Страница 11 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

55. Мобильный телефон в магазине стоит 20 500 р. Николай решил купить этот телефон в рассрочку. По условиям договора он должен был платить 10% цены телефона в течение 12 месяцев с момента покупки. На сколько больше он заплатит за телефон, купив его в рассрочку, чем заплатив всю стоимость телефона сразу?

Чтобы определить, на сколько больше Николай заплатит за телефон при покупке в рассрочку, необходимо выполнить следующие действия:

1. Вычислим размер ежемесячного платежа.

Первоначальная стоимость телефона составляет 20 500 рублей. По условиям договора, Николай должен платить 10% от этой стоимости каждый месяц. Рассчитаем эту сумму:

$20\,500 \text{ р.} \cdot \frac{10}{100} = 20\,500 \cdot 0,1 = 2\,050 \text{ рублей.}$

Таким образом, ежемесячный платеж составляет 2 050 рублей.

2. Рассчитаем общую сумму, которую Николай заплатит за 12 месяцев.

Общая сумма выплат по рассрочке равна произведению ежемесячного платежа на количество месяцев:

$2\,050 \text{ р./мес.} \cdot 12 \text{ мес.} = 24\,600 \text{ рублей.}$

3. Найдем разницу между стоимостью в рассрочку и первоначальной ценой.

Чтобы найти, на сколько больше Николай заплатит, вычтем из общей суммы выплат по рассрочке первоначальную стоимость телефона:

$24\,600 \text{ р.} - 20\,500 \text{ р.} = 4\,100 \text{ рублей.}$

Ответ: 4 100 рублей.

56. В магазин завезли 360 кг овощей. Из них $ \frac{4}{9} $ составил картофель, 35% составила морковь, а остальное – капуста. Сколько килограммов капусты завезли в магазин?

Для того чтобы найти, сколько килограммов капусты завезли в магазин, необходимо сначала вычислить массу картофеля и моркови, а затем вычесть их из общей массы овощей.

1. Находим массу картофеля.

Известно, что масса картофеля составляет $\frac{4}{9}$ от общей массы всех овощей (360 кг). Вычислим это значение:

$360 \cdot \frac{4}{9} = \frac{360 \cdot 4}{9} = 40 \cdot 4 = 160$ кг.

Таким образом, в магазин завезли 160 кг картофеля.

2. Находим массу моркови.

Масса моркови составляет 35% от общей массы овощей. Чтобы найти массу моркови, можно перевести проценты в десятичную дробь ($35\% = 0,35$) и умножить на общую массу:

$360 \cdot 0,35 = 126$ кг.

Таким образом, в магазин завезли 126 кг моркови.

3. Находим массу капусты.

Масса капусты — это оставшаяся часть овощей. Чтобы ее найти, нужно из общей массы вычесть массу картофеля и моркови:

$360 - 160 - 126 = 200 - 126 = 74$ кг.

Ответ: в магазин завезли 74 кг капусты.

57. На пассажирском теплоходе 300 мест. Из них 24% составляют места первого класса, $\frac{5}{12}$ — места второго класса, а остальные — третьего класса. Сколько на теплоходе мест третьего класса?

Для того чтобы найти количество мест третьего класса, необходимо выполнить несколько последовательных действий: найти количество мест первого и второго классов, а затем вычесть их сумму из общего числа мест.

1. Найдём количество мест первого класса.

Места первого класса составляют 24% от общего числа мест, равного 300. Чтобы найти процент от числа, нужно это число умножить на дробь, соответствующую данному проценту.

$24\% = \frac{24}{100}$

Количество мест первого класса: $300 \cdot \frac{24}{100} = 3 \cdot 24 = 72$ места.

2. Найдём количество мест второго класса.

Места второго класса составляют $\frac{5}{12}$ от общего числа мест. Чтобы найти дробь от числа, нужно это число умножить на данную дробь.

