Страница 7 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

13. Вычислите значение числового выражения:

1) $14 \frac{7}{15} - 3 \frac{3}{23} \cdot \frac{23}{27} - 1 \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{6}$

2) $(5 \frac{8}{9} : 1 \frac{17}{36} + 1 \frac{1}{4}) \cdot \frac{5}{21}$

3) $(-3,25 - 2,75) : (-0,6) + 0,8 \cdot (-7)$

4) $(-1 \frac{3}{8} - 2 \frac{5}{12}) : 5 \frac{5}{12}$

1) $14\frac{7}{15} - 3\frac{3}{23} \cdot \frac{23}{27} - 1\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{6}$

Решим по действиям. Согласно порядку выполнения арифметических операций, сначала выполняются умножение и деление, а затем сложение и вычитание слева направо.

1. Выполним первое умножение. Для этого представим смешанное число в виде неправильной дроби:

$3\frac{3}{23} = \frac{3 \cdot 23 + 3}{23} = \frac{69 + 3}{23} = \frac{72}{23}$

Теперь умножим:

$3\frac{3}{23} \cdot \frac{23}{27} = \frac{72}{23} \cdot \frac{23}{27} = \frac{72 \cdot 23}{23 \cdot 27} = \frac{72}{27}$

Сократим дробь $\frac{72}{27}$, разделив числитель и знаменатель на 9:

$\frac{72}{27} = \frac{8 \cdot 9}{3 \cdot 9} = \frac{8}{3}$

2. Выполним второе умножение:

$1\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1 \cdot 5 + 1}{5} \cdot \frac{1}{6} = \frac{6}{5} \cdot \frac{1}{6} = \frac{6 \cdot 1}{5 \cdot 6} = \frac{1}{5}$

3. Подставим полученные значения в исходное выражение:

$14\frac{7}{15} - \frac{8}{3} - \frac{1}{5}$

Для выполнения вычитания приведем все дроби к общему знаменателю 15. Также представим смешанное число в виде неправильной дроби:

$14\frac{7}{15} = \frac{14 \cdot 15 + 7}{15} = \frac{210 + 7}{15} = \frac{217}{15}$

$\frac{8}{3} = \frac{8 \cdot 5}{3 \cdot 5} = \frac{40}{15}$

$\frac{1}{5} = \frac{1 \cdot 3}{5 \cdot 3} = \frac{3}{15}$

4. Выполним вычитание:

$\frac{217}{15} - \frac{40}{15} - \frac{3}{15} = \frac{217 - 40 - 3}{15} = \frac{177 - 3}{15} = \frac{174}{15}$

Сократим полученную дробь на 3:

$\frac{174 : 3}{15 : 3} = \frac{58}{5}$

Выделим целую часть:

$\frac{58}{5} = 11\frac{3}{5}$

Ответ: $11\frac{3}{5}$

2) $(\left(5\frac{8}{9} : 1\frac{17}{36} + 1\frac{1}{4}\right) \cdot \frac{5}{21}$

Решим по действиям. Сначала выполняются действия в скобках (сначала деление, потом сложение), затем умножение.

1. Выполним деление в скобках. Представим смешанные числа в виде неправильных дробей:

$5\frac{8}{9} = \frac{5 \cdot 9 + 8}{9} = \frac{53}{9}$

$1\frac{17}{36} = \frac{1 \cdot 36 + 17}{36} = \frac{53}{36}$

Теперь разделим (умножим на обратную дробь):

$\frac{53}{9} : \frac{53}{36} = \frac{53}{9} \cdot \frac{36}{53} = \frac{53 \cdot 36}{9 \cdot 53} = \frac{36}{9} = 4$

2. Выполним сложение в скобках. Представим смешанное число в виде неправильной дроби:

$1\frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{5}{4}$

$4 + 1\frac{1}{4} = 4 + \frac{5}{4} = \frac{16}{4} + \frac{5}{4} = \frac{21}{4}$

3. Выполним умножение:

$\frac{21}{4} \cdot \frac{5}{21} = \frac{21 \cdot 5}{4 \cdot 21} = \frac{5}{4}$

Выделим целую часть:

$\frac{5}{4} = 1\frac{1}{4}$

Ответ: $1\frac{1}{4}$

3) $(-3,25 - 2,75) : (-0,6) + 0,8 \cdot (-7)$

Решим по действиям: сначала действие в скобках, затем деление и умножение, в конце сложение.

