Номер 42, страница 9 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параграф 1. Числа и вычисления - номер 42, страница 9.

Условие.

42. Докажите, что числа 945 и 208 взаимно простые.

Решение 1.

Решение 5.

Чтобы доказать, что числа 945 и 208 являются взаимно простыми, необходимо показать, что их наибольший общий делитель (НОД) равен 1. Для этого можно использовать один из следующих методов.

Способ 1: Разложение на простые множители

Разложим каждое число на простые множители.
Для числа 945:
$945 = 5 \cdot 189 = 5 \cdot 3 \cdot 63 = 5 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 9 = 3^3 \cdot 5 \cdot 7$
Простые множители числа 945: 3, 5, 7.

Для числа 208:
$208 = 2 \cdot 104 = 2^2 \cdot 52 = 2^3 \cdot 26 = 2^4 \cdot 13$
Простые множители числа 208: 2, 13.

Поскольку у чисел 945 и 208 нет общих простых множителей, их наибольший общий делитель равен 1.

Способ 2: Алгоритм Евклида

Найдем НОД с помощью последовательного деления с остатком (алгоритм Евклида).
$945 = 4 \cdot 208 + 113$
$208 = 1 \cdot 113 + 95$
$113 = 1 \cdot 95 + 18$
$95 = 5 \cdot 18 + 5$
$18 = 3 \cdot 5 + 3$
$5 = 1 \cdot 3 + 2$
$3 = 1 \cdot 2 + 1$
$2 = 2 \cdot 1 + 0$

Последний ненулевой остаток в этой последовательности равен 1. Следовательно, НОД(945, 208) = 1.

Ответ: Так как наибольший общий делитель чисел 945 и 208 равен 1 (НОД(945, 208) = 1), эти числа являются взаимно простыми, что и требовалось доказать.