Страница 5 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. апишите в виде конечной десятичной дроби или в виде бесконечной периодической десятичной дроби:

1) $4 \frac{7}{10}$;

2) $1 \frac{3}{100}$;

3) $\frac{9}{100}$;

4) $\frac{3673}{1000}$;

5) $\frac{3}{4}$;

6) $\frac{13}{20}$;

7) $\frac{4}{9}$;

8) $\frac{10}{11}$.

1) Смешанное число $4 \frac{7}{10}$ состоит из целой части 4 и дробной части $\frac{7}{10}$. Дробная часть $\frac{7}{10}$ преобразуется в десятичную дробь $0,7$. Складывая целую часть и полученную дробь, получаем: $4 + 0,7 = 4,7$. Ответ: 4,7.

2) Смешанное число $1 \frac{3}{100}$ состоит из целой части 1 и дробной части $\frac{3}{100}$. Дробная часть $\frac{3}{100}$ равна $0,03$. Складываем целую часть и десятичную дробь: $1 + 0,03 = 1,03$. Ответ: 1,03.

3) Чтобы представить обыкновенную дробь $\frac{9}{100}$ в виде десятичной, нужно разделить числитель 9 на знаменатель 100. В результате деления получаем конечную десятичную дробь $0,09$. Ответ: 0,09.

4) Для преобразования неправильной дроби $\frac{3673}{1000}$ в десятичную, разделим числитель 3673 на знаменатель 1000. Это равносильно переносу десятичной запятой на три знака влево: $3673 \div 1000 = 3,673$. Ответ: 3,673.

5) Чтобы представить дробь $\frac{3}{4}$ в виде конечной десятичной дроби, можно привести ее знаменатель к степени десяти, поскольку он состоит только из множителей 2 ($4=2^2$). Умножим числитель и знаменатель на 25: $\frac{3}{4} = \frac{3 \times 25}{4 \times 25} = \frac{75}{100} = 0,75$. Альтернативно, можно просто разделить 3 на 4. Ответ: 0,75.

6) Для преобразования дроби $\frac{13}{20}$ в десятичную, приведем знаменатель к 100, так как $20 = 2^2 \times 5$. Для этого умножим числитель и знаменатель на 5: $\frac{13}{20} = \frac{13 \times 5}{20 \times 5} = \frac{65}{100} = 0,65$. Результат является конечной десятичной дробью. Ответ: 0,65.

7) Знаменатель несократимой дроби $\frac{4}{9}$ равен 9 ($9=3^2$). Так как он содержит простой множитель 3, отличный от 2 и 5, дробь преобразуется в бесконечную периодическую. Для ее нахождения разделим 4 на 9: $4 \div 9 = 0,444...$. Повторяющаяся цифра (период) — это 4. Результат записывается как $0,(4)$. Ответ: 0,(4).

8) Знаменатель несократимой дроби $\frac{10}{11}$ равен 11. Это простое число, отличное от 2 и 5, поэтому дробь будет бесконечной периодической. Выполним деление 10 на 11: $10 \div 11 = 0,909090...$. Повторяющаяся группа цифр (период) — это 90. Результат записывается как $0,(90)$. Ответ: 0,(90).

2. Запишите в виде конечной десятичной дроби или в виде бесконечной периодической десятичной дроби:

1) $9\frac{23}{100}$;

2) $\frac{9}{10}$;

3) $\frac{7}{100}$;

4) $\frac{5}{8}$;

5) $\frac{5}{6}$;

6) $\frac{4}{33}$.

1) Чтобы записать смешанное число $9\frac{23}{100}$ в виде десятичной дроби, нужно целую часть (9) оставить без изменений, а дробную часть ($\frac{23}{100}$) перевести в десятичный формат. Дробь $\frac{23}{100}$ читается как "двадцать три сотых", что соответствует десятичной записи $0,23$. Затем складываем целую и дробную части: $9 + 0,23 = 9,23$. Полученная дробь является конечной, так как знаменатель исходной дроби ($100 = 2^2 \cdot 5^2$) в своем разложении на простые множители содержит только $2$ и $5$.
Ответ: $9,23$.

