Страница 12 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

65. Заполните таблицу, если величина $y$ прямо пропорциональна величине $x$.

$x$: 0,4; 0,6; ; 1,7

$y$: ; 2,4; 16,8;

Задайте формулой зависимость $y$ от $x$.

Заполните таблицу, если величина y прямо пропорциональна величине x.

По условию, величина y прямо пропорциональна величине x. Это означает, что их взаимосвязь можно описать формулой $y = kx$, где k — это постоянный коэффициент пропорциональности.

Чтобы найти коэффициент k, воспользуемся известными значениями из таблицы: при $x = 0,6$ значение $y = 2,4$.

Подставим эти значения в формулу $k = \frac{y}{x}$:
$k = \frac{2,4}{0,6} = 4$.

Теперь, зная коэффициент $k=4$, мы можем найти недостающие значения в таблице, используя формулу $y = 4x$.

1. Для первого столбца, где $x = 0,4$, находим y:
$y = 4 \cdot 0,4 = 1,6$.

2. Для третьего столбца, где $y = 16,8$, находим x из формулы $x = \frac{y}{k}$:
$x = \frac{16,8}{4} = 4,2$.

3. Для четвертого столбца, где $x = 1,7$, находим y:
$y = 4 \cdot 1,7 = 6,8$.

Ответ: Заполненная таблица выглядит так:

Задайте формулой зависимость y от x.

Как было найдено при решении первой части задачи, коэффициент пропорциональности $k$ равен 4.

Формула прямой пропорциональности имеет вид $y = kx$. Подставляя найденное значение k, мы получаем искомую формулу зависимости.

Ответ: $y = 4x$.

66. Пропорциональны ли объём изделия из бетона и его масса? В случае утвердительного ответа укажите, каким видом пропорциональности является эта зависимость. Задайте формулой зависимость массы $m$ изделия из бетона от его объёма $V$, если масса $1 \text{ м}^3$ бетона равна $2,1 \text{ т}$: $m = 2,1V$. Пользуясь составленной формулой, найдите значение величины $m$, если:

1) $V = 3 \text{ м}^3$;

2) $V = 5,2 \text{ м}^3$.

Да, объём изделия из бетона и его масса являются пропорциональными величинами. Это следует из физической формулы, связывающей массу $m$, объём $V$ и плотность вещества $\rho$: $m = \rho \cdot V$. Для одного и того же вещества (в данном случае, бетона) плотность $\rho$ является постоянной величиной. Следовательно, масса прямо пропорциональна объёму. Это означает, что при увеличении (или уменьшении) объёма в несколько раз, масса увеличится (или уменьшится) во столько же раз.

Данная зависимость является прямой пропорциональностью.

Чтобы задать формулу зависимости массы $m$ (в тоннах) от его объёма $V$ (в кубических метрах), мы используем данное из условия соотношение: масса 1 м³ бетона равна 2,1 т. Это значение является коэффициентом пропорциональности $k$.

Таким образом, формула зависимости имеет вид:

$m = 2,1 \cdot V$

Воспользуемся этой формулой для нахождения массы $m$ при заданных значениях объёма $V$.

1) Найдём массу $m$, если $V = 3 \text{ м}^3$.

Подставим значение объёма в формулу:

$m = 2,1 \cdot 3 = 6,3$ (т)

Ответ: 6,3 т.

2) Найдём массу $m$, если $V = 5,2 \text{ м}^3$.

Подставим значение объёма в формулу:

$m = 2,1 \cdot 5,2 = 10,92$ (т)

Ответ: 10,92 т.

67. Какой зависимостью, прямой или обратной пропорциональностью, связаны объём краски и площадь поверхности, которую надо покрасить? Задайте формулой зависимость объёма краски $V$ от площади поверхности $S$, которую надо покрасить, если на $1 \text{ м}^2$ поверхности расходуется $0,3 \text{ кг}$ краски. Пользуясь составленной формулой, найдите значение величины $V$, если:

1) $S = 4 \text{ м}^2$;

2) $S = 0,6 \text{ м}^2$.

Зависимость между объёмом краски (V) и площадью поверхности (S), которую надо покрасить, является прямой пропорциональностью. Это означает, что при увеличении площади поверхности в несколько раз, требуется во столько же раз больше краски. Аналогично, при уменьшении площади, количество необходимой краски уменьшается пропорционально.

Зададим формулу зависимости объёма краски V (в кг) от площади поверхности S (в м²). По условию, на 1 м² поверхности расходуется 0,3 кг краски. Следовательно, чтобы найти общее количество краски V, нужно умножить расход краски на единицу площади на общую площадь S.