Количество мест второго класса: $300 \cdot \frac{5}{12} = \frac{300}{12} \cdot 5 = 25 \cdot 5 = 125$ мест.

3. Найдём общее количество мест первого и второго классов.

Для этого сложим количество мест, найденное в предыдущих шагах:

$72 + 125 = 197$ мест.

4. Найдём количество мест третьего класса.

Оставшиеся места на теплоходе относятся к третьему классу. Чтобы найти их количество, нужно из общего числа мест вычесть сумму мест первого и второго классов:

$300 - 197 = 103$ места.

Ответ: 103 места.

58. В некоторой школе три седьмых класса. В 7 «А» классе учится 30% всех семиклассников, в 7 «Б» – $\frac{4}{7}$ оставшихся, а в 7 «В» – 21 учащийся. Сколько всего семиклассников в этой школе?

Пусть $x$ — общее количество всех семиклассников в школе.

1. Найдем количество учеников в 7 «А» классе.
В 7 «А» классе учится 30% всех семиклассников. В виде десятичной дроби это $0,3$. Таким образом, количество учеников в 7 «А» составляет $0,3x$.

2. Найдем количество оставшихся учеников.
После того как мы вычли учеников 7 «А» класса, осталось $100\% - 30\% = 70\%$ всех семиклассников. В виде дроби это $1 - 0,3 = 0,7$.
Количество оставшихся учеников равно $x - 0,3x = 0,7x$.

3. Найдем количество учеников в 7 «Б» классе.
В 7 «Б» классе учится $\frac{4}{7}$ от оставшихся учеников. Найдем эту часть от $0,7x$:
$\frac{4}{7} \cdot (0,7x) = \frac{4}{7} \cdot \frac{7}{10}x = \frac{4 \cdot 7}{7 \cdot 10}x = \frac{4}{10}x = 0,4x$.

4. Найдем количество учеников в 7 «В» классе.
Ученики 7 «В» класса — это все семиклассники за вычетом учеников 7 «А» и 7 «Б» классов. Их общая доля составляет $0,3x + 0,4x = 0,7x$.
Следовательно, доля учеников 7 «В» класса равна $x - 0,7x = 0,3x$.

5. Составим и решим уравнение.
По условию, в 7 «В» классе учится 21 учащийся. Мы можем приравнять найденную долю к этому числу:
$0,3x = 21$
Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на $0,3$:
$x = \frac{21}{0,3} = \frac{210}{3} = 70$

Таким образом, общее количество семиклассников в школе — 70 человек.

Ответ: 70.

59. Дубы составляют $\frac{2}{7}$ деревьев, растущих в парке, клёны – 65% остатка, а берёзы – остальные 70 деревьев. Сколько всего деревьев в парке?

Для решения задачи примем общее количество деревьев в парке за $x$.

1. Сначала найдем, какая часть деревьев осталась после того, как посчитали дубы. Если дубы составляют $\frac{2}{7}$ всех деревьев, то оставшаяся часть составляет:

$1 - \frac{2}{7} = \frac{7}{7} - \frac{2}{7} = \frac{5}{7}$ всех деревьев.

2. Далее по условию клёны составляют $65\%$ от этого остатка. Оставшиеся деревья — это берёзы. Значит, берёзы составляют $100\% - 65\% = 35\%$ от остатка.

3. Теперь найдем, какую долю от общего числа деревьев составляют берёзы. Для этого нужно долю остатка ($\frac{5}{7}$) умножить на долю берёз в этом остатке ($35\%$). Переведем проценты в обыкновенную дробь: $35\% = \frac{35}{100} = \frac{7}{20}$.

Доля берёз от всех деревьев в парке равна:

$\frac{5}{7} \cdot \frac{7}{20} = \frac{5 \cdot 7}{7 \cdot 20} = \frac{5}{20} = \frac{1}{4}$

4. Мы выяснили, что берёзы составляют $\frac{1}{4}$ всех деревьев в парке. По условию, количество берёз равно 70. Можем составить уравнение:

$\frac{1}{4}x = 70$

Чтобы найти $x$ (общее количество деревьев), умножим 70 на 4:

$x = 70 \cdot 4 = 280$

Таким образом, всего в парке 280 деревьев.

