Страница 19 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

94. Докажите, что:

1) число 5 является корнем уравнения $3x + 1 = 21 - x$;

2) число -2 не является корнем уравнения $x(x + 4) = 4$.

1) число 5 является корнем уравнения $3x + 1 = 21 - x$;

Для того чтобы доказать, что число является корнем уравнения, нужно подставить это число вместо переменной $x$ в обе части уравнения. Если левая и правая части окажутся равны, то число является корнем.

Подставим $x = 5$ в уравнение $3x + 1 = 21 - x$.

Вычислим значение левой части уравнения: $3 \cdot 5 + 1 = 15 + 1 = 16$.

Вычислим значение правой части уравнения: $21 - 5 = 16$.

Сравниваем результаты: $16 = 16$.

Так как мы получили верное числовое равенство, это доказывает, что число 5 является корнем данного уравнения.

Ответ: число 5 является корнем уравнения, так как при его подстановке получается верное равенство $16=16$.

2) число $-2$ не является корнем уравнения $x(x + 4) = 4$.

Чтобы доказать, что число не является корнем уравнения, необходимо подставить его в уравнение и показать, что в результате получается неверное числовое равенство.

Подставим $x = -2$ в уравнение $x(x + 4) = 4$.

Вычислим значение левой части уравнения: $(-2) \cdot (-2 + 4) = -2 \cdot 2 = -4$.

Правая часть уравнения равна 4. Сравним левую и правую части: $-4 \neq 4$.

Так как мы получили неверное числовое равенство ($-4 = 4$ — ложно), это доказывает, что число $-2$ не является корнем данного уравнения.

Ответ: число $-2$ не является корнем уравнения, так как при его подстановке получается неверное равенство $-4=4$.

95. Решите уравнение:

1) $0.3x = 9$;

2) $-2x = 3$;

3) $15x = 0$.

1) Дано линейное уравнение $0,3x = 9$.

Чтобы найти неизвестную переменную $x$, необходимо разделить обе части уравнения на коэффициент при $x$, то есть на $0,3$.

$x = \frac{9}{0,3}$

Для удобства вычислений умножим числитель и знаменатель дроби на 10, чтобы избавиться от десятичной дроби в знаменателе:

$x = \frac{9 \cdot 10}{0,3 \cdot 10} = \frac{90}{3}$

Выполнив деление, получаем:

$x = 30$

Проверка: подставим найденное значение в исходное уравнение: $0,3 \cdot 30 = 9$. Равенство $9 = 9$ является верным.

Ответ: 30

2) Дано линейное уравнение $-2x = 3$.

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на коэффициент при $x$, который равен $-2$.

$x = \frac{3}{-2}$

Представим результат в виде десятичной дроби:

$x = -1,5$

Проверка: подставим найденное значение в исходное уравнение: $-2 \cdot (-1,5) = 3$. Равенство $3 = 3$ является верным.

Ответ: -1,5

3) Дано линейное уравнение $15x = 0$.

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на коэффициент при $x$, равный $15$.

$x = \frac{0}{15}$

При делении нуля на любое число, не равное нулю, в результате получается нуль.

$x = 0$

Проверка: подставим найденное значение в исходное уравнение: $15 \cdot 0 = 0$. Равенство $0 = 0$ является верным.

Ответ: 0

96. Раскройте скобки:

1) $2(x - 3y + 4z);$

2) $-0,4(-5 + 1,5y).$

1) Для того чтобы раскрыть скобки в выражении $2(x - 3y + 4z)$, необходимо применить распределительный закон умножения. Это означает, что нужно умножить множитель перед скобками, то есть 2, на каждый член, находящийся внутри скобок, сохраняя их знаки.
Выполним умножение последовательно:
1. Умножим 2 на первый член $x$:
$2 \cdot x = 2x$
2. Умножим 2 на второй член $-3y$:
$2 \cdot (-3y) = -6y$
3. Умножим 2 на третий член $4z$:
$2 \cdot 4z = 8z$
Теперь сложим полученные результаты:
$2x + (-6y) + 8z = 2x - 6y + 8z$
Ответ: $2x - 6y + 8z$

2) Для раскрытия скобок в выражении $-0,4(-5 + 1,5y)$ также используем распределительный закон. Множитель перед скобками, $-0,4$, умножается на каждый член внутри скобок.
Выполним умножение:
1. Умножим $-0,4$ на первый член $-5$. Произведение двух отрицательных чисел дает положительное число.
$-0,4 \cdot (-5) = 2$
2. Умножим $-0,4$ на второй член $1,5y$. Произведение отрицательного и положительного чисел дает отрицательное число.
$-0,4 \cdot 1,5y = -(0,4 \cdot 1,5)y = -0,6y$
Соединим полученные результаты:
$2 + (-0,6y) = 2 - 0,6y$
Ответ: $2 - 0,6y$

97. Приведите подобные слагаемые:

1) $4a + 9a - 18a + a;$

2) $1,2a - a + b - 2,1b.$

1) Чтобы привести подобные слагаемые в выражении $4a + 9a - 18a + a$, необходимо выполнить действия с их коэффициентами. Подобными называются слагаемые, имеющие одинаковую буквенную часть. В данном случае все слагаемые имеют буквенную часть $a$, поэтому они все подобны.