2) Для перевода обыкновенной дроби $\frac{9}{10}$ в десятичную, необходимо разделить числитель на знаменатель: $9 \div 10 = 0,9$. Это конечная десятичная дробь.
Ответ: $0,9$.

3) Для перевода обыкновенной дроби $\frac{7}{100}$ в десятичную, необходимо разделить числитель на знаменатель: $7 \div 100 = 0,07$. Это конечная десятичная дробь.
Ответ: $0,07$.

4) Чтобы представить дробь $\frac{5}{8}$ в виде десятичной, разделим числитель на знаменатель. Так как знаменатель $8$ является степенью двойки ($8 = 2^3$), дробь будет конечной. Можно выполнить деление столбиком: $5 \div 8 = 0,625$. Другой способ — привести знаменатель к степени числа 10, домножив числитель и знаменатель на $125$: $\frac{5}{8} = \frac{5 \cdot 125}{8 \cdot 125} = \frac{625}{1000} = 0,625$.
Ответ: $0,625$.

5) Чтобы представить дробь $\frac{5}{6}$ в виде десятичной, разделим числитель на знаменатель. Знаменатель $6 = 2 \cdot 3$ содержит простой множитель $3$, отличный от $2$ и $5$, поэтому дробь будет бесконечной периодической. Выполним деление $5$ на $6$ столбиком:
$5 \div 6 = 0,...$
$50 \div 6 = 8$ (остаток $2$)
$20 \div 6 = 3$ (остаток $2$)
$20 \div 6 = 3$ (остаток $2$)
Остаток $2$ постоянно повторяется, следовательно, в частном будет бесконечно повторяться цифра $3$. Повторяющаяся цифра (или группа цифр) называется периодом. Результат: $0,8333... = 0,8(3)$.
Ответ: $0,8(3)$.

6) Чтобы представить дробь $\frac{4}{33}$ в виде десятичной, разделим числитель на знаменатель. Знаменатель $33 = 3 \cdot 11$ содержит простые множители, отличные от $2$ и $5$, поэтому дробь будет бесконечной периодической. Выполним деление $4$ на $33$ столбиком:
$4 \div 33 = 0,...$
$40 \div 33 = 1$ (остаток $7$)
$70 \div 33 = 2$ (остаток $4$)
$40 \div 33 = 1$ (остаток $7$)
$70 \div 33 = 2$ (остаток $4$)
Остатки $7$ и $4$ чередуются, следовательно, в частном будет бесконечно повторяться группа цифр $12$. Результат: $0,1212... = 0,(12)$.
Ответ: $0,(12)$.

3. Запишите в виде обыкновенной или смешанной дроби и результат, если возможно, сократите:

1) 0,6;

2) 0,05;

3) 0,36;

4) 2,64;

5) 1,019;

6) 5,0024.

1) 0,6;
Десятичная дробь 0,6 читается как "шесть десятых". Запишем это в виде обыкновенной дроби:
$0,6 = \frac{6}{10}$
Чтобы сократить дробь, найдем наибольший общий делитель (НОД) для числителя 6 и знаменателя 10. НОД(6, 10) = 2. Разделим числитель и знаменатель на 2:
$\frac{6}{10} = \frac{6 \div 2}{10 \div 2} = \frac{3}{5}$
Ответ: $\frac{3}{5}$

2) 0,05;
Десятичная дробь 0,05 читается как "пять сотых". Запишем это в виде обыкновенной дроби:
$0,05 = \frac{5}{100}$
Сократим дробь. НОД(5, 100) = 5. Разделим числитель и знаменатель на 5:
$\frac{5}{100} = \frac{5 \div 5}{100 \div 5} = \frac{1}{20}$
Ответ: $\frac{1}{20}$

