Страница 16 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

76. Найдите значение выражения:

1) $2x - 3$ при $x = 4; x = 0; x = -3;$

2) $\frac{1}{3}a + \frac{1}{4}b$ при $a = -6, b = 16;$

3) $3m - 5n + 3k$ при $m = -7, n = 1.4, k = -0.1.$

1) Чтобы найти значение выражения $2x - 3$, подставим в него поочередно каждое из заданных значений $x$.
Если $x = 4$, то $2x - 3 = 2 \cdot 4 - 3 = 8 - 3 = 5$.
Если $x = 0$, то $2x - 3 = 2 \cdot 0 - 3 = 0 - 3 = -3$.
Если $x = -3$, то $2x - 3 = 2 \cdot (-3) - 3 = -6 - 3 = -9$.
Ответ: $5; -3; -9$.

2) Подставим значения $a = -6$ и $b = 16$ в выражение $\frac{1}{3}a + \frac{1}{4}b$ и произведем вычисления.
$\frac{1}{3}a + \frac{1}{4}b = \frac{1}{3} \cdot (-6) + \frac{1}{4} \cdot 16 = -\frac{6}{3} + \frac{16}{4} = -2 + 4 = 2$.
Ответ: $2$.

3) Подставим значения $m = -7$, $n = 1.4$ и $k = -0.1$ в выражение $3m - 5n + 3k$ и произведем вычисления.
$3m - 5n + 3k = 3 \cdot (-7) - 5 \cdot 1.4 + 3 \cdot (-0.1) = -21 - 7 - 0.3 = -28.3$.
Ответ: $-28.3$.

77. Вычислите значение выражения:

1) $0,4y + 1$ при $y = -0,5$; $8$; $-10$;

2) $\frac{2}{7}c - 0,2d$ при $c = -28$, $d = 15$.

1)

Для вычисления значения выражения $0,4y + 1$ необходимо поочередно подставить в него заданные значения переменной $y$.

Если $y = -0,5$, то:

$0,4 \cdot (-0,5) + 1 = -0,2 + 1 = 0,8$

Если $y = 8$, то:

$0,4 \cdot 8 + 1 = 3,2 + 1 = 4,2$

Если $y = -10$, то:

$0,4 \cdot (-10) + 1 = -4 + 1 = -3$

Ответ: 0,8; 4,2; -3.

2)

Для вычисления значения выражения $\frac{2}{7}c - 0,2d$ подставим в него значения $c = -28$ и $d = 15$.

$\frac{2}{7}c - 0,2d = \frac{2}{7} \cdot (-28) - 0,2 \cdot 15$

Выполним вычисления по действиям:

1) $\frac{2}{7} \cdot (-28) = 2 \cdot \frac{-28}{7} = 2 \cdot (-4) = -8$

2) $0,2 \cdot 15 = 3$

3) $-8 - 3 = -11$

Таким образом, значение выражения равно -11.

Ответ: -11.

78. Какие из данных выражений являются целыми:

1) $7a + 0,3;$

2) $5x\left(y - \frac{1}{3}\right);$

3) $\frac{a+b}{c};$

4) $\frac{a+b}{4};$

5) $\frac{3m}{5} + \frac{5}{3m};$

6) $9x - 5y + \frac{1}{z}?$

Целым выражением называется алгебраическое выражение, которое не содержит деления на переменную. Оно может состоять из чисел, переменных, скобок и знаков арифметических действий: сложения, вычитания, умножения и деления на число, не равное нулю.

Проанализируем каждое из данных выражений:

1) $7a + 0,3$
Это выражение содержит переменную $a$, числа $7$ и $0,3$. Используются операции умножения (неявное) и сложения. Деление на переменную отсутствует. Следовательно, это выражение является целым.
Ответ: является целым выражением.

2) $5x(y - \frac{1}{3})$
Раскроем скобки в выражении: $5x \cdot y - 5x \cdot \frac{1}{3} = 5xy - \frac{5}{3}x$. Выражение состоит из произведений и разности переменных и чисел. Оно содержит деление на число $3$, что допустимо. Деления на переменную в выражении нет. Следовательно, это выражение является целым.
Ответ: является целым выражением.

