Номер 41, страница 9 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параграф 1. Числа и вычисления - номер 41, страница 9.

Условие.

41. Определите, являются ли взаимно простыми числа:

1) 728 и 1275;

2) 273 и 130.

Решение 1.

Решение 5.

Два натуральных числа называются взаимно простыми, если их наибольший общий делитель (НОД) равен 1. Чтобы определить, являются ли данные пары чисел взаимно простыми, найдем их НОД, разложив каждое число на простые множители.

1) 728 и 1275

Разложим число 728 на простые множители:

$ \begin{array}{r|l} 728 & 2 \\ 364 & 2 \\ 182 & 2 \\ 91 & 7 \\ 13 & 13 \\ 1 & \end{array} $

Таким образом, $728 = 2^3 \cdot 7 \cdot 13$.

Разложим число 1275 на простые множители:

$ \begin{array}{r|l} 1275 & 3 \\ 425 & 5 \\ 85 & 5 \\ 17 & 17 \\ 1 & \end{array} $

Таким образом, $1275 = 3 \cdot 5^2 \cdot 17$.

Простые множители числа 728: $\{2, 7, 13\}$.
Простые множители числа 1275: $\{3, 5, 17\}$.
Данные числа не имеют общих простых множителей. Следовательно, их наибольший общий делитель равен 1.

$НОД(728, 1275) = 1$.

Поскольку НОД равен 1, числа 728 и 1275 являются взаимно простыми.

Ответ: да, являются.

---

2) 273 и 130

Разложим число 273 на простые множители:

$ \begin{array}{r|l} 273 & 3 \\ 91 & 7 \\ 13 & 13 \\ 1 & \end{array} $

Таким образом, $273 = 3 \cdot 7 \cdot 13$.

Разложим число 130 на простые множители:

$ \begin{array}{r|l} 130 & 2 \\ 65 & 5 \\ 13 & 13 \\ 1 & \end{array} $

Таким образом, $130 = 2 \cdot 5 \cdot 13$.

Простые множители числа 273: $\{3, 7, 13\}$.
Простые множители числа 130: $\{2, 5, 13\}$.
У этих чисел есть общий простой множитель — 13.

$НОД(273, 130) = 13$.

Поскольку НОД не равен 1, числа 273 и 130 не являются взаимно простыми.

Ответ: нет, не являются.