3) 0,36;
Десятичная дробь 0,36 читается как "тридцать шесть сотых". Запишем это в виде обыкновенной дроби:
$0,36 = \frac{36}{100}$
Сократим дробь. НОД(36, 100) = 4. Разделим числитель и знаменатель на 4:
$\frac{36}{100} = \frac{36 \div 4}{100 \div 4} = \frac{9}{25}$
Ответ: $\frac{9}{25}$

4) 2,64;
Это число является смешанным. Целая часть равна 2, а дробная часть равна 0,64 ("шестьдесят четыре сотых"). Запишем в виде смешанной дроби:
$2,64 = 2\frac{64}{100}$
Теперь сократим дробную часть. НОД(64, 100) = 4. Разделим числитель и знаменатель дробной части на 4:
$2\frac{64}{100} = 2\frac{64 \div 4}{100 \div 4} = 2\frac{16}{25}$
Ответ: $2\frac{16}{25}$

5) 1,019;
Это число является смешанным. Целая часть равна 1, а дробная часть равна 0,019 ("девятнадцать тысячных"). Запишем в виде смешанной дроби:
$1,019 = 1\frac{19}{1000}$
Проверим, можно ли сократить дробную часть. Число 19 является простым. Знаменатель 1000 не делится на 19 без остатка. Следовательно, дробь $\frac{19}{1000}$ несократимая.
Ответ: $1\frac{19}{1000}$

6) 5,0024;
Это число является смешанным. Целая часть равна 5, а дробная часть равна 0,0024 ("двадцать четыре десятитысячных"). Запишем в виде смешанной дроби:
$5,0024 = 5\frac{24}{10000}$
Сократим дробную часть. Найдем НОД(24, 10000). Оба числа делятся на 8. НОД(24, 10000) = 8. Разделим числитель и знаменатель на 8:
$5\frac{24}{10000} = 5\frac{24 \div 8}{10000 \div 8} = 5\frac{3}{1250}$
Ответ: $5\frac{3}{1250}$

4. Запишите в виде обыкновенной или смешанной дроби и результат, если возможно, сократите:

1) $0,42$;

2) $0,072$;

3) $4,03$;

4) $6,125$.

1) Чтобы записать десятичную дробь 0,42 в виде обыкновенной, нужно записать в числитель число, стоящее после запятой (42), а в знаменатель — 1 со столькими нулями, сколько цифр после запятой (в данном случае две). Получаем дробь $ \frac{42}{100} $. Теперь необходимо сократить эту дробь. И числитель, и знаменатель делятся на 2. $ \frac{42:2}{100:2} = \frac{21}{50} $. Число 21 делится на 3 и 7, а число 50 делится на 2 и 5. Общих делителей больше нет, значит, дробь несократимая.
Ответ: $ \frac{21}{50} $

2) Для десятичной дроби 0,072 поступаем аналогично. В числитель записываем 72, а в знаменатель 1000, так как после запятой три цифры. Получаем дробь $ \frac{72}{1000} $. Теперь сократим ее. Наибольший общий делитель для 72 и 1000 равен 8. Разделим числитель и знаменатель на 8: $ \frac{72:8}{1000:8} = \frac{9}{125} $. Дальнейшее сокращение невозможно, так как 9 делится только на 3, а 125 — только на 5.
Ответ: $ \frac{9}{125} $

3) Число 4,03 является смешанным, так как у него есть целая часть (4) и дробная часть (0,03). Целую часть оставляем без изменений. Дробную часть 0,03 записываем в виде обыкновенной дроби $ \frac{3}{100} $. Эта дробь несократимая, так как 3 — простое число, а 100 на 3 не делится. Соединяем целую и дробную части.
Ответ: $ 4\frac{3}{100} $