1. Выполним вычитание в скобках:

$-3,25 - 2,75 = -(3,25 + 2,75) = -6$

2. Выполним деление:

$-6 : (-0,6)$. Деление отрицательного числа на отрицательное дает положительное.

$6 : 0,6 = 6 : \frac{6}{10} = 6 \cdot \frac{10}{6} = 10$

3. Выполним умножение:

$0,8 \cdot (-7) = -5,6$

4. Выполним сложение:

$10 + (-5,6) = 10 - 5,6 = 4,4$

Ответ: $4,4$

4) $(-1\frac{3}{8} - 2\frac{5}{12}) : 5\frac{5}{12}$

Решим по действиям: сначала действие в скобках, затем деление.

1. Выполним вычитание в скобках:

$-1\frac{3}{8} - 2\frac{5}{12} = -(1\frac{3}{8} + 2\frac{5}{12})$

Приведем дробные части к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 8 и 12 это 24.

$\frac{3}{8} = \frac{3 \cdot 3}{8 \cdot 3} = \frac{9}{24}$

$\frac{5}{12} = \frac{5 \cdot 2}{12 \cdot 2} = \frac{10}{24}$

Теперь сложим смешанные числа:

$1\frac{9}{24} + 2\frac{10}{24} = (1+2) + (\frac{9}{24} + \frac{10}{24}) = 3\frac{19}{24}$

Таким образом, результат в скобках равен $-3\frac{19}{24}$.

2. Выполним деление. Для этого представим оба смешанных числа в виде неправильных дробей.

$-3\frac{19}{24} = -(\frac{3 \cdot 24 + 19}{24}) = -(\frac{72+19}{24}) = -\frac{91}{24}$

$5\frac{5}{12} = \frac{5 \cdot 12 + 5}{12} = \frac{60+5}{12} = \frac{65}{12}$

Теперь разделим:

$-\frac{91}{24} : \frac{65}{12} = -\frac{91}{24} \cdot \frac{12}{65}$

Сократим дробь перед умножением:

$-\frac{91 \cdot 12}{24 \cdot 65} = -\frac{91 \cdot 1}{2 \cdot 65}$ (сократили 12 и 24 на 12)

Числа 91 и 65 делятся на 13: $91 = 7 \cdot 13$ и $65 = 5 \cdot 13$.

$-\frac{7 \cdot 13}{2 \cdot 5 \cdot 13} = -\frac{7}{2 \cdot 5} = -\frac{7}{10}$

Результат можно записать в виде десятичной дроби: $-0,7$.

Ответ: $-\frac{7}{10}$

14. Найдите $\frac{2}{3}$ числа:

1) 21;

2) 35;

3) $\frac{56}{93}$.

Чтобы найти дробь от числа, необходимо умножить это число на данную дробь.

1) Найдём $\frac{2}{3}$ от числа 21.

Для этого умножим число 21 на дробь $\frac{2}{3}$.

$21 \cdot \frac{2}{3} = \frac{21 \cdot 2}{3}$

Можно сократить 21 и 3 на 3:

$\frac{^{7}\cancel{21} \cdot 2}{_1\cancel{3}} = 7 \cdot 2 = 14$

Или можно сначала выполнить умножение в числителе, а затем деление:

$\frac{42}{3} = 14$

Ответ: 14.

2) Найдём $\frac{2}{3}$ от числа 35.

Умножим число 35 на дробь $\frac{2}{3}$:

$35 \cdot \frac{2}{3} = \frac{35 \cdot 2}{3} = \frac{70}{3}$

Число 35 не делится на 3, поэтому мы получили неправильную дробь. Выделим из неё целую часть:

$70 : 3 = 23$ (остаток 1).