Коэффициенты слагаемых: $4$, $9$, $-18$ и $1$ (так как слагаемое $a$ можно представить как $1 \cdot a$).

Вынесем общий множитель $a$ за скобки и сложим коэффициенты:

$4a + 9a - 18a + a = (4 + 9 - 18 + 1)a$

Вычислим значение выражения в скобках:

$4 + 9 - 18 + 1 = 13 - 18 + 1 = -5 + 1 = -4$

Таким образом, после приведения подобных слагаемых получаем:

$(4 + 9 - 18 + 1)a = -4a$

Ответ: $-4a$

2) В выражении $1.2a - a + b - 2.1b$ есть две группы подобных слагаемых: слагаемые с переменной $a$ и слагаемые с переменной $b$.

Сгруппируем подобные слагаемые вместе:

$(1.2a - a) + (b - 2.1b)$

Теперь приведем подобные слагаемые в каждой группе отдельно. Для этого вынесем за скобки общую буквенную часть и выполним действия с коэффициентами. Коэффициент слагаемого $-a$ равен $-1$, а слагаемого $b$ — $1$.

Для группы с переменной $a$:

$1.2a - a = (1.2 - 1)a = 0.2a$

Для группы с переменной $b$:

$b - 2.1b = (1 - 2.1)b = -1.1b$

Теперь сложим полученные результаты:

$0.2a + (-1.1b) = 0.2a - 1.1b$

Ответ: $0.2a - 1.1b$

98. Раскройте скобки и приведите подобные слагаемые:

1) $(x+3,2)-(x+4,5)$;

2) $1,4(a-2)-(6-2a)$.

1) Чтобы упростить выражение $(x + 3,2) - (x + 4,5)$, необходимо сначала раскрыть скобки. Так как перед первой скобкой неявным образом стоит знак плюс, мы можем просто убрать ее. Перед второй скобкой стоит знак минус, поэтому при ее раскрытии знаки всех слагаемых внутри меняются на противоположные.

$(x + 3,2) - (x + 4,5) = x + 3,2 - x - 4,5$

Далее приводим подобные слагаемые. Это слагаемые, имеющие одинаковую буквенную часть. В данном случае это $x$ и $-x$, а также числовые слагаемые $3,2$ и $-4,5$.

Сгруппируем их: $(x - x) + (3,2 - 4,5)$.

Выполним вычисления в каждой группе:

$x - x = 0$

$3,2 - 4,5 = -1,3$

Таким образом, выражение упрощается до $-1,3$.

Ответ: $-1,3$

2) Чтобы упростить выражение $1,4(a - 2) - (6 - 2a)$, также начнем с раскрытия скобок. Первую скобку раскрываем, используя распределительный закон умножения: умножаем множитель $1,4$ на каждое слагаемое в скобке.

$1,4(a - 2) = 1,4 \cdot a - 1,4 \cdot 2 = 1,4a - 2,8$

Перед второй скобкой стоит знак минус, поэтому при ее раскрытии меняем знаки всех слагаемых внутри на противоположные.

$-(6 - 2a) = -6 + 2a$

Теперь запишем полученное выражение:

$1,4a - 2,8 - 6 + 2a$

Теперь приведем подобные слагаемые. Сгруппируем слагаемые с переменной $a$ и числовые слагаемые.

$(1,4a + 2a) + (-2,8 - 6)$

Выполним вычисления в каждой группе:

$1,4a + 2a = 3,4a$

$-2,8 - 6 = -8,8$

Соединяем полученные части:

$3,4a - 8,8$

Ответ: $3,4a - 8,8$

99. Дано 12 натуральных чисел. Докажите, что из них всегда можно выбрать два, разность которых делится нацело на 11.

Для решения этой задачи воспользуемся принципом Дирихле.

Рассмотрим остатки от деления данных 12 натуральных чисел на 11. При делении любого натурального числа на 11 может получиться один из 11 возможных остатков: $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10$.

Таким образом, у нас есть 12 чисел (это «голуби» в терминологии принципа Дирихле) и 11 возможных остатков (это «клетки»).

Согласно принципу Дирихле, если число «голубей» (12) больше числа «клеток» (11), то по крайней мере в одной «клетке» окажется более одного «голубя». В нашем случае это означает, что среди 12 заданных натуральных чисел обязательно найдутся как минимум два числа, которые имеют одинаковый остаток при делении на 11.

Пусть эти два числа — $a$ и $b$. То, что они имеют одинаковый остаток при делении на 11, можно записать следующим образом:

$a = 11k + r$

$b = 11m + r$

где $k$ и $m$ — некоторые целые числа (неполные частные), а $r$ — их одинаковый остаток ($0 \le r \le 10$).

Теперь найдем разность этих двух чисел:

$a - b = (11k + r) - (11m + r) = 11k + r - 11m - r = 11k - 11m = 11(k - m)$

Поскольку $k$ и $m$ — целые числа, то их разность $(k - m)$ также является целым числом. Следовательно, разность $a - b$ представляет собой произведение числа 11 на целое число, а это означает, что разность $a - b$ делится нацело на 11. Утверждение доказано.

Ответ: Утверждение доказано с помощью принципа Дирихле, так как при делении 12 чисел на 11 как минимум два числа будут иметь одинаковый остаток, и их разность будет делиться на 11.