Страница 6 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

8. Чему равно значение выражения:

1) $\frac{1}{3} + \frac{5}{6}$;

2) $\frac{3}{7} - \frac{2}{9}$;

3) $\frac{7}{16} \cdot \frac{8}{35}$;

4) $\frac{4}{9} \cdot 18$;

5) $\frac{46}{75} : \frac{23}{45}$;

6) $\frac{2}{3} : 4$;

7) $10 : \frac{5}{11}$;

8) $2\frac{3}{8} + 4\frac{1}{6}$;

9) $6 - 1\frac{3}{5}$;

10) $4\frac{2}{7} - 1\frac{4}{9}$;

11) $8\frac{3}{4} \cdot 1\frac{3}{14}$;

12) $1\frac{3}{5} : 5\frac{1}{3}$?

1) Чтобы сложить дроби с разными знаменателями, их

9. Вычислите:

1) $\frac{4}{15} + \frac{3}{4};$

2) $\frac{7}{12} - \frac{5}{9};$

3) $\frac{5}{8} \cdot \frac{4}{15};$

4) $\frac{13}{17} \cdot 34;$

5) $\frac{12}{35} : \frac{3}{5};$

6) $\frac{15}{19} : 5;$

7) $9 : \frac{18}{23};$

8) $4\frac{4}{7} + 6\frac{1}{4};$

9) $4 - 2\frac{4}{7};$

$5\frac{3}{8} - 3\frac{5}{6};$

$5\frac{3}{5} \cdot 1\frac{4}{21};$

$1\frac{7}{9} : 2\frac{2}{9}.$

1) Для сложения дробей $\frac{4}{15}$ и $\frac{3}{4}$ найдем их наименьший общий знаменатель (НОЗ). НОЗ(15, 4) = 60. Приведем дроби к этому знаменателю, умножив числитель и знаменатель первой дроби на 4, а второй — на 15. $\frac{4}{15} + \frac{3}{4} = \frac{4 \cdot 4}{15 \cdot 4} + \frac{3 \cdot 15}{4 \cdot 15} = \frac{16}{60} + \frac{45}{60}$. Теперь сложим числители, оставив знаменатель без изменений: $\frac{16 + 45}{60} = \frac{61}{60}$. Преобразуем неправильную дробь в смешанное число, разделив числитель на знаменатель: $\frac{61}{60} = 1\frac{1}{60}$. Ответ: $1\frac{1}{60}$.

2) Для вычитания дробей $\frac{7}{12}$ и $\frac{5}{9}$ найдем их наименьший общий знаменатель. НОЗ(12, 9) = 36. Приведем дроби к знаменателю 36. $\frac{7}{12} - \frac{5}{9} = \frac{7 \cdot 3}{12 \cdot 3} - \frac{5 \cdot 4}{9 \cdot 4} = \frac{21}{36} - \frac{20}{36}$. Вычтем числители: $\frac{21 - 20}{36} = \frac{1}{36}$. Ответ: $\frac{1}{36}$.

3) Чтобы перемножить дроби $\frac{5}{8}$ и $\frac{4}{15}$, умножим их числители и знаменатели: $\frac{5}{8} \cdot \frac{4}{15} = \frac{5 \cdot 4}{8 \cdot 15}$. Перед вычислением сократим дробь: 5 и 15 делятся на 5 (остается 1 и 3), а 4 и 8 делятся на 4 (остается 1 и 2). $\frac{1 \cdot 1}{2 \cdot 3} = \frac{1}{6}$. Ответ: $\frac{1}{6}$.

4) Чтобы умножить дробь $\frac{13}{17}$ на целое число 34, представим 34 как дробь $\frac{34}{1}$ и перемножим: $\frac{13}{17} \cdot 34 = \frac{13}{17} \cdot \frac{34}{1} = \frac{13 \cdot 34}{17}$. Сократим 34 и 17 на 17: $\frac{13 \cdot 2}{1} = 26$. Ответ: $26$.