Следовательно, $\frac{70}{3} = 23\frac{1}{3}$.

Ответ: $\frac{70}{3}$ или $23\frac{1}{3}$.

3) Найдём $\frac{2}{3}$ от числа $\frac{56}{93}$.

Для этого умножим дробь $\frac{56}{93}$ на дробь $\frac{2}{3}$. Чтобы умножить дробь на дробь, нужно перемножить их числители и их знаменатели:

$\frac{56}{93} \cdot \frac{2}{3} = \frac{56 \cdot 2}{93 \cdot 3} = \frac{112}{279}$

Проверим, можно ли сократить полученную дробь. Для этого разложим числитель и знаменатель на простые множители:
$112 = 2^4 \cdot 7$
$279 = 3^2 \cdot 31$
Общих множителей у числителя и знаменателя нет, следовательно, дробь $\frac{112}{279}$ является несократимой.

Ответ: $\frac{112}{279}$.

15. В автопарке имеется 144 автомобиля, из них $\frac{5}{9}$ составляют грузовые автомобили, а остальные – легковые. Сколько в автопарке легковых автомобилей?

Для решения этой задачи можно использовать два способа.

Способ 1. Поэтапное вычисление

1. Сначала найдем количество грузовых автомобилей в автопарке. Для этого общее количество автомобилей умножим на долю, которую составляют грузовые автомобили:

$144 \cdot \frac{5}{9} = \frac{144 \cdot 5}{9}$

Сократим 144 и 9 (так как $144 = 16 \cdot 9$):

$16 \cdot 5 = 80$ (грузовых автомобилей).

2. Теперь, зная общее количество автомобилей и количество грузовых, можно найти количество легковых автомобилей. Для этого из общего числа вычтем количество грузовых:

$144 - 80 = 64$ (легковых автомобиля).

Ответ: в автопарке 64 легковых автомобиля.

Способ 2. Вычисление через долю легковых автомобилей

1. Сначала найдем, какую долю от общего числа составляют легковые автомобили. Все автомобили в автопарке представляют собой единицу (1 или $\frac{9}{9}$). Доля грузовых составляет $\frac{5}{9}$. Следовательно, доля легковых автомобилей равна:

$1 - \frac{5}{9} = \frac{9}{9} - \frac{5}{9} = \frac{4}{9}$

2. Теперь, зная, что легковые автомобили составляют $\frac{4}{9}$ от общего числа, найдем их количество. Для этого общее количество автомобилей умножим на эту долю:

$144 \cdot \frac{4}{9} = \frac{144 \cdot 4}{9}$

Сократим 144 и 9:

$16 \cdot 4 = 64$ (легковых автомобиля).

Ответ: в автопарке 64 легковых автомобиля.

16. Из 280 000 жителей города $\frac{1}{4}$ не интересуется футболом и никогда не смотрит его трансляции по телевидению. Среди любителей футбола $\frac{6}{7}$ остальных жителей смотрели по телевизору финальную игру Кубка России. Сколько жителей этого города не посмотрели матч?

Для решения задачи необходимо найти общее количество жителей, которые не посмотрели матч. Это число складывается из двух групп: тех, кто вообще не интересуется футболом, и тех, кто интересуется, но по какой-то причине не смотрел финальную игру.

1. Найдем количество жителей, которые не интересуются футболом.
В городе 280 000 жителей. Из них $\frac{1}{4}$ не интересуется футболом. Чтобы найти это количество, нужно общее число жителей умножить на долю:
$280 \ 000 \times \frac{1}{4} = 70 \ 000$ жителей.
Эти 70 000 человек являются первой частью жителей, не смотревших матч.

2. Найдем количество жителей, которые интересуются футболом (любители футбола).
Для этого вычтем из общего числа жителей тех, кто не интересуется футболом:
$280 \ 000 - 70 \ 000 = 210 \ 000$ жителей.

