

Таким образом, подходящие цифры — это 1, 4 и 7.

Ответ: 1, 4, 7.

Пусть неизвестная цифра — это $y$. Тогда мы имеем число $205y$.

Найдём сумму известных цифр этого числа:$2 + 0 + 5 = 7$.

Сумма всех цифр числа равна $7 + y$. Эта сумма должна быть кратна 3.Проверим все возможные варианты для цифры $y$ (от 0 до 9):

• Если $y = 0$, сумма равна $7 + 0 = 7$ (не делится на 3).
• Если $y = 1$, сумма равна $7 + 1 = 8$ (не делится на 3).
• Если $y = 2$, сумма равна $7 + 2 = 9$ (делится на 3, так как $9 : 3 = 3$). Цифра 2 подходит.
• Если $y = 3$, сумма равна $7 + 3 = 10$ (не делится на 3).
• Если $y = 4$, сумма равна $7 + 4 = 11$ (не делится на 3).
• Если $y = 5$, сумма равна $7 + 5 = 12$ (делится на 3, так как $12 : 3 = 4$). Цифра 5 подходит.
• Если $y = 6$, сумма равна $7 + 6 = 13$ (не делится на 3).
• Если $y = 7$, сумма равна $7 + 7 = 14$ (не делится на 3).
• Если $y = 8$, сумма равна $7 + 8 = 15$ (делится на 3, так как $15 : 3 = 5$). Цифра 8 подходит.
• Если $y = 9$, сумма равна $7 + 9 = 16$ (не делится на 3).

Таким образом, подходящие цифры — это 2, 5 и 8.

Ответ: 2, 5, 8.

45. Какое наименьшее натуральное число надо прибавить к числу 509, чтобы полученная сумма делилась нацело на 9?

Для решения этой задачи воспользуемся признаком делимости на 9. Согласно этому признаку, число делится на 9 без остатка в том и только в том случае, если сумма его цифр делится на 9.

Сначала найдем сумму цифр числа 509. Она составляет:

$5 + 0 + 9 = 14$

Полученная сумма, 14, не делится нацело на 9. Нам нужно найти наименьшее натуральное число, которое следует прибавить к 509, чтобы новая сумма стала кратной 9. Это эквивалентно поиску наименьшего числа, которое нужно прибавить, чтобы сумма цифр нового числа делилась на 9.

Найдем ближайшее к 14 число (в большую сторону), которое делится на 9. Перечислим числа, кратные 9: 9, 18, 27, и так далее. Ближайшим к 14 числом, которое больше него и кратно 9, является 18.

Теперь вычислим, какое число нужно добавить, чтобы сумма цифр стала равна 18. Для этого найдем разность между 18 и 14:

$18 - 14 = 4$

Следовательно, наименьшее натуральное число, которое необходимо прибавить к 509, чтобы результат делился на 9, это 4.

Проверим правильность решения. Прибавим 4 к 509:

$509 + 4 = 513$

Теперь проверим, делится ли 513 на 9, посчитав сумму его цифр:

$5 + 1 + 3 = 9$

Сумма цифр равна 9. Поскольку 9 делится на 9, то и число 513 делится на 9. Действительно, $513 \div 9 = 57$. Расчеты верны.

Ответ: 4

46. Какое наименьшее натуральное число надо прибавить к числу 46 317, чтобы полученная сумма делилась нацело на 9?

Для того чтобы число делилось нацело на 9, необходимо и достаточно, чтобы сумма его цифр делилась на 9. Это свойство называется признаком делимости на 9.

1. Сначала найдем сумму цифр данного числа 46 317:

$4 + 6 + 3 + 1 + 7 = 21$

2. Теперь нам нужно найти, какое наименьшее натуральное число надо прибавить к 46 317, чтобы новая сумма стала делиться на 9. Это эквивалентно тому, чтобы найти, какое наименьшее число нужно прибавить к сумме цифр (21), чтобы результат делился на 9.

3. Найдем ближайшее к 21 число (большее или равное ему), которое делится на 9 без остатка. Посмотрим на числа, кратные 9: 9, 18, 27, 36, ... Ближайшее к 21 число, которое больше него и делится на 9, — это 27.

4. Вычислим разницу между этим числом и текущей суммой цифр. Эта разница и будет тем наименьшим числом, которое нам нужно прибавить.

$27 - 21 = 6$

Таким образом, к числу 46 317 нужно прибавить 6.