5) Чтобы разделить дробь $\frac{12}{35}$ на $\frac{3}{5}$, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй: $\frac{12}{35} : \frac{3}{5} = \frac{12}{35} \cdot \frac{5}{3} = \frac{12 \cdot 5}{35 \cdot 3}$. Сократим: 12 и 3 на 3 (остается 4 и 1), а 35 и 5 на 5 (остается 7 и 1). $\frac{4 \cdot 1}{7 \cdot 1} = \frac{4}{7}$. Ответ: $\frac{4}{7}$.

6) Чтобы разделить дробь $\frac{15}{19}$ на целое число 5, представим 5 как дробь $\frac{5}{1}$ и заменим деление умножением на обратную дробь: $\frac{15}{19} : 5 = \frac{15}{19} : \frac{5}{1} = \frac{15}{19} \cdot \frac{1}{5} = \frac{15 \cdot 1}{19 \cdot 5}$. Сократим 15 и 5 на 5: $\frac{3 \cdot 1}{19 \cdot 1} = \frac{3}{19}$. Ответ: $\frac{3}{19}$.

7) Чтобы разделить целое число 9 на дробь $\frac{18}{23}$, представим 9 как $\frac{9}{1}$ и умножим на обратную дробь: $9 : \frac{18}{23} = \frac{9}{1} \cdot \frac{23}{18} = \frac{9 \cdot 23}{18}$. Сократим 9 и 18 на 9: $\frac{1 \cdot 23}{2} = \frac{23}{2}$. Преобразуем в смешанное число: $\frac{23}{2} = 11\frac{1}{2}$. Ответ: $11\frac{1}{2}$.

8) Чтобы сложить смешанные числа $4\frac{4}{7}$ и $6\frac{1}{4}$, сложим отдельно их целые и дробные части. Целые части: $4 + 6 = 10$. Дробные части: $\frac{4}{7} + \frac{1}{4}$. НОЗ(7, 4) = 28. $\frac{4 \cdot 4}{7 \cdot 4} + \frac{1 \cdot 7}{4 \cdot 7} = \frac{16}{28} + \frac{7}{28} = \frac{23}{28}$. Сложим результаты: $10 + \frac{23}{28} = 10\frac{23}{28}$. Ответ: $10\frac{23}{28}$.

9) Чтобы вычесть смешанное число $2\frac{4}{7}$ из целого числа 4, займем единицу у 4 и представим ее в виде дроби со знаменателем 7: $4 - 2\frac{4}{7} = 3\frac{7}{7} - 2\frac{4}{7}$. Теперь вычтем отдельно целые и дробные части: $(3 - 2) + (\frac{7}{7} - \frac{4}{7}) = 1 + \frac{3}{7} = 1\frac{3}{7}$. Ответ: $1\frac{3}{7}$.

10) Для вычитания смешанных чисел $5\frac{3}{8} - 3\frac{5}{6}$ приведем их дробные части к общему знаменателю. НОЗ(8, 6) = 24. $5\frac{3}{8} - 3\frac{5}{6} = 5\frac{3 \cdot 3}{8 \cdot 3} - 3\frac{5 \cdot 4}{6 \cdot 4} = 5\frac{9}{24} - 3\frac{20}{24}$. Так как дробная часть уменьшаемого ($\frac{9}{24}$) меньше дробной части вычитаемого ($\frac{20}{24}$), займем единицу у целой части 5: $5\frac{9}{24} = 4 + 1 + \frac{9}{24} = 4 + \frac{24}{24} + \frac{9}{24} = 4\frac{33}{24}$. Теперь выполним вычитание: $4\frac{33}{24} - 3\frac{20}{24} = (4-3) + (\frac{33-20}{24}) = 1 + \frac{13}{24} = 1\frac{13}{24}$. Ответ: $1\frac{13}{24}$.

