Страница 17 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

82. По условию задачи составьте выражение с переменными. Рабочему выдали заработную плату одной купюрой номиналом 1000 р., $a$ купюрами номиналом 500 р. и $b$ купюрами номиналом 100 р. Какую сумму денег получил рабочий?

Для того чтобы составить выражение, которое описывает общую сумму денег, полученную рабочим, необходимо сложить стоимость всех купюр, которые ему выдали.

1. Рабочий получил одну купюру номиналом 1000 рублей. Её стоимость составляет $1 \cdot 1000 = 1000$ рублей.

2. Он получил a купюр номиналом 500 рублей. Их общая стоимость равна произведению количества купюр на их номинал: $a \cdot 500$ или $500a$ рублей.

3. Также он получил b купюр номиналом 100 рублей. Их общая стоимость, соответственно, составляет $b \cdot 100$ или $100b$ рублей.

Теперь сложим все полученные суммы, чтобы найти общую сумму денег. Итоговое выражение будет суммой стоимостей всех групп купюр:

$1000 + 500a + 100b$

Ответ: Выражение для суммы денег, которую получил рабочий, выглядит так: $1000 + 500a + 100b$ р.

83. По условию задачи составьте выражение с переменными. Из двух городов, расстояние между которыми равно 300 км, выехали одновременно навстречу друг другу два автомобиля со скоростями $m$ км/ч и $n$ км/ч. Через сколько часов после начала движения они встретятся?

Для того чтобы найти время, через которое автомобили встретятся, необходимо использовать понятие скорости сближения.

1. Находим скорость сближения автомобилей.
Когда два объекта движутся навстречу друг другу, их скорость сближения ($v_{сбл}$) равна сумме их скоростей.
Скорость первого автомобиля: $v_1 = m$ км/ч.
Скорость второго автомобиля: $v_2 = n$ км/ч.
Таким образом, скорость сближения будет:
$v_{сбл} = v_1 + v_2 = m + n$ (км/ч).
Это означает, что каждый час расстояние между автомобилями сокращается на $(m + n)$ километров.

2. Составляем выражение для нахождения времени до встречи.
Время ($t$) можно найти, разделив начальное расстояние ($S$) на скорость сближения ($v_{сбл}$).
Начальное расстояние между городами: $S = 300$ км.
Формула для нахождения времени:
$t = \frac{S}{v_{сбл}}$
Подставим известные значения в эту формулу, чтобы составить искомое выражение:
$t = \frac{300}{m + n}$

Ответ: $\frac{300}{m + n}$ часов.

84. По условию задачи составьте выражение с переменными. Из двух сёл, расстояние между которыми равно $s$ км, одновременно в одном направлении отправились пешеход и велосипедист. Через сколько часов после начала движения велосипедист догонит пешехода, если пешеход шёл впереди со скоростью $a$ км/ч, а велосипедист ехал со скоростью $b$ км/ч? Вычислите значение полученного выражения при $a = 4, b = 12, s = 12.$

Для решения данной задачи необходимо найти время $t$, через которое велосипедист догонит пешехода. Это задача на движение вдогонку.

Введем переменные согласно условию:
- $s$ — первоначальное расстояние между пешеходом и велосипедистом (в км).
- $a$ — скорость пешехода (в км/ч).
- $b$ — скорость велосипедиста (в км/ч).

Поскольку велосипедист догоняет пешехода, движущегося впереди в том же направлении, расстояние между ними сокращается. Скорость, с которой велосипедист приближается к пешеходу, называется скоростью сближения. Она равна разности их скоростей (при условии, что $b > a$):
$v_{сближения} = b - a$

Чтобы найти время $t$, за которое велосипедист преодолеет первоначальное расстояние $s$ со скоростью сближения, нужно разделить расстояние на скорость сближения. Таким образом, мы получаем выражение с переменными для нахождения времени:
$t = \frac{s}{v_{сближения}} = \frac{s}{b - a}$

Теперь вычислим значение этого выражения при заданных значениях: $a = 4$ км/ч, $b = 12$ км/ч, $s = 12$ км.

Подставим числовые значения в полученную формулу:
$t = \frac{12}{12 - 4}$
$t = \frac{12}{8}$
$t = 1.5$ (часа)

Ответ: выражение для нахождения времени, через которое велосипедист догонит пешехода, имеет вид $\frac{s}{b-a}$. При заданных значениях $a=4, b=12, s=12$ это время составит 1.5 часа.