Проверим наше решение:

Новое число: $46317 + 6 = 46323$.

Сумма цифр нового числа: $4 + 6 + 3 + 2 + 3 = 18$.

Число 18 делится на 9 ($18 : 9 = 2$), значит, и число 46 323 делится на 9 нацело.

Ответ: 6

47. У Елены есть некоторое количество орехов. Когда она разложила их в кучки по 5 орехов, то 3 ореха остались, а когда разложила их в кучки по 3 ореха, то лишних орехов не было. Какое из данных ниже чисел может быть равным количеству имеющихся у Елены орехов?

1) 42;

2) 43;

3) 48;

4) 51.

Пусть $N$ — общее количество орехов. Из условий задачи мы можем составить два правила, которым должно удовлетворять число $N$.

1. При раскладывании орехов в кучки по 5 штук остаётся 3 ореха. Это означает, что искомое число при делении на 5 даёт в остатке 3. Математически это можно записать так: $N = 5k + 3$, где $k$ — целое число. Такие числа оканчиваются на 3 или 8.
2. При раскладывании орехов в кучки по 3 штуки остатка нет. Это означает, что искомое число делится на 3 без остатка. По признаку делимости на 3, сумма цифр такого числа должна быть кратна 3.

Теперь последовательно проверим каждый из предложенных вариантов.

1) 42;

Проверяем деление на 5: $42 \div 5 = 8$ (остаток 2). Остаток не равен 3. Вариант не подходит.

2) 43;

Проверяем деление на 5: $43 \div 5 = 8$ (остаток 3). Первое условие выполнено.
Проверяем деление на 3: сумма цифр $4 + 3 = 7$. 7 не делится на 3. Второе условие не выполнено. Вариант не подходит.

3) 48;

Проверяем деление на 5: $48 \div 5 = 9$ (остаток 3). Первое условие выполнено.
Проверяем деление на 3: сумма цифр $4 + 8 = 12$. 12 делится на 3. Второе условие выполнено.
Этот вариант подходит, так как выполнены оба условия.

4) 51.

Проверяем деление на 5: $51 \div 5 = 10$ (остаток 1). Остаток не равен 3. Вариант не подходит.

Ответ: 48.

48. Сливы, лежащие на блюде, можно поровну разделить между двумя или тремя детьми, но нельзя разделить поровну между четырьмя детьми. Какое из данных ниже чисел может быть равным количеству слив, лежащих на блюде?

$1) 36;$

$2) 42;$

$3) 48;$

$4) 52.$

Для решения этой задачи необходимо найти число, которое удовлетворяет всем перечисленным в условии свойствам. Обозначим искомое количество слив за $N$.

Условия задачи можно сформулировать математически:
1. Количество слив можно поровну разделить между двумя детьми, следовательно, число $N$ должно делиться на 2.
2. Количество слив можно поровну разделить между тремя детьми, следовательно, число $N$ должно делиться на 3.
3. Количество слив нельзя поровну разделить между четырьмя детьми, следовательно, число $N$ не должно делиться на 4.

Из первых двух условий следует, что число $N$ должно быть кратно 2 и 3 одновременно. Это означает, что оно должно делиться на их наименьшее общее кратное: $НОК(2, 3) = 6$.

Теперь последовательно проверим каждое из предложенных чисел на соответствие всем условиям.

1) 36;
Число 36 делится на 6 ($36 \div 6 = 6$), значит, оно делится на 2 и на 3.
Проверим третье условие: $36 \div 4 = 9$. Число 36 делится на 4, что противоречит условию. Этот вариант не подходит.

2) 42;
Число 42 делится на 6 ($42 \div 6 = 7$), значит, оно делится на 2 и на 3.
Проверим третье условие: $42 \div 4 = 10$ (остаток 2). Число 42 не делится на 4 нацело. Этот вариант удовлетворяет всем условиям.

3) 48;
Число 48 делится на 6 ($48 \div 6 = 8$), значит, оно делится на 2 и на 3.
Проверим третье условие: $48 \div 4 = 12$. Число 48 делится на 4, что противоречит условию. Этот вариант не подходит.

4) 52;
Проверим делимость на 6: $52 \div 6 = 8$ (остаток 4). Число 52 не делится на 6, так как оно не делится на 3. Этот вариант не подходит.

Таким образом, единственное число из предложенных, которое удовлетворяет всем условиям — это 42.
Ответ: 42.