11) Для умножения смешанных чисел $5\frac{3}{5}$ и $1\frac{4}{21}$ сначала представим их в виде неправильных дробей: $5\frac{3}{5} = \frac{5 \cdot 5 + 3}{5} = \frac{28}{5}$; $1\frac{4}{21} = \frac{1 \cdot 21 + 4}{21} = \frac{25}{21}$. Теперь перемножим полученные дроби: $\frac{28}{5} \cdot \frac{25}{21} = \frac{28 \cdot 25}{5 \cdot 21}$. Сократим: 28 и 21 на 7 (получим 4 и 3), 25 и 5 на 5 (получим 5 и 1). $\frac{4 \cdot 5}{1 \cdot 3} = \frac{20}{3}$. Выделим целую часть: $\frac{20}{3} = 6\frac{2}{3}$. Ответ: $6\frac{2}{3}$.

12) Чтобы разделить смешанные числа $1\frac{7}{9}$ на $2\frac{2}{9}$, преобразуем их в неправильные дроби: $1\frac{7}{9} = \frac{1 \cdot 9 + 7}{9} = \frac{16}{9}$; $2\frac{2}{9} = \frac{2 \cdot 9 + 2}{9} = \frac{20}{9}$. Теперь разделим дроби, умножив первую на обратную ко второй: $\frac{16}{9} : \frac{20}{9} = \frac{16}{9} \cdot \frac{9}{20} = \frac{16 \cdot 9}{9 \cdot 20}$. Сократим 9 в числителе и знаменателе: $\frac{16}{20}$. Сократим полученную дробь на 4: $\frac{16 : 4}{20 : 4} = \frac{4}{5}$. Ответ: $\frac{4}{5}$.

10. ычислите значение выражения:

1) $3,8 + (-2,5);$

2) $-4,8 + 4,8;$

3) $-1 + 0,39;$

4) $9,4 - (-7,8);$

5) $4,2 - 5,7;$

6) $0 - 7,8;$

7) $0 - (-2,4);$

8) $-4,5 - 2,5;$

9) $8 \cdot (-0,4);$

10) $-1,2 \cdot (-0,5);$

11) $-48 \cdot 0;$

12) $-3,3 : (-11);$

13) $3,2 : (-4);$

14) $(\frac{1}{2})^3;$

15) $(-1\frac{1}{3})^2.$

1) Сложение положительного числа с отрицательным эквивалентно вычитанию.
$3,8 + (-2,5) = 3,8 - 2,5 = 1,3$.
Ответ: 1,3

2) Сумма противоположных чисел всегда равна нулю.
$-4,8 + 4,8 = 0$.
Ответ: 0

3) Чтобы сложить числа с разными знаками, нужно из модуля большего числа вычесть модуль меньшего и перед результатом поставить знак числа с большим модулем.
$-1 + 0,39 = -(1 - 0,39) = -0,61$.
Ответ: -0,61

4) Вычитание отрицательного числа эквивалентно сложению с соответствующим положительным числом.
$9,4 - (-7,8) = 9,4 + 7,8 = 17,2$.
Ответ: 17,2

5) Вычитание большего числа из меньшего приводит к отрицательному результату.
$4,2 - 5,7 = -(5,7 - 4,2) = -1,5$.
Ответ: -1,5

6) Вычитание числа из нуля дает это число с противоположным знаком.
$0 - 7,8 = -7,8$.
Ответ: -7,8

7) Вычитание отрицательного числа из нуля эквивалентно сложению с положительным числом.
$0 - (-2,4) = 0 + 2,4 = 2,4$.
Ответ: 2,4

8) Вычитание положительного числа из отрицательного равносильно сложению двух отрицательных чисел.
$-4,5 - 2,5 = -(4,5 + 2,5) = -7$.
Ответ: -7