3. Найдем количество любителей футбола, которые не смотрели матч.
По условию, $\frac{6}{7}$ от числа любителей футбола смотрели матч. Значит, часть любителей, которая не смотрела игру, составляет:
$1 - \frac{6}{7} = \frac{1}{7}$
Теперь вычислим, сколько это человек от общего числа любителей футбола:
$210 \ 000 \times \frac{1}{7} = 30 \ 000$ жителей.
Эти 30 000 человек — вторая часть жителей, не смотревших матч.

4. Найдем общее количество жителей, которые не посмотрели матч.
Сложим количество жителей из первой и второй групп:
$70 \ 000 \text{ (не интересуются футболом)} + 30 \ 000 \text{ (любители, которые не смотрели)} = 100 \ 000$ жителей.

Ответ: 100 000.

17. Найдите число, $\frac{4}{11}$ которого равны: 1) 44; 2) 36; 3) $\frac{16}{55}$.

Чтобы найти число по его дроби, нужно значение этой дроби разделить на саму дробь. В данном случае, чтобы найти искомое число, мы должны данное нам значение разделить на $\frac{4}{11}$. Деление на дробь эквивалентно умножению на обратную ей дробь, то есть на $\frac{11}{4}$.

1) Нам дано, что $\frac{4}{11}$ искомого числа равны 44. Найдем это число:
$44 \div \frac{4}{11} = 44 \cdot \frac{11}{4}$
Сократим 44 и 4 на 4:
$\frac{44 \cdot 11}{4} = 11 \cdot 11 = 121$
Ответ: 121

2) Нам дано, что $\frac{4}{11}$ искомого числа равны 36. Найдем это число:
$36 \div \frac{4}{11} = 36 \cdot \frac{11}{4}$
Сократим 36 и 4 на 4:
$\frac{36 \cdot 11}{4} = 9 \cdot 11 = 99$
Ответ: 99

3) Нам дано, что $\frac{4}{11}$ искомого числа равны $\frac{16}{55}$. Найдем это число:
$\frac{16}{55} \div \frac{4}{11} = \frac{16}{55} \cdot \frac{11}{4}$
Выполним умножение дробей и сократим:
$\frac{16 \cdot 11}{55 \cdot 4} = \frac{4 \cdot 1}{5 \cdot 1} = \frac{4}{5}$
Ответ: $\frac{4}{5}$

18. В Нижнем Новгороде имеется 15 станций метрополитена, что составляет $\frac{5}{24}$ количества станций в Санкт-Петербурге. Сколько в Санкт-Петербурге станций метрополитена?

Для решения этой задачи необходимо найти целое число, зная его часть.

Пусть $x$ — искомое количество станций метрополитена в Санкт-Петербурге.

Из условия задачи мы знаем, что 15 станций в Нижнем Новгороде составляют $\frac{5}{24}$ от общего числа станций в Санкт-Петербурге ($x$). Это можно выразить уравнением:

$\frac{5}{24} \cdot x = 15$

Чтобы найти $x$, нужно разделить известное число (15) на дробь, которую оно составляет ($\frac{5}{24}$). Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь:

$x = 15 \div \frac{5}{24} = 15 \cdot \frac{24}{5}$

Сократим 15 и 5:

$x = \frac{15 \cdot 24}{5} = 3 \cdot 24$

Вычислим произведение:

$x = 72$

Следовательно, в Санкт-Петербурге 72 станции метрополитена.

Ответ: 72 станции.

19. Средняя глубина Ладожского озера 51 м, что составляет $\frac{17}{248}$ средней глубины озера Байкал. Какова средняя глубина озера Байкал?

Для решения задачи нам нужно найти число по его части. Известно, что 51 м — это $\frac{17}{248}$ от искомой величины (средней глубины озера Байкал).