3) $\frac{a+b}{c}$
В данном выражении присутствует операция деления на переменную $c$. Выражения, содержащие деление на переменную, называются дробными (или дробно-рациональными), а не целыми.
Ответ: не является целым выражением.

4) $\frac{a+b}{4}$
Это выражение можно записать в виде $\frac{1}{4}a + \frac{1}{4}b$. Оно содержит деление на число $4$, что является константой. Деление на переменную отсутствует, поэтому выражение является целым.
Ответ: является целым выражением.

5) $\frac{3m}{5} + \frac{5}{3m}$
Это выражение является суммой двух дробей. Второе слагаемое $\frac{5}{3m}$ содержит деление на переменную $m$. Наличие хотя бы одного члена с делением на переменную делает всё выражение дробным.
Ответ: не является целым выражением.

6) $9x - 5y + \frac{1}{z}$
Третий член в этом выражении, $\frac{1}{z}$, представляет собой деление на переменную $z$. Этого достаточно, чтобы всё выражение не считалось целым.
Ответ: не является целым выражением.

Таким образом, целыми являются выражения под номерами 1, 2 и 4.

79. Используя термины «сумма», «разность», «произведение», «частное», прочитайте алгебраические выражения и укажите, какие из них являются целыми:

1) $a - (b + c);$

2) $a + bc;$

3) $x - \frac{y}{z};$

4) $2m - 10;$

5) $\frac{a}{b} + \frac{c}{d};$

6) $(a + b)c;$

7) $ac + bc;$

8) $\frac{a}{b + 4};$

9) $(a - b)(c + d).$

Целыми называются алгебраические выражения, которые не содержат операции деления на переменную. Выражения, содержащие деление на переменную, называются дробными.

1) Выражение $a - (b + c)$ читается как «разность числа $a$ и суммы чисел $b$ и $c$». Данное выражение является целым, так как оно не содержит операции деления на переменную.
Ответ: целое выражение.

2) Выражение $a + bc$ читается как «сумма числа $a$ и произведения чисел $b$ и $c$». Данное выражение является целым, так как оно не содержит деления на переменную.
Ответ: целое выражение.

3) Выражение $x - \frac{y}{z}$ читается как «разность числа $x$ и частного чисел $y$ и $z$». Данное выражение не является целым (является дробным), поскольку содержит деление на переменную $z$.
Ответ: не является целым выражением.

4) Выражение $2m - 10$ читается как «разность произведения числа 2 и переменной $m$ и числа 10». Данное выражение является целым, так как не содержит деления на переменную.
Ответ: целое выражение.

5) Выражение $\frac{a}{b} + \frac{c}{d}$ читается как «сумма частного чисел $a$ и $b$ и частного чисел $c$ и $d$». Данное выражение не является целым (является дробным), так как содержит деление на переменные $b$ и $d$.
Ответ: не является целым выражением.

6) Выражение $(a + b)c$ читается как «произведение суммы чисел $a$ и $b$ на число $c$». Данное выражение является целым, так как не содержит деления на переменную.
Ответ: целое выражение.

7) Выражение $ac + bc$ читается как «сумма произведения чисел $a$ и $c$ и произведения чисел $b$ и $c$». Данное выражение является целым, поскольку не содержит деления на переменную.
Ответ: целое выражение.

8) Выражение $\frac{a}{b+4}$ читается как «частное от деления числа $a$ на сумму числа $b$ и 4». Данное выражение не является целым (является дробным), так как содержит деление на выражение с переменной $b$.
Ответ: не является целым выражением.

9) Выражение $(a - b)(c + d)$ читается как «произведение разности чисел $a$ и $b$ на сумму чисел $c$ и $d$». Данное выражение является целым, так как не содержит деления на переменную.
Ответ: целое выражение.

Таким образом, целыми являются выражения под номерами 1, 2, 4, 6, 7, 9.

80. Запишите в виде выражения:

1) число, противоположное числу $a$;

2) число, обратное числу $a$;

3) сумму чисел $x$ и $y$;

4) число, обратное сумме чисел $x$ и $y$;

5) сумму чисел, обратных числам $x$ и $y$;

6) сумму числа $a$ и его квадрата;

7) частное от деления числа $a$ на число, противоположное числу $b$;

8) произведение суммы чисел $a$ и $b$ и числа, обратного числу $c$;

9) разность произведения чисел $m$ и $n$ и частного чисел $p$ и $q$.