4) Число 6,125 также является смешанным. Целая часть равна 6. Дробную часть 0,125 запишем в виде обыкновенной дроби $ \frac{125}{1000} $. Сократим эту дробь. Наибольший общий делитель для 125 и 1000 — это 125. Разделим числитель и знаменатель на 125: $ \frac{125:125}{1000:125} = \frac{1}{8} $. Соединяем целую часть и полученную сокращенную дробь.
Ответ: $ 6\frac{1}{8} $

5. Сравните числа:

1) 2,6 и 2,8;

2) 15,7 и 15,69;

3) 0,03 и 0,08;

4) $\frac{9}{11}$ и $\frac{17}{22}$;

5) $\frac{7}{12}$ и $\frac{11}{18}$;

6) $\frac{7}{8}$ и $\frac{8}{9}$;

7) -19 и 0;

8) 93 и -95;

9) -0,23 и -0,3.

1) Для сравнения десятичных дробей 2,6 и 2,8 сначала сравниваем их целые части. Они равны: $2 = 2$. Затем сравниваем дробные части по разрядам, начиная со старшего (десятые). Так как $6 < 8$, то и $2,6 < 2,8$.
Ответ: $2,6 < 2,8$

2) Сравниваем числа 15,7 и 15,69. Целые части равны: $15 = 15$. Сравниваем десятые доли: $7 > 6$. Значит, число 15,7 больше, независимо от следующих разрядов. Чтобы сделать сравнение более наглядным, можно записать 15,7 как 15,70. Тогда $15,70 > 15,69$.
Ответ: $15,7 > 15,69$

3) Сравниваем 0,03 и 0,08. Целые части и десятые доли у этих чисел равны нулю. Сравниваем сотые доли: $3 < 8$. Следовательно, $0,03 < 0,08$.
Ответ: $0,03 < 0,08$

4) Чтобы сравнить обыкновенные дроби $\frac{9}{11}$ и $\frac{17}{22}$, приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 11 и 22 равен 22. Приведем первую дробь к знаменателю 22, домножив ее числитель и знаменатель на 2: $\frac{9}{11} = \frac{9 \cdot 2}{11 \cdot 2} = \frac{18}{22}$. Теперь сравним дроби $\frac{18}{22}$ и $\frac{17}{22}$. Так как знаменатели равны, сравниваем числители: $18 > 17$. Следовательно, $\frac{18}{22} > \frac{17}{22}$.
Ответ: $\frac{9}{11} > \frac{17}{22}$

5) Чтобы сравнить дроби $\frac{7}{12}$ и $\frac{11}{18}$, найдем их наименьший общий знаменатель. Наименьшее общее кратное для чисел 12 и 18 это 36. Приведем дроби к знаменателю 36:
$\frac{7}{12} = \frac{7 \cdot 3}{12 \cdot 3} = \frac{21}{36}$
$\frac{11}{18} = \frac{11 \cdot 2}{18 \cdot 2} = \frac{22}{36}$
Сравниваем полученные дроби: так как $21 < 22$, то $\frac{21}{36} < \frac{22}{36}$.
Ответ: $\frac{7}{12} < \frac{11}{18}$

6) Сравниваем дроби $\frac{7}{8}$ и $\frac{8}{9}$. Приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 8 и 9 это их произведение, так как они взаимно простые: $8 \cdot 9 = 72$.
$\frac{7}{8} = \frac{7 \cdot 9}{8 \cdot 9} = \frac{63}{72}$
$\frac{8}{9} = \frac{8 \cdot 8}{9 \cdot 8} = \frac{64}{72}$
Сравниваем числители: $63 < 64$. Следовательно, $\frac{63}{72} < \frac{64}{72}$.
Ответ: $\frac{7}{8} < \frac{8}{9}$

7) Сравниваем числа -19 и 0. Любое отрицательное число меньше нуля, так как на числовой оси оно находится левее нуля.
Ответ: $-19 < 0$

8) Сравниваем числа 93 и -95. Любое положительное число всегда больше любого отрицательного числа.
Ответ: $93 > -95$