85. Запишите в виде выражения:

1) утроенное произведение разности чисел $a$ и $b$ и их суммы;

2) сумму трёх последовательных натуральных чисел, меньшее из которых равно $n$;

3) произведение трёх последовательных чётных натуральных чисел, большее из которых равно $2k$;

4) число, в котором $a$ тысяч, $b$ сотен и $c$ единиц;

5) количество сантиметров в $x$ метрах и $y$ сантиметрах;

6) количество секунд в $m$ часах, $n$ минутах и $p$ секундах.

1) утроенное произведение разности чисел a и b и их суммы
Чтобы записать это выражение, разберем его по частям. Разность чисел $a$ и $b$ — это $a - b$. Их сумма — это $a + b$. Произведение разности и суммы — это $(a - b)(a + b)$. "Утроенное произведение" означает, что полученное произведение нужно умножить на 3. В итоге получаем выражение: $3(a - b)(a + b)$. Кстати, используя формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$, это выражение можно записать как $3(a^2 - b^2)$.
Ответ: $3(a - b)(a + b)$.

2) сумму трёх последовательных натуральных чисел, меньшее из которых равно n
Натуральные числа — это числа, используемые при счете (1, 2, 3, ...). Последовательные натуральные числа отличаются на 1. Если меньшее из трёх чисел равно $n$, то следующее за ним будет $n + 1$, а третье — $(n + 1) + 1 = n + 2$. Таким образом, мы имеем три числа: $n$, $n + 1$, $n + 2$. Их сумма записывается как $n + (n + 1) + (n + 2)$. Если упростить это выражение, получится $n + n + 1 + n + 2 = 3n + 3$.
Ответ: $n + (n + 1) + (n + 2)$.

3) произведение трёх последовательных чётных натуральных чисел, большее из которых равно 2k
Последовательные чётные натуральные числа отличаются друг от друга на 2. Если большее из трёх чисел равно $2k$, то предыдущее чётное число равно $2k - 2$. А самое меньшее из этой тройки чисел равно $(2k - 2) - 2 = 2k - 4$. Итак, наши три числа: $2k - 4$, $2k - 2$ и $2k$. Произведение этих чисел равно $(2k - 4)(2k - 2)(2k)$.
Ответ: $(2k - 4)(2k - 2)(2k)$.

4) число, в котором a тысяч, b сотен и c единиц
Это стандартная запись числа в виде суммы разрядных слагаемых. $a$ тысяч соответствует слагаемому $a \cdot 1000$ или $1000a$. $b$ сотен соответствует слагаемому $b \cdot 100$ или $100b$. $c$ единиц соответствует слагаемому $c \cdot 1$ или просто $c$. Чтобы получить итоговое число, нужно сложить все эти части.
Ответ: $1000a + 100b + c$.

5) количество сантиметров в x метрах и y сантиметрах
Чтобы найти общее количество сантиметров, нужно все величины привести к одной единице измерения (сантиметрам) и сложить. В одном метре содержится 100 сантиметров. Следовательно, в $x$ метрах будет $100 \cdot x$ сантиметров. К этому значению нужно прибавить $y$ сантиметров, которые уже даны в нужных единицах. Общее количество сантиметров выражается суммой.
Ответ: $100x + y$.

6) количество секунд в m часах, n минутах и p секундах
Аналогично предыдущей задаче, приводим все величины к секундам. В одном часе 60 минут, а в каждой минуте 60 секунд. Значит, в одном часе $60 \cdot 60 = 3600$ секунд. В $m$ часах будет $3600 \cdot m$ секунд. В одной минуте 60 секунд, значит, в $n$ минутах будет $60 \cdot n$ секунд. Величина $p$ уже дана в секундах. Складываем все полученные значения, чтобы найти общее количество секунд.
Ответ: $3600m + 60n + p$.

86. Запишите в виде выражения:

1) произведение четырёх последовательных натуральных чисел, большее из которых равно $x$;

2) разность произведения двух последовательных нечётных натуральных чисел и меньшего из них, если большее число равно $2k + 1$;

3) количество килограммов в $a$ тоннах и $b$ центнерах.

1) Чтобы записать произведение четырёх последовательных натуральных чисел, нужно сначала определить эти числа. По условию, большее из этих чисел равно $x$. Натуральные числа идут подряд с разницей в 1. Значит, если самое большое число — это $x$, то предыдущее число будет $x-1$, число перед ним — $x-2$, а самое меньшее из четырёх — $x-3$.
Таким образом, мы имеем четыре последовательных натуральных числа: $x-3, x-2, x-1, x$.
Произведение этих чисел — это результат их умножения:
$(x-3) \cdot (x-2) \cdot (x-1) \cdot x$.
Для более стандартной записи множители можно расположить в другом порядке.
Ответ: $x(x-1)(x-2)(x-3)$.