9) Произведение положительного числа на отрицательное есть число отрицательное.
$8 \cdot (-0,4) = -(8 \cdot 0,4) = -3,2$.
Ответ: -3,2

10) Произведение двух отрицательных чисел есть число положительное.
$-1,2 \cdot (-0,5) = 1,2 \cdot 0,5 = 0,6$.
Ответ: 0,6

11) Произведение любого числа на ноль равно нулю.
$-48 \cdot 0 = 0$.
Ответ: 0

12) Частное от деления двух отрицательных чисел есть число положительное.
$-3,3 : (-11) = 3,3 : 11 = 0,3$.
Ответ: 0,3

13) Частное от деления положительного числа на отрицательное есть число отрицательное.
$3,2 : (-4) = -(3,2 : 4) = -0,8$.
Ответ: -0,8

14) Чтобы возвести дробь в степень, нужно возвести в эту степень ее числитель и знаменатель.
$(\frac{1}{2})^3 = \frac{1^3}{2^3} = \frac{1}{8}$.
Ответ: $\frac{1}{8}$

15) Сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь. Затем возводим в квадрат. Квадрат любого отрицательного числа является положительным числом.
$(-1\frac{1}{3})^2 = (-\frac{1 \cdot 3 + 1}{3})^2 = (-\frac{4}{3})^2 = \frac{(-4)^2}{3^2} = \frac{16}{9} = 1\frac{7}{9}$.
Ответ: $1\frac{7}{9}$

11. Выполните действия:

1) $-2 + 1,6;$

2) $7,6 - (-2,5);$

3) $3 - 8,19;$

4) $-1,8 - 1,12;$

5) $6 \cdot (-0,9);$

6) $-1,4 \cdot (-0,3);$

7) $-5,7 : (-0,19);$

8) $-0,48 : 1,6;$

9) $(2\frac{1}{4})^2$

1) При сложении чисел с разными знаками, из модуля большего числа вычитается модуль меньшего, и перед результатом ставится знак числа с большим модулем. В данном случае, модуль числа $-2$ (равен $2$) больше модуля числа $1,6$. Следовательно, результат будет отрицательным.
$-2 + 1,6 = -(2 - 1,6) = -0,4$
Ответ: $-0,4$.

2) Вычитание отрицательного числа эквивалентно сложению с противоположным ему положительным числом.
$7,6 - (-2,5) = 7,6 + 2,5 = 10,1$
Ответ: $10,1$.

3) Чтобы из меньшего числа вычесть большее, нужно из большего числа вычесть меньшее и перед полученной разностью поставить знак минус.
$3 - 8,19 = -(8,19 - 3) = -5,19$
Ответ: $-5,19$.

4) Вычитание положительного числа из отрицательного равносильно сложению двух отрицательных чисел.
$-1,8 - 1,12 = -(1,8 + 1,12) = -2,92$
Ответ: $-2,92$.

5) При умножении числа с положительным знаком на число с отрицательным знаком, результат будет отрицательным.
$6 \cdot (-0,9) = -(6 \cdot 0,9) = -5,4$
Ответ: $-5,4$.

6) Произведение двух отрицательных чисел является положительным числом.
$-1,4 \cdot (-0,3) = 1,4 \cdot 0,3 = 0,42$
Ответ: $0,42$.

7) Частное от деления двух отрицательных чисел является положительным числом. Для удобства вычисления избавимся от десятичной дроби в делителе, умножив делимое и делитель на 100.
$-5,7 : (-0,19) = 5,7 : 0,19 = (5,7 \cdot 100) : (0,19 \cdot 100) = 570 : 19 = 30$
Ответ: $30$.

8) При делении отрицательного числа на положительное, результат будет отрицательным. Для удобства вычисления избавимся от десятичной дроби в делителе, умножив делимое и делитель на 10.
$-0,48 : 1,6 = -(0,48 : 1,6) = -((0,48 \cdot 10) : (1,6 \cdot 10)) = -(4,8 : 16) = -0,3$
Ответ: $-0,3$.