Ответ: 280 деревьев.

60. Цена некоторого товара – 600 р. Сначала его цену снизили на 20%, а затем повысили на 10%. Какой стала цена товара после этих изменений? На сколько процентов изменилась начальная цена?

Какой стала цена товара после этих изменений?

Чтобы найти конечную цену товара, необходимо выполнить вычисления последовательно.

1. Первоначальная цена товара составляет 600 рублей. Сначала ее снизили на 20%. Это означает, что новая цена будет составлять $100\% - 20\% = 80\%$ от первоначальной. Вычислим цену после снижения: $600 \cdot (1 - \frac{20}{100}) = 600 \cdot 0.8 = 480$ рублей.

2. Затем новую цену, которая теперь составляет 480 рублей, повысили на 10%. Это значит, что итоговая цена составит $100\% + 10\% = 110\%$ от цены после снижения. Вычислим итоговую цену: $480 \cdot (1 + \frac{10}{100}) = 480 \cdot 1.1 = 528$ рублей.

Ответ: цена товара после этих изменений стала 528 рублей.

На сколько процентов изменилась начальная цена?

Для определения общего процентного изменения нужно сравнить конечную цену (528 рублей) с начальной (600 рублей).

1. Найдем абсолютное изменение цены в рублях. Разница между начальной и конечной ценой составляет: $600 - 528 = 72$ рубля.

2. Теперь рассчитаем, какой процент это изменение составляет от начальной цены. Начальную цену в 600 рублей принимаем за 100%. Процентное изменение равно отношению абсолютного изменения к начальной цене, умноженному на 100%. $\frac{72}{600} \cdot 100\% = 0.12 \cdot 100\% = 12\%$.

Поскольку конечная цена оказалась меньше начальной, это означает, что цена в итоге снизилась.

Ответ: начальная цена уменьшилась на 12%.

61. Цена некоторого товара – 1400 р. Сначала его цену повысили на $20\%$, а затем снизили на $25\%$. Какой стала цена товара после этих изменений? На сколько процентов изменилась начальная цена?

Какой стала цена товара после этих изменений?

Чтобы найти конечную цену товара, выполним последовательно два действия: повышение цены и последующее ее снижение.

1. Повышение цены на 20%.
Начальная цена товара — 1400 рублей. Повышение на 20% означает, что новая цена составит 120% от начальной. Найдем эту цену: $1400 \times (1 + \frac{20}{100}) = 1400 \times 1.20 = 1680 \text{ р.}$

После повышения цена товара стала 1680 рублей.

2. Снижение новой цены на 25%.
Теперь цену 1680 рублей снижают на 25%. Это значит, что конечная цена составит 75% от цены после повышения ( $100\% - 25\% = 75\%$ ). Рассчитаем конечную цену: $1680 \times (1 - \frac{25}{100}) = 1680 \times 0.75 = 1260 \text{ р.}$

Ответ: цена товара после этих изменений стала 1260 рублей.

На сколько процентов изменилась начальная цена?

Для определения общего процентного изменения нужно сравнить конечную цену с начальной.

Начальная цена: 1400 р.
Конечная цена: 1260 р.

1. Найдем абсолютное изменение цены:
$1400 - 1260 = 140 \text{ р.}$
Цена уменьшилась на 140 рублей.

2. Найдем, какой процент составляет это изменение от начальной цены:
Для этого разделим абсолютное изменение на начальную цену и умножим на 100%. $\frac{140}{1400} \times 100\% = 0.1 \times 100\% = 10\%$

Так как конечная цена ниже начальной, то произошло снижение цены.

Ответ: начальная цена снизилась на 10%.