2) Нам нужно составить выражение для разности двух величин: первая — это произведение двух последовательных нечётных натуральных чисел, а вторая — меньшее из этих чисел.
По условию, большее из этих чисел равно $2k+1$. Последовательные нечётные числа отличаются друг от друга на 2 (например, 5 и 7). Следовательно, если большее число равно $2k+1$, то меньшее нечётное число, предшествующее ему, будет $(2k+1) - 2 = 2k-1$.
Итак, наши два числа: $2k+1$ (большее) и $2k-1$ (меньшее).
Их произведение равно: $(2k-1)(2k+1)$.
Теперь найдём разность между этим произведением и меньшим из чисел (которое равно $2k-1$):
$(2k-1)(2k+1) - (2k-1)$.
Это выражение можно упростить. Используем формулу разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$ для произведения:
$(2k-1)(2k+1) = (2k)^2 - 1^2 = 4k^2 - 1$.
Подставим это в наше выражение:
$(4k^2 - 1) - (2k-1) = 4k^2 - 1 - 2k + 1 = 4k^2 - 2k$.
Ответ: $4k^2 - 2k$.

3) Требуется выразить общее количество килограммов в $a$ тоннах и $b$ центнерах. Для этого необходимо перевести тонны и центнеры в килограммы.
Воспользуемся стандартными соотношениями единиц массы:

• 1 тонна = 1000 килограммов
• 1 центнер = 100 килограммов

Количество килограммов в $a$ тоннах составляет: $a \cdot 1000 = 1000a$ кг.
Количество килограммов в $b$ центнерах составляет: $b \cdot 100 = 100b$ кг.
Чтобы найти общее количество килограммов, нужно сложить эти две величины:
$1000a + 100b$.
Ответ: $1000a + 100b$.

87. Значения переменных $a$ и $b$ таковы, что $a + b = -8$, $c = 4$. Чему равно значение выражения:

1) $a + b - c;$

2) $0,5(a + b) + c;$

3) $3ac + 3bc?$

Дано: $a + b = -8$, $c = 4$.

1) a + b - c;

Чтобы найти значение выражения $a + b - c$, мы можем сгруппировать слагаемые $a$ и $b$. Получим выражение $(a + b) - c$.
Теперь подставим известные значения $a + b = -8$ и $c = 4$:
$(a + b) - c = -8 - 4 = -12$.
Ответ: -12

2) 0,5(a + b) + c;

Подставим известные значения $a + b = -8$ и $c = 4$ напрямую в выражение:
$0,5(a + b) + c = 0,5 \cdot (-8) + 4$.
Выполним вычисления:
$0,5 \cdot (-8) + 4 = -4 + 4 = 0$.
Ответ: 0

3) 3ac + 3bc?

Для нахождения значения этого выражения сначала упростим его, вынеся за скобки общий множитель $3c$:
$3ac + 3bc = 3c(a + b)$.
Теперь подставим известные значения $c = 4$ и $a + b = -8$:
$3c(a + b) = 3 \cdot 4 \cdot (-8)$.
Выполним вычисления:
$3 \cdot 4 \cdot (-8) = 12 \cdot (-8) = -96$.
Ответ: -96

88. Значения переменных $m$ и $n$ таковы, что $m - n = 5$, $k = -2$. Чему равно значение выражения:

1) $(n - m)k$;

2) $2m - 2n + 3k$?

Дано: $m - n = 5$ и $k = -2$.

1) (n - m)k;

Для нахождения значения выражения $(n - m)k$ нам необходимо сначала найти значение разности $(n - m)$. Из условия задачи известно, что $m - n = 5$. Выражение $n - m$ можно представить как $-(m - n)$. Следовательно, $n - m = -(5) = -5$. Теперь мы можем подставить значения $(n - m)$ и $k$ в исходное выражение:
$(n - m)k = (-5) \cdot (-2)$
При умножении двух отрицательных чисел получается положительное число:
$(-5) \cdot (-2) = 10$
Ответ: 10

2) 2m - 2n + 3k;

Рассмотрим выражение $2m - 2n + 3k$. В первых двух членах выражения, $2m$ и $-2n$, можно вынести за скобки общий множитель 2:
$2m - 2n = 2(m - n)$
Таким образом, исходное выражение можно переписать в виде:
$2(m - n) + 3k$
Теперь подставим известные значения $m - n = 5$ и $k = -2$ в это выражение:
$2 \cdot (5) + 3 \cdot (-2) = 10 - 6 = 4$
Ответ: 4