9) Для возведения в степень смешанной дроби, её необходимо сначала представить в виде неправильной дроби.
$2\frac{1}{4} = \frac{2 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{9}{4}$
Затем возводим полученную неправильную дробь в квадрат, возводя в квадрат числитель и знаменатель по отдельности.
$( \frac{9}{4} )^2 = \frac{9^2}{4^2} = \frac{81}{16}$
Наконец, преобразуем неправильную дробь обратно в смешанное число, разделив числитель на знаменатель с остатком.
$81 \div 16 = 5$ (остаток $1$). Таким образом, $\frac{81}{16} = 5\frac{1}{16}$.
Ответ: $5\frac{1}{16}$.

12. Чему равно значение выражения:

1) $18\frac{5}{12} - \frac{7}{12} \cdot 1\frac{19}{21} - \frac{17}{72} \cdot \frac{2}{3}$

2) $(6\frac{3}{4} - 5\frac{1}{8}) : 1\frac{9}{32} \cdot \frac{5}{11}$

3) $(-1,42 - (-3,22)) : (-0,4) + (-6) \cdot (-0,7)$

4) $(-\frac{7}{18} + \frac{11}{12}) : (-\frac{19}{48})$

5) $(-3\frac{1}{12} - 2\frac{1}{15}) : (-5\frac{3}{20})?$

1) Решим выражение $18\frac{5}{12} - \frac{7}{12} \cdot 1\frac{19}{21} - \frac{17}{72} \cdot \frac{2}{3}$ по действиям, соблюдая порядок операций (сначала умножение, затем вычитание).
Первое действие (умножение):
$ \frac{7}{12} \cdot 1\frac{19}{21} = \frac{7}{12} \cdot \frac{1 \cdot 21 + 19}{21} = \frac{7}{12} \cdot \frac{40}{21} = \frac{7 \cdot 40}{12 \cdot 21} = \frac{1 \cdot 10}{3 \cdot 3} = \frac{10}{9} $.
Второе действие (умножение):
$ \frac{17}{72} \cdot \frac{2}{3} = \frac{17 \cdot 2}{72 \cdot 3} = \frac{17}{36 \cdot 3} = \frac{17}{108} $.
Теперь выполним вычитание:
$ 18\frac{5}{12} - \frac{10}{9} - \frac{17}{108} $.
Преобразуем $ \frac{10}{9} $ в смешанную дробь: $ \frac{10}{9} = 1\frac{1}{9} $.
$ 18\frac{5}{12} - 1\frac{1}{9} = (18-1) + (\frac{5}{12} - \frac{1}{9}) $. Найдем общий знаменатель для 12 и 9, это 36.
$ 17 + (\frac{5 \cdot 3}{36} - \frac{1 \cdot 4}{36}) = 17 + (\frac{15-4}{36}) = 17\frac{11}{36} $.
Осталось последнее действие:
$ 17\frac{11}{36} - \frac{17}{108} $. Общий знаменатель для 36 и 108 это 108.
$ 17\frac{11 \cdot 3}{36 \cdot 3} - \frac{17}{108} = 17\frac{33}{108} - \frac{17}{108} = 17\frac{33-17}{108} = 17\frac{16}{108} $.
Сократим дробную часть: $ \frac{16}{108} = \frac{4}{27} $ (разделив на 4).
Итоговый результат: $17\frac{4}{27}$.
Ответ: $17\frac{4}{27}$.