Пусть $x$ — средняя глубина озера Байкал в метрах. Тогда мы можем составить следующее уравнение на основе данных из условия:

$\frac{17}{248} \cdot x = 51$

Чтобы найти $x$, нам необходимо разделить известную часть (51 м) на дробь, которую эта часть составляет ($\frac{17}{248}$). Деление на дробь эквивалентно умножению на обратную ей дробь:

$x = 51 \div \frac{17}{248} = 51 \cdot \frac{248}{17}$

Прежде чем умножать, можно упростить выражение, заметив, что 51 делится на 17 без остатка:

$51 \div 17 = 3$

Теперь подставим результат в наше выражение для $x$:

$x = 3 \cdot 248$

Выполним умножение:

$3 \cdot 248 = 744$

Таким образом, средняя глубина озера Байкал составляет 744 метра.

Ответ: 744 м.

20. Строительная компания закупила для нового дома металлопластиковые окна и двери в отношении $4 : 1$. Каким из данных чисел может выражаться общее количество окон и дверей в этом доме?

1) 42;

2) 54;

3) 55;

4) 57.

По условию задачи, количество закупленных окон и дверей находится в отношении 4:1. Это означает, что на каждые 4 окна приходится 1 дверь.

Давайте введем коэффициент пропорциональности $x$. Тогда количество окон можно обозначить как $4x$, а количество дверей — как $1x$ (или просто $x$). Поскольку количество окон и дверей — это целые числа, то $x$ также должно быть целым положительным числом.

Общее количество закупленных изделий (окон и дверей) будет равно сумме их количеств:

Общее количество = $4x + 1x = 5x$

Из полученной формулы следует, что общее количество окон и дверей должно быть числом, которое делится на 5 без остатка, то есть является кратным пяти.

Теперь необходимо проверить, какое из предложенных в вариантах ответов число удовлетворяет этому условию. Признак делимости на 5: число должно оканчиваться на 0 или 5.

1) 42: Число 42 оканчивается на 2, следовательно, оно не делится на 5 нацело.

2) 54: Число 54 оканчивается на 4, следовательно, оно не делится на 5 нацело.

3) 55: Число 55 оканчивается на 5, следовательно, оно делится на 5 нацело. $55 \div 5 = 11$. Этот вариант подходит. В этом случае $x=11$, то есть было закуплено $4 \times 11 = 44$ окна и $1 \times 11 = 11$ дверей.

4) 57: Число 57 оканчивается на 7, следовательно, оно не делится на 5 нацело.

Таким образом, единственное число из предложенных, которое может выражать общее количество окон и дверей, — это 55.

Ответ: 55.

21. В течение недели два курьера доставили всего 240 пакетов. Количество пакетов, доставленных первым курьером, относится к количеству пакетов, доставленных вторым, как $5:7$. Сколько пакетов доставил второй курьер?

Данная задача решается с помощью пропорции. Обозначим количество пакетов, доставленных первым курьером, как $P_1$, а вторым — как $P_2$.

По условию, общее количество пакетов равно 240:

$P_1 + P_2 = 240$

Также известно, что количество пакетов, доставленных первым курьером, относится к количеству пакетов, доставленных вторым, как $5:7$. Это можно записать в виде пропорции:

$\frac{P_1}{P_2} = \frac{5}{7}$

Для решения введем коэффициент пропорциональности $x$. Тогда количество пакетов, доставленных первым курьером, можно представить как $P_1 = 5x$, а вторым — как $P_2 = 7x$.

Подставим эти выражения в первое уравнение:

$5x + 7x = 240$

Теперь решим полученное уравнение относительно $x$. Сложим части, содержащие $x$:

$12x = 240$

Найдем значение $x$, разделив обе части уравнения на 12:

$x = \frac{240}{12}$

$x = 20$

Мы нашли значение одной "части" в соотношении. Теперь, чтобы найти количество пакетов, доставленных вторым курьером ($P_2$), умножим соответствующую ему часть пропорции (7) на найденный коэффициент $x$:

$P_2 = 7x = 7 \times 20 = 140$

Таким образом, второй курьер доставил 140 пакетов.

Ответ: 140.