Формула зависимости: $V = 0,3 \cdot S$

Теперь, пользуясь составленной формулой, найдём значение величины V для заданных значений S.

1) Если $S = 4 \text{ м}^2$, то объём краски V будет равен:
$V = 0,3 \cdot 4 = 1,2 \text{ (кг)}$
Ответ: 1,2 кг.

2) Если $S = 0,6 \text{ м}^2$, то объём краски V будет равен:
$V = 0,3 \cdot 0,6 = 0,18 \text{ (кг)}$
Ответ: 0,18 кг.

68. Пётр, Василий и Фёдор пропололи огород. Пётр прополол $\frac{5}{18}$ всего огорода, Василий — $\frac{6}{13}$ оставшейся части огорода, а Фёдор — остальное. Кто из них прополол наибольшую часть огорода?

Чтобы определить, кто прополол наибольшую часть огорода, необходимо последовательно вычислить долю каждого работника от всего огорода и затем сравнить полученные значения.

1. Вычисление доли Петра
Согласно условию, Пётр прополол $ \frac{5}{18} $ всего огорода.

2. Вычисление доли Василия
Сперва найдём часть огорода, которая осталась после работы Петра. Если весь огород принять за 1, то оставшаяся часть равна:
$ 1 - \frac{5}{18} = \frac{18}{18} - \frac{5}{18} = \frac{13}{18} $
Василий прополол $ \frac{6}{13} $ от этой оставшейся части. Чтобы найти его долю от всего огорода, нужно умножить одну дробь на другую:
$ \frac{13}{18} \times \frac{6}{13} = \frac{13 \times 6}{18 \times 13} = \frac{6}{18} $
Таким образом, Василий прополол $ \frac{6}{18} $ всего огорода.

3. Вычисление доли Фёдора
Фёдор прополол всё, что осталось после Петра и Василия. Найдём их общую долю:
$ \frac{5}{18} + \frac{6}{18} = \frac{11}{18} $
Теперь вычтем эту сумму из целого (1), чтобы найти долю Фёдора:
$ 1 - \frac{11}{18} = \frac{18}{18} - \frac{11}{18} = \frac{7}{18} $
Следовательно, Фёдор прополол $ \frac{7}{18} $ всего огорода.

4. Сравнение результатов
Теперь мы можем сравнить доли, которые прополол каждый:
Пётр: $ \frac{5}{18} $
Василий: $ \frac{6}{18} $
Фёдор: $ \frac{7}{18} $
Так как знаменатели дробей одинаковы, для сравнения достаточно посмотреть на их числители: $ 5 < 6 < 7 $.
Таким образом, $ \frac{5}{18} < \frac{6}{18} < \frac{7}{18} $. Наибольшая доля принадлежит Фёдору.
Ответ: Наибольшую часть огорода прополол Фёдор.

69. Яблони составляют $ \frac{7}{24} $ деревьев, растущих в саду, вишни – $ \frac{9}{17} $ остав-шихся деревьев, а остальные деревья – груши. Каких деревьев в саду растёт больше всего?

Для решения этой задачи нам нужно найти, какую долю от общего числа деревьев составляет каждый вид (яблони, вишни, груши), а затем сравнить эти доли.

1. Доля яблонь.
По условию, яблони составляют $\frac{7}{24}$ от всех деревьев в саду.

2. Доля вишен.
Сначала найдем, какая часть деревьев осталась после яблонь. Для этого из единицы (которая представляет все деревья) вычтем долю яблонь:
$1 - \frac{7}{24} = \frac{24}{24} - \frac{7}{24} = \frac{17}{24}$
Осталось $\frac{17}{24}$ всех деревьев.
Вишни составляют $\frac{9}{17}$ от этого остатка. Чтобы найти долю вишен от общего числа деревьев, умножим долю оставшихся деревьев на долю вишен среди них:
$\frac{17}{24} \times \frac{9}{17} = \frac{9}{24}$
Таким образом, вишни составляют $\frac{9}{24}$ от всех деревьев в саду.

3. Доля груш.
Груши — это все остальные деревья. Чтобы найти их долю, нужно сложить доли яблонь и вишен и вычесть полученную сумму из единицы:
Доля яблонь и вишен вместе: $\frac{7}{24} + \frac{9}{24} = \frac{16}{24}$
Доля груш: $1 - \frac{16}{24} = \frac{24}{24} - \frac{16}{24} = \frac{8}{24}$
Итак, груши составляют $\frac{8}{24}$ от всех деревьев в саду.

4. Сравнение долей.
Теперь сравним доли каждого вида деревьев:
Яблони: $\frac{7}{24}$
Вишни: $\frac{9}{24}$
Груши: $\frac{8}{24}$
Так как знаменатели у всех дробей одинаковы, для сравнения достаточно сравнить их числители: $9 > 8 > 7$.
Следовательно, $\frac{9}{24} > \frac{8}{24} > \frac{7}{24}$.
Наибольшую долю составляют вишни.

Ответ: больше всего в саду растёт вишен.

70. Некоторый товар вначале подешевел на $30\%$, а затем подорожал на $30\%$. Изменилась ли в результате цена этого товара, и если изменилась, то повысилась или понизилась, и на сколько процентов?

Да, в результате последовательных изменений цена товара изменилась. Чтобы определить, как именно и на сколько, проанализируем процесс по шагам.
Пусть первоначальная цена товара равна $P$.

1. Удешевление на 30%
Сначала цена товара понизилась на 30%. Это означает, что новая цена составит $100\% - 30\% = 70\%$ от первоначальной. Для расчета мы умножаем исходную цену на коэффициент $0.7$.
Цена после понижения ($P_1$) будет равна:
$P_1 = P \times (1 - 0.3) = 0.7P$

2. Подорожание на 30%
Затем новая цена $P_1$ подорожала на 30%. Важно учесть, что процент рассчитывается от текущей, уже сниженной цены, а не от первоначальной. Повышение на 30% эквивалентно умножению на коэффициент $1.3$.
Конечная цена ($P_2$) будет равна:
$P_2 = P_1 \times (1 + 0.3) = P_1 \times 1.3$

3. Расчет итоговой цены и общего изменения
Чтобы найти конечную цену относительно первоначальной, подставим значение $P_1$ из первого шага в формулу второго шага:
$P_2 = (0.7P) \times 1.3 = 0.91P$
Итоговая цена составила $0.91$ от первоначальной, или $91\%$. Так как $91\%$ меньше $100\%$, цена товара понизилась.
Найдем, на сколько процентов цена понизилась, вычтя итоговый процент из начального:
$100\% - 91\% = 9\%$

Ответ: цена товара изменилась — она понизилась на 9%.

71. Некоторый товар вначале подорожал на 25%, а затем подешевел на 20%. Изменилась ли в результате цена этого товара, и если изменилась, то повысилась или понизилась, и на сколько процентов?

Для решения этой задачи давайте примем первоначальную цену товара за $x$.

Сначала цена товара подорожала на 25%. Чтобы найти новую цену, мы должны увеличить первоначальную цену на 25%. Это эквивалентно умножению на 1,25.
Цена после подорожания ($P_1$) будет:
$P_1 = x \times (1 + \frac{25}{100}) = x \times 1.25 = 1.25x$

Затем полученная цена ($P_1$) подешевела на 20%. Теперь мы должны уменьшить цену $P_1$ на 20%. Это эквивалентно умножению на (1 - 0,20) = 0,80. Важно отметить, что 20% вычисляются от новой, повышенной цены, а не от первоначальной.
Итоговая цена ($P_2$) будет:
$P_2 = P_1 \times (1 - \frac{20}{100}) = P_1 \times 0.8$

Теперь подставим значение $P_1$ в это уравнение, чтобы найти итоговую цену относительно первоначальной цены $x$:
$P_2 = (1.25x) \times 0.8$
Вычислим произведение:
$1.25 \times 0.8 = 1.00$
Следовательно, итоговая цена:
$P_2 = 1.00x = x$

Сравнивая итоговую цену $P_2$ с первоначальной ценой $x$, мы видим, что они равны. Это означает, что после повышения на 25% и последующего понижения на 20% цена товара вернулась к своему исходному значению.

Ответ: В результате цена товара не изменилась.

72. Найдите числа $x, y$ и $z$, сумма которых равна 280, таких, что $x : y = 4 : 3$ и $y : z = 2 : 7$.

По условию задачи нам даны три числа $x, y, z$, сумма которых равна 280. Также известны их соотношения: $x : y = 4 : 3$ и $y : z = 2 : 7$.

Чтобы найти эти числа, сначала объединим два отношения в одно общее отношение $x : y : z$. Для этого необходимо, чтобы общий член $y$ в обеих пропорциях был выражен одним и тем же числом. В первом отношении ($x : y$) $y$ соответствует 3, а во втором ($y : z$) — 2.

Найдем наименьшее общее кратное для этих чисел: НОК(3, 2) = 6. Теперь приведем обе пропорции к такому виду, чтобы часть, соответствующая $y$, стала равной 6.
Умножим обе части первого отношения на 2:
$x : y = (4 \cdot 2) : (3 \cdot 2) = 8 : 6$.
Умножим обе части второго отношения на 3:
$y : z = (2 \cdot 3) : (7 \cdot 3) = 6 : 21$.

Теперь, когда член $y$ в обоих отношениях равен 6, мы можем записать общую пропорцию для трех чисел:
$x : y : z = 8 : 6 : 21$.

Это означает, что числа $x, y$ и $z$ пропорциональны числам 8, 6 и 21 соответственно. Мы можем выразить их через общий коэффициент пропорциональности $k$:
$x = 8k$
$y = 6k$
$z = 21k$

Сумма этих чисел по условию равна 280. Составим уравнение, подставив в него выражения для $x, y$ и $z$:
$8k + 6k + 21k = 280$

Решим это уравнение относительно $k$:
$(8 + 6 + 21)k = 280$
$35k = 280$
$k = \frac{280}{35}$
$k = 8$

Мы нашли коэффициент пропорциональности. Теперь можем вычислить значения каждого из чисел:
$x = 8k = 8 \cdot 8 = 64$
$y = 6k = 6 \cdot 8 = 48$
$z = 21k = 21 \cdot 8 = 168$

Проверим полученные результаты. Сумма чисел: $64 + 48 + 168 = 112 + 168 = 280$. Отношения: $x:y = 64:48 = 4:3$; $y:z = 48:168 = 2:7$. Все условия выполнены.

Ответ: $x=64$, $y=48$, $z=168$.

73. Найдите числа $a$, $b$ и $c$, сумма которых равна 93, таких, что $a : b = \frac{1}{2} : \frac{1}{3}$ и $b : c = 5 : 3$.

Для решения задачи необходимо найти общее отношение для чисел $a$, $b$ и $c$, а затем использовать данную сумму для нахождения их конкретных значений.

1. Упрощение отношения $a:b$

Первое отношение задано в виде дробей: $a : b = \frac{1}{2} : \frac{1}{3}$. Чтобы перейти к целым числам, умножим обе части отношения на наименьшее общее кратное знаменателей 2 и 3, то есть на 6.

$a : b = \left(\frac{1}{2} \cdot 6\right) : \left(\frac{1}{3} \cdot 6\right) = 3 : 2$

2. Приведение отношений к общему члену

Теперь у нас есть два отношения: $a : b = 3 : 2$ и $b : c = 5 : 3$. Для того чтобы объединить их в одно тройное отношение $a:b:c$, необходимо, чтобы общий член $b$ был выражен одинаковым количеством частей в обоих отношениях. В первом отношении $b$ соответствует 2 частям, а во втором — 5 частям.

Найдем наименьшее общее кратное чисел 2 и 5. НОК(2, 5) = 10.

Теперь приведем оба отношения к такому виду, чтобы $b$ соответствовало 10 частям:

- Умножим обе части первого отношения ($a:b = 3:2$) на 5: $a : b = (3 \cdot 5) : (2 \cdot 5) = 15 : 10$

- Умножим обе части второго отношения ($b:c = 5:3$) на 2: $b : c = (5 \cdot 2) : (3 \cdot 2) = 10 : 6$

3. Составление общего отношения и нахождение чисел

Теперь мы можем составить единое отношение для всех трех чисел: $a : b : c = 15 : 10 : 6$

Это означает, что число $a$ составляет 15 частей, $b$ — 10 частей, а $c$ — 6 частей от некоторой общей меры. Введем коэффициент пропорциональности $k$. Тогда $a = 15k$, $b = 10k$, $c = 6k$.

Сумма чисел по условию равна 93: $a + b + c = 93$ $15k + 10k + 6k = 93$ $31k = 93$

Отсюда находим значение коэффициента $k$: $k = \frac{93}{31} = 3$

Теперь вычислим значения каждого числа: $a = 15 \cdot 3 = 45$ $b = 10 \cdot 3 = 30$ $c = 6 \cdot 3 = 18$

Проверим: сумма $45 + 30 + 18 = 93$. Отношения: $45:30 = 3:2$ (эквивалентно $\frac{1}{2}:\frac{1}{3}$) и $30:18 = 5:3$. Все условия задачи выполнены.

Ответ: $a = 45$, $b = 30$, $c = 18$.