Номер 72, страница 12 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параграф 1. Числа и вычисления - номер 72, страница 12.

Условие.

72. Найдите числа $x, y$ и $z$, сумма которых равна 280, таких, что $x : y = 4 : 3$ и $y : z = 2 : 7$.

Решение 1.

Решение 5.

По условию задачи нам даны три числа $x, y, z$, сумма которых равна 280. Также известны их соотношения: $x : y = 4 : 3$ и $y : z = 2 : 7$.

Чтобы найти эти числа, сначала объединим два отношения в одно общее отношение $x : y : z$. Для этого необходимо, чтобы общий член $y$ в обеих пропорциях был выражен одним и тем же числом. В первом отношении ($x : y$) $y$ соответствует 3, а во втором ($y : z$) — 2.

Найдем наименьшее общее кратное для этих чисел: НОК(3, 2) = 6. Теперь приведем обе пропорции к такому виду, чтобы часть, соответствующая $y$, стала равной 6.
Умножим обе части первого отношения на 2:
$x : y = (4 \cdot 2) : (3 \cdot 2) = 8 : 6$.
Умножим обе части второго отношения на 3:
$y : z = (2 \cdot 3) : (7 \cdot 3) = 6 : 21$.

Теперь, когда член $y$ в обоих отношениях равен 6, мы можем записать общую пропорцию для трех чисел:
$x : y : z = 8 : 6 : 21$.

Это означает, что числа $x, y$ и $z$ пропорциональны числам 8, 6 и 21 соответственно. Мы можем выразить их через общий коэффициент пропорциональности $k$:
$x = 8k$
$y = 6k$
$z = 21k$

Сумма этих чисел по условию равна 280. Составим уравнение, подставив в него выражения для $x, y$ и $z$:
$8k + 6k + 21k = 280$

Решим это уравнение относительно $k$:
$(8 + 6 + 21)k = 280$
$35k = 280$
$k = \frac{280}{35}$
$k = 8$

Мы нашли коэффициент пропорциональности. Теперь можем вычислить значения каждого из чисел:
$x = 8k = 8 \cdot 8 = 64$
$y = 6k = 6 \cdot 8 = 48$
$z = 21k = 21 \cdot 8 = 168$

Проверим полученные результаты. Сумма чисел: $64 + 48 + 168 = 112 + 168 = 280$. Отношения: $x:y = 64:48 = 4:3$; $y:z = 48:168 = 2:7$. Все условия выполнены.

Ответ: $x=64$, $y=48$, $z=168$.