1) число, противоположное числу a;
Противоположным для числа $a$ называется такое число, которое при сложении с $a$ дает в сумме ноль. Такое число записывается с противоположным знаком.
Ответ: $-a$

2) число, обратное числу a;
Обратным для числа $a$ (при условии, что $a \neq 0$) называется такое число, которое при умножении на $a$ дает в произведении единицу. Такое число является единицей, деленной на $a$.
Ответ: $\frac{1}{a}$

3) сумму чисел x и y;
Сумма чисел $x$ и $y$ — это результат их сложения, который записывается с помощью знака «+».
Ответ: $x + y$

4) число, обратное сумме чисел x и y;
Сначала находим сумму чисел $x$ и $y$, что равно $x+y$. Затем находим обратное число к полученной сумме (при условии, что $x+y \neq 0$).
Ответ: $\frac{1}{x+y}$

5) сумму чисел, обратных числам x и y;
Сначала находим числа, обратные числам $x$ и $y$. Это $\frac{1}{x}$ (при $x \neq 0$) и $\frac{1}{y}$ (при $y \neq 0$). Затем находим их сумму.
Ответ: $\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$

6) сумму числа a и его квадрата;
Квадрат числа $a$ записывается как $a^2$. Сумма числа $a$ и его квадрата — это сложение этих двух выражений.
Ответ: $a + a^2$

7) частное от деления числа a на число, противоположное числу b;
Число, противоположное числу $b$, это $-b$. Частное от деления $a$ на $-b$ (при $b \neq 0$) — это результат деления первого на второе.
Ответ: $\frac{a}{-b}$ или $-\frac{a}{b}$

8) произведение суммы чисел a и b и числа, обратного числу c;
Сумма чисел $a$ и $b$ записывается как $(a+b)$. Число, обратное числу $c$ (при $c \neq 0$), это $\frac{1}{c}$. Произведение этих двух выражений равно их умножению, что можно записать в виде дроби.
Ответ: $(a+b) \cdot \frac{1}{c}$ или $\frac{a+b}{c}$

9) разность произведения чисел m и n и частного чисел p и q.
Произведение чисел $m$ и $n$ это $m \cdot n$ (или просто $mn$). Частное чисел $p$ и $q$ (при $q \neq 0$) это $\frac{p}{q}$. Разность между произведением и частным — это результат вычитания второго выражения из первого.
Ответ: $mn - \frac{p}{q}$

81. По условию задачи составьте выражения с переменными. Карандаш стоит $x$ р., а тетрадь – $y$ р.

1) Сколько стоят 5 карандашей и 7 тетрадей? $5x + 7y$

2) На сколько больше надо заплатить за $a$ тетрадей, чем за $b$ карандашей? $ay - bx$

Для решения задачи воспользуемся переменными, указанными в условии:
Цена одного карандаша — $x$ р.
Цена одной тетради — $y$ р.

1) Сколько стоят 5 карандашей и 7 тетрадей?

Чтобы найти стоимость нескольких предметов, нужно цену одного предмета умножить на их количество.
Стоимость 5 карандашей составляет: $5 \cdot x = 5x$ р.
Стоимость 7 тетрадей составляет: $7 \cdot y = 7y$ р.
Общая стоимость всей покупки — это сумма стоимостей карандашей и тетрадей.
Следовательно, искомое выражение: $5x + 7y$.

Ответ: $5x + 7y$ р.

2) На сколько больше надо заплатить за a тетрадей, чем за b карандашей?

Для ответа на этот вопрос нужно найти разницу между стоимостью $a$ тетрадей и стоимостью $b$ карандашей.
Сначала найдем стоимость $a$ тетрадей: $a \cdot y = ay$ р.
Затем найдем стоимость $b$ карандашей: $b \cdot x = bx$ р.
Чтобы узнать, на сколько стоимость тетрадей больше стоимости карандашей, нужно из стоимости тетрадей вычесть стоимость карандашей.
Таким образом, искомое выражение: $ay - bx$.

Ответ: $ay - bx$ р.