9) Сравниваем отрицательные числа -0,23 и -0,3. Из двух отрицательных чисел больше то, модуль (абсолютная величина) которого меньше. Сравним модули: $|-0,23| = 0,23$ и $|-0,3| = 0,3$. Так как $0,23 < 0,3$ (или $0,23 < 0,30$), то $-0,23 > -0,3$.
Ответ: $-0,23 > -0,3$

6. (Домашняя практическая работа) Расположите в порядке убывания числа: -3,2 В; 3,1 Л; 0,7 О; -0,8 О; -3,19 О; 0 Н; 3,04 О; -2,01 С; 2,96 М. Буквы, соответствующие данным числам, образуют фамилию великого русского учёного-естествоиспытателя и поэта. Найдите в Интернете информацию о его жизни и деятельности, о вкладе в развитие науки и промышленности.

Расположите в порядке убывания числа

Чтобы выполнить задание, необходимо расположить предложенные числа в порядке убывания, то есть от самого большого к самому маленькому. Каждому числу соответствует буква, из которых в итоге сложится фамилия.

Исходные числа и буквы: -3,2 (В); 3,1 (Л); 0,7 (О); -0,8 (О); -3,19 (О); 0 (Н); 3,04 (О); -2,01 (С); 2,96 (М).

Сравним числа. Сначала выпишем все положительные числа в порядке убывания, затем 0, а после — все отрицательные числа в порядке убывания.

1. Положительные числа: $3,1; 3,04; 2,96; 0,7$. Их порядок убывания: $3,1 > 3,04 > 2,96 > 0,7$.

2. Ноль: $0$.

3. Отрицательные числа: $-3,2; -0,8; -3,19; -2,01$. При сравнении отрицательных чисел большим является то, чей модуль (абсолютная величина) меньше. Таким образом, порядок убывания: $-0,8 > -2,01 > -3,19 > -3,2$.

Теперь составим общий ряд чисел в порядке убывания и подставим соответствующие им буквы:

$3,1$ (Л)
$3,04$ (О)
$2,96$ (М)
$0,7$ (О)
$0$ (Н)
$-0,8$ (О)
$-2,01$ (С)
$-3,19$ (О)
$-3,2$ (В)

Сложив буквы в полученном порядке, получаем фамилию: ЛОМОНОСОВ.

Ответ: Числа в порядке убывания: 3,1; 3,04; 2,96; 0,7; 0; -0,8; -2,01; -3,19; -3,2. Полученная фамилия — Ломоносов.

Найдите в Интернете информацию о его жизни и деятельности, о вкладе в развитие науки и промышленности

Михаил Васильевич Ломоносов (1711–1765) — великий русский учёный-энциклопедист, мыслитель, поэт, художник и реформатор, чья деятельность оказала огромное влияние на развитие российской и мировой науки, культуры и промышленности.

Жизнь и деятельность: Родился в деревне Мишанинской Архангельской губернии в семье зажиточного крестьянина-помора. С юных лет проявлял огромную тягу к знаниям. В 19 лет, чтобы получить образование, он тайно ушёл с рыбным обозом в Москву, где поступил в Славяно-греко-латинскую академию. Позже он продолжил обучение в Санкт-Петербургском университете при Академии наук, а затем был отправлен в Германию, где изучал химию, физику и металлургию. По возвращении в Россию в 1741 году Ломоносов стал адъюнктом, а в 1745 году — профессором (академиком) химии Петербургской Академии наук. Он был одним из главных инициаторов и основателей Московского университета (1755), который сегодня с гордостью носит его имя.

Вклад в развитие науки:

• Физика и химия: Разработал корпускулярно-кинетическую теорию тепла, в которой утверждал, что тепловые явления обусловлены вращательным движением частиц материи. Сформулировал всеобщий закон сохранения материи и движения (1748 г.), который стал предтечей закона сохранения энергии.
• Астрономия: В 1761 году, наблюдая прохождение Венеры по диску Солнца, открыл наличие у планеты плотной атмосферы, что стало одним из величайших астрономических открытий XVIII века.
• Геология и минералогия: В своем труде «О слоях земных» (1763) изложил идеи об эволюционном развитии Земли и органического мира. Создал систематическую коллекцию минералов.
• Гуманитарные науки: Провёл реформу русского литературного языка и системы стихосложения, создав «теорию трёх штилей». Его «Российская грамматика» (1755) стала первым научным описанием норм русского языка. Как поэт, он является одним из основоположников русской оды.