62. Владимир купил несколько календарей стоимостью 15 р. каждый и 5 блокнотов стоимостью $x$ р. каждый. Какой из приведённых ниже сумм может быть равна общая стоимость покупки, если $x$ — целое число?

1) 63 р.;

2) 64 р.;

3) 65 р.;

4) 66 р.

Пусть $n$ — это количество календарей, которые купил Владимир, а $x$ — это стоимость одного блокнота в рублях. Согласно условию, Владимир купил "несколько" календарей, значит, $n$ — это натуральное число ($n \ge 1$). Стоимость блокнота $x$ — целое число, и, поскольку это цена, она должна быть положительной ($x \ge 1$).

Общая стоимость покупки, обозначим её $S$, складывается из стоимости всех календарей и стоимости всех блокнотов. Стоимость $n$ календарей по 15 рублей составляет $15 \cdot n$ рублей. Стоимость 5 блокнотов по $x$ рублей составляет $5 \cdot x$ рублей. Таким образом, общая стоимость покупки выражается формулой:

$S = 15n + 5x$

В правой части этого уравнения можно вынести за скобки общий множитель 5:

$S = 5(3n + x)$

Так как $n$ и $x$ являются целыми числами, то их комбинация в скобках $(3n + x)$ также будет целым числом. Из этого следует, что общая стоимость покупки $S$ должна быть числом, кратным 5, то есть делиться на 5 без остатка. Числа, которые делятся на 5, оканчиваются на цифру 0 или 5.

Теперь проанализируем предложенные варианты ответа:

1) 63 р. — число 63 не оканчивается на 0 или 5, значит, не делится на 5.
2) 64 р. — число 64 не оканчивается на 0 или 5, значит, не делится на 5.
3) 65 р. — число 65 оканчивается на 5, значит, делится на 5. Этот вариант является возможным.
4) 66 р. — число 66 не оканчивается на 0 или 5, значит, не делится на 5.

Единственный вариант, который удовлетворяет нашему условию — это 65 р. Убедимся, что для этой суммы существуют подходящие целые значения $n$ и $x$. Если $S = 65$, то наше уравнение принимает вид:

$15n + 5x = 65$

Разделим обе части уравнения на 5:

$3n + x = 13$

Выразим $x$ через $n$:

$x = 13 - 3n$

Нам нужно найти хотя бы одну пару натуральных чисел $n$ и $x$, удовлетворяющую этому равенству. Попробуем подставить возможное значение $n$, например, $n=2$:

$x = 13 - 3 \cdot 2 = 13 - 6 = 7$

Мы получили, что если Владимир купил 2 календаря ($n=2$), то цена одного блокнота составляет 7 рублей ($x=7$). Оба числа являются целыми и положительными, значит, такая ситуация возможна. Проверка: $2 \cdot 15 + 5 \cdot 7 = 30 + 35 = 65$ р.

Следовательно, единственно возможная общая стоимость покупки из предложенных вариантов — 65 р.

Ответ: 65 р.

63. Елена купила 6 одинаковых карандашей и несколько одинаковых ручек по цене 30 р. за каждую. Какой из приведённых ниже сумм может быть равна общая стоимость покупки?

1) 250 р.;

2) 255 р.;

3) 260 р.;

4) 270 р.

Для решения задачи определим переменные. Пусть $C_k$ — цена одного карандаша, а $r$ — количество купленных ручек. По условию, Елена купила 6 карандашей и $r$ ручек по цене 30 рублей за каждую.

Общая стоимость покупки, обозначенная как $S$, равна сумме стоимости всех карандашей и всех ручек. Запишем это в виде математической формулы:

$S = (\text{стоимость 6 карандашей}) + (\text{стоимость } r \text{ ручек})$

$S = (6 \cdot C_k) + (r \cdot 30)$

Проанализируем полученное выражение. Второе слагаемое, $r \cdot 30$, можно представить как $r \cdot 5 \cdot 6$. Это означает, что стоимость всех ручек всегда делится на 6. Первое слагаемое, $6 \cdot C_k$, также очевидно делится на 6. Так как оба слагаемых в сумме делятся на 6, то и вся сумма $S$ должна делиться на 6.