2) Решим выражение $(6\frac{3}{4} - 5\frac{1}{8} : 1\frac{9}{32}) \cdot \frac{5}{11}$. Сначала выполняем действия в скобках (сначала деление, потом вычитание), затем умножение.
Первое действие (деление в скобках):
$ 5\frac{1}{8} : 1\frac{9}{32} $. Переведем смешанные числа в неправильные дроби.
$ 5\frac{1}{8} = \frac{5 \cdot 8 + 1}{8} = \frac{41}{8} $.
$ 1\frac{9}{32} = \frac{1 \cdot 32 + 9}{32} = \frac{41}{32} $.
$ \frac{41}{8} : \frac{41}{32} = \frac{41}{8} \cdot \frac{32}{41} = \frac{32}{8} = 4 $.
Второе действие (вычитание в скобках):
$ 6\frac{3}{4} - 4 = 2\frac{3}{4} $.
Третье действие (умножение):
$ 2\frac{3}{4} \cdot \frac{5}{11} $. Переведем смешанное число в неправильную дробь.
$ 2\frac{3}{4} = \frac{2 \cdot 4 + 3}{4} = \frac{11}{4} $.
$ \frac{11}{4} \cdot \frac{5}{11} = \frac{5}{4} $.
Переведем в смешанную дробь: $ \frac{5}{4} = 1\frac{1}{4} $.
Ответ: $1\frac{1}{4}$.

3) Решим выражение $(-1,42 - (-3,22)) : (-0,4) + (-6) \cdot (-0,7)$ по действиям.
Первое действие (в скобках):
$ -1,42 - (-3,22) = -1,42 + 3,22 = 1,8 $.
Второе действие (умножение):
$ (-6) \cdot (-0,7) = 4,2 $.
Третье действие (деление):
$ 1,8 : (-0,4) = - (18 : 4) = -4,5 $.
Четвертое действие (сложение):
$ -4,5 + 4,2 = -0,3 $.
Ответ: $-0,3$.

4) Решим выражение $(-\frac{7}{18} + \frac{11}{12}) : (-\frac{19}{48})$. Сначала выполним сложение в скобках.
Первое действие (сложение в скобках):
$ -\frac{7}{18} + \frac{11}{12} $. Найдем общий знаменатель для 18 и 12, это 36.
$ -\frac{7 \cdot 2}{18 \cdot 2} + \frac{11 \cdot 3}{12 \cdot 3} = -\frac{14}{36} + \frac{33}{36} = \frac{33-14}{36} = \frac{19}{36} $.
Второе действие (деление):
$ \frac{19}{36} : (-\frac{19}{48}) = -(\frac{19}{36} \cdot \frac{48}{19}) = -\frac{48}{36} $.
Сократим дробь на 12: $ -\frac{48:12}{36:12} = -\frac{4}{3} $.
Переведем в смешанную дробь: $ -\frac{4}{3} = -1\frac{1}{3} $.
Ответ: $-1\frac{1}{3}$.

5) Решим выражение $(-3\frac{1}{12} - 2\frac{1}{15}) : (-5\frac{3}{20})$. Сначала выполним вычитание в скобках.
Первое действие (вычитание в скобках):
$ -3\frac{1}{12} - 2\frac{1}{15} $. Так как оба числа отрицательные, мы складываем их модули и ставим знак минус.
$ 3\frac{1}{12} + 2\frac{1}{15} = (3+2) + (\frac{1}{12} + \frac{1}{15}) $.
Найдем общий знаменатель для 12 и 15, это 60.
$ \frac{1}{12} + \frac{1}{15} = \frac{1 \cdot 5}{12 \cdot 5} + \frac{1 \cdot 4}{15 \cdot 4} = \frac{5}{60} + \frac{4}{60} = \frac{9}{60} $.
Сократим дробь: $ \frac{9}{60} = \frac{3}{20} $.
Результат сложения: $ 5 + \frac{3}{20} = 5\frac{3}{20} $.
Таким образом, значение выражения в скобках равно $ -5\frac{3}{20} $.
Второе действие (деление):
$ (-5\frac{3}{20}) : (-5\frac{3}{20}) $.
Любое ненулевое число, разделенное на само себя, равно 1.
Ответ: $1$.