Вклад в развитие промышленности:

• Стекольное дело и мозаика: Ломоносов возродил забытое искусство мозаики. Он провёл тысячи опытов для разработки технологии производства цветного непрозрачного стекла (смальты). В 1753 году он основал Усть-Рудицкую фабрику, где производились смальты для мозаичных картин. Сам создал более 40 мозаик, среди которых — грандиозное панно «Полтавская баталия».
• Металлургия и горное дело: Написал труд «Первые основания металлургии, или рудных дел» (1763), который стал первым в России учебником по этой отрасли. Он настаивал на необходимости государственного подхода к изучению и освоению природных богатств страны.

Ответ: Михаил Васильевич Ломоносов был гениальным учёным-энциклопедистом и просветителем. Его ключевой вклад в науку включает формулирование закона сохранения массы, разработку кинетической теории тепла и открытие атмосферы на Венере. Он реформировал русский литературный язык и стихосложение. В промышленности он известен возрождением искусства мозаики, созданием технологии цветного стекла и основанием фабрики, а также работами в области металлургии и горного дела. М.В. Ломоносов является одним из основателей Московского университета.

7. Найдите значение числового выражения:

1) $0,72 + 3,018;$

2) $4 - 2,8;$

3) $1,8 \cdot 0,3;$

4) $5,4 : 6;$

5) $72 : 0,09;$

6) $9 : 4.$

1) Для сложения десятичных дробей их записывают так, чтобы запятая оказалась под запятой, и складывают как обычные числа. Для удобства можно уравнять число знаков после запятой, добавив нули: $0,72 = 0,720$.
$0,720 + 3,018 = 3,738$.
Ответ: 3,738

2) Чтобы вычесть десятичную дробь из целого числа, нужно представить целое число как дробь с нулевой дробной частью ($4 = 4,0$) и выполнить вычитание, записывая числа так, чтобы запятая была под запятой.
$4,0 - 2,8 = 1,2$.
Ответ: 1,2

3) Чтобы перемножить две десятичные дроби, нужно сначала перемножить их как целые числа, не обращая внимания на запятые: $18 \cdot 3 = 54$. Затем в полученном результате нужно отделить запятой столько цифр справа, сколько их было после запятой в обоих множителях вместе (в $1,8$ одна цифра, в $0,3$ одна, итого две).
$1,8 \cdot 0,3 = 0,54$.
Ответ: 0,54

4) Чтобы разделить десятичную дробь на натуральное число, выполняем деление как обычно. Запятую в частном ставим сразу после того, как закончим деление целой части. Целая часть $5$ меньше делителя $6$, поэтому в частном ставим $0$ и запятую. Затем делим $54$ на $6$.
$5,4 : 6 = 0,9$.
Ответ: 0,9

5) Чтобы разделить число на десятичную дробь, нужно сначала избавиться от запятой в делителе. Для этого переносим запятую в делителе и в делимом вправо на одинаковое количество знаков. В $0,09$ два знака после запятой, поэтому переносим запятую на два знака вправо в обоих числах: $72$ превращается в $7200$, а $0,09$ в $9$.
$72 : 0,09 = 7200 : 9 = 800$.
Ответ: 800

6) Выполним деление. Так как $9$ не делится на $4$ нацело, результатом будет десятичная дробь. Можно выполнить деление в столбик или представить как обыкновенную дробь и перевести в десятичную.
$9 : 4 = \frac{9}{4} = 2\frac{1}{4} = 2,25$.
Ответ: 2,25