Также это можно увидеть, вынеся общий множитель 6 за скобки:

$S = 6 \cdot C_k + 30r = 6 \cdot C_k + 6 \cdot (5r) = 6 \cdot (C_k + 5r)$

Из этой формулы видно, что общая стоимость покупки $S$ должна быть кратна 6.

Чтобы проверить, делится ли число на 6, нужно убедиться, что оно делится одновременно и на 2 (то есть является чётным), и на 3 (сумма его цифр делится на 3).

Теперь проверим каждый из предложенных вариантов общей стоимости:

• 1) 250 р.: Это число чётное (делится на 2). Сумма его цифр: $2+5+0=7$. Так как 7 не делится на 3, число 250 не делится на 3. Следовательно, 250 не делится на 6.
• 2) 255 р.: Это число нечётное (заканчивается на 5), поэтому оно не делится на 2. Следовательно, 255 не делится на 6.
• 3) 260 р.: Это число чётное (делится на 2). Сумма его цифр: $2+6+0=8$. Так как 8 не делится на 3, число 260 не делится на 3. Следовательно, 260 не делится на 6.
• 4) 270 р.: Это число чётное (делится на 2). Сумма его цифр: $2+7+0=9$. Так как 9 делится на 3, число 270 делится на 3. Поскольку 270 делится и на 2, и на 3, оно делится на 6.

Таким образом, единственная сумма из предложенных, которая может быть общей стоимостью покупки, — это 270 р. Мы можем найти и конкретный пример такой покупки. Допустим, цена карандаша такая же, как и цена ручки: $C_k = 30$ р. Тогда стоимость шести карандашей равна $6 \cdot 30 = 180$ р. Оставшаяся сумма, потраченная на ручки, составляет $270 - 180 = 90$ р. Так как каждая ручка стоит 30 р., то количество купленных ручек равно $90 / 30 = 3$. Это вполне возможная ситуация.

Ответ: 4) 270 р.

64. Заполните таблицу, если величина $y$ обратно пропорциональна величине $x$.

$x$: 7, 6, 42, [пусто], [пусто]

$y$: [пусто], 14, [пусто], [пусто], 21

Задайте формулой зависимость $y$ от $x$.

Поскольку по условию задачи величина y обратно пропорциональна величине x, их связь описывается формулой обратной пропорциональности: $y = \frac{k}{x}$, где k — это постоянный коэффициент. Из этой формулы следует, что произведение $x \cdot y$ всегда постоянно и равно k.

Для начала найдем значение коэффициента k, воспользуемся известной из таблицы парой значений: когда $x = 6$, то $y = 14$.
$k = x \cdot y = 6 \cdot 14 = 84$.

Теперь, зная коэффициент пропорциональности $k=84$, мы можем решить обе части задачи.

Заполните таблицу

Используя найденный коэффициент $k=84$ и формулу $y = \frac{84}{x}$ (или эквивалентную ей $x = \frac{84}{y}$), найдем все недостающие значения в таблице.

1. Для первого столбца (при $x = 7$):
$y = \frac{84}{7} = 12$.

2. Для третьего столбца (при $x = 42$):
$y = \frac{84}{42} = 2$.

3. Для четвертого столбца (при $y = 21$):
$x = \frac{84}{y} = \frac{84}{21} = 4$.

Итоговая заполненная таблица выглядит следующим образом:

Ответ: Пропущенные значения в таблице (слева направо): для y — 12, для y — 2, для x — 4.

Задайте формулой зависимость y от x

Как мы установили ранее, зависимость между y и x описывается формулой обратной пропорциональности $y = \frac{k}{x}$. Подставив найденное значение $k=84$, получаем искомую формулу.
Ответ: $y = \frac{84}{x}$.