Страница 30 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

155. Периметр прямоугольника равен 7,8 см, а одна из его сторон на 1,3 см больше другой. Найдите стороны прямоугольника.

Пусть меньшая сторона прямоугольника равна $x$ см. Тогда, согласно условию, большая сторона будет на 1,3 см длиннее, то есть ее длина составит $(x + 1,3)$ см.

Периметр прямоугольника $P$ вычисляется по формуле $P = 2(a + b)$, где $a$ и $b$ — длины его смежных сторон. Зная, что периметр равен 7,8 см, мы можем составить уравнение:

$2(x + (x + 1,3)) = 7,8$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти $x$:

$2(2x + 1,3) = 7,8$

Разделим обе части уравнения на 2:

$2x + 1,3 = 3,9$

Перенесем 1,3 из левой части в правую, изменив знак на противоположный:

$2x = 3,9 - 1,3$

$2x = 2,6$

Найдем $x$, разделив 2,6 на 2:

$x = 1,3$

Таким образом, меньшая сторона прямоугольника равна 1,3 см.

Теперь найдем длину большей стороны:

$1,3 + 1,3 = 2,6$ см.

Ответ: стороны прямоугольника равны 1,3 см и 2,6 см.

156. Одна из сторон прямоугольника в 11 раз меньше другой. Найдите стороны прямоугольника, если его периметр равен 144 см.

Пусть меньшая сторона прямоугольника равна