Номер 73, страница 12 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параграф 1. Числа и вычисления - номер 73, страница 12.

Условие.

73. Найдите числа $a$, $b$ и $c$, сумма которых равна 93, таких, что $a : b = \frac{1}{2} : \frac{1}{3}$ и $b : c = 5 : 3$.

Решение 1.

Решение 5.

Для решения задачи необходимо найти общее отношение для чисел $a$, $b$ и $c$, а затем использовать данную сумму для нахождения их конкретных значений.

1. Упрощение отношения $a:b$

Первое отношение задано в виде дробей: $a : b = \frac{1}{2} : \frac{1}{3}$. Чтобы перейти к целым числам, умножим обе части отношения на наименьшее общее кратное знаменателей 2 и 3, то есть на 6.

$a : b = \left(\frac{1}{2} \cdot 6\right) : \left(\frac{1}{3} \cdot 6\right) = 3 : 2$

2. Приведение отношений к общему члену

Теперь у нас есть два отношения: $a : b = 3 : 2$ и $b : c = 5 : 3$. Для того чтобы объединить их в одно тройное отношение $a:b:c$, необходимо, чтобы общий член $b$ был выражен одинаковым количеством частей в обоих отношениях. В первом отношении $b$ соответствует 2 частям, а во втором — 5 частям.

Найдем наименьшее общее кратное чисел 2 и 5. НОК(2, 5) = 10.

Теперь приведем оба отношения к такому виду, чтобы $b$ соответствовало 10 частям:

- Умножим обе части первого отношения ($a:b = 3:2$) на 5: $a : b = (3 \cdot 5) : (2 \cdot 5) = 15 : 10$

- Умножим обе части второго отношения ($b:c = 5:3$) на 2: $b : c = (5 \cdot 2) : (3 \cdot 2) = 10 : 6$

3. Составление общего отношения и нахождение чисел

Теперь мы можем составить единое отношение для всех трех чисел: $a : b : c = 15 : 10 : 6$

Это означает, что число $a$ составляет 15 частей, $b$ — 10 частей, а $c$ — 6 частей от некоторой общей меры. Введем коэффициент пропорциональности $k$. Тогда $a = 15k$, $b = 10k$, $c = 6k$.

Сумма чисел по условию равна 93: $a + b + c = 93$ $15k + 10k + 6k = 93$ $31k = 93$

Отсюда находим значение коэффициента $k$: $k = \frac{93}{31} = 3$

Теперь вычислим значения каждого числа: $a = 15 \cdot 3 = 45$ $b = 10 \cdot 3 = 30$ $c = 6 \cdot 3 = 18$

Проверим: сумма $45 + 30 + 18 = 93$. Отношения: $45:30 = 3:2$ (эквивалентно $\frac{1}{2}:\frac{1}{3}$) и $30:18 = 5:3$. Все условия задачи выполнены.

Ответ: $a = 45$, $b = 30$, $c = 18$.