Страница 13 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

74. Полина собирает модели автомобилей. Их можно расставить поровну на 14 полках, а можно, тоже поровну, – на 8 полках. Сколько у Полины моделей, если известно, что их больше 100, но меньше 120?

Пусть $N$ — общее количество моделей автомобилей у Полины. Согласно условию задачи, количество моделей можно расставить поровну на 14 полках, а также поровну на 8 полках. Это означает, что число $N$ должно делиться без остатка и на 14, и на 8. Следовательно, искомое число $N$ является общим кратным чисел 14 и 8.

Чтобы найти все возможные значения $N$, сначала найдем наименьшее общее кратное (НОК) этих двух чисел. Для этого разложим числа 14 и 8 на простые множители:
$14 = 2 \times 7$
$8 = 2^3$

Наименьшее общее кратное равно произведению всех простых множителей, взятых в наибольшей степени, в которой они встречаются в разложениях:
$НОК(14, 8) = 2^3 \times 7 = 8 \times 7 = 56$

Таким образом, общее количество моделей $N$ должно быть кратно 56. Выпишем числа, кратные 56: 56, 112, 168, 224 и так далее.

В задаче указано дополнительное условие: количество моделей больше 100, но меньше 120. Запишем это в виде двойного неравенства: $100 < N < 120$.

Теперь из ряда чисел, кратных 56, выберем то, которое удовлетворяет этому неравенству:
- Число 56 не подходит, так как $56 < 100$.
- Число 112 подходит, так как $100 < 112 < 120$.
- Число 168 не подходит, так как $168 > 120$.

Единственное число, удовлетворяющее всем условиям задачи, — это 112.

Ответ: 112.

75. Михаил собирает фигурки клоунов. Их можно расставить поровну на 9 полках, а можно, тоже поровну, – на 6 полках. Сколько фигурок у Михаила, если известно, что их больше 40, но меньше 60?

Пусть $x$ — общее количество фигурок клоунов у Михаила.

По условию задачи, все фигурки можно расставить поровну на 9 полках. Это означает, что их общее количество $x$ должно делиться на 9 без остатка. То есть $x$ — число, кратное 9.

Также по условию, все фигурки можно расставить поровну на 6 полках. Это означает, что их общее количество $x$ должно делиться на 6 без остатка. То есть $x$ — число, кратное 6.

Следовательно, искомое число $x$ должно быть общим кратным чисел 9 и 6. Для нахождения таких чисел найдем наименьшее общее кратное (НОК) для 9 и 6.

Разложим числа 9 и 6 на простые множители:
$9 = 3 \cdot 3 = 3^2$
$6 = 2 \cdot 3$

Чтобы найти НОК, нужно взять каждый простой множитель в наибольшей степени, в которой он встречается в разложениях, и перемножить их:
$НОК(9, 6) = 3^2 \cdot 2 = 9 \cdot 2 = 18$

Это означает, что любое общее кратное чисел 9 и 6 будет кратно 18. Выпишем числа, кратные 18: 18, 36, 54, 72, 90 и так далее.

В задаче указано, что количество фигурок больше 40, но меньше 60. Запишем это в виде двойного неравенства: $40 < x < 60$.

Теперь из списка чисел, кратных 18, выберем то, которое удовлетворяет этому условию:

• 18 не подходит, так как $18 < 40$.
• 36 не подходит, так как $36 < 40$.
• 54 подходит, так как $40 < 54 < 60$.
• 72 не подходит, так как $72 > 60$.

Единственное число, которое удовлетворяет всем условиям задачи, — это 54.

Проверка:
1. Делится ли 54 на 9? Да, $54 : 9 = 6$.
2. Делится ли 54 на 6? Да, $54 : 6 = 9$.
3. Находится ли 54 в промежутке от 40 до 60? Да, $40 < 54 < 60$.

Ответ: у Михаила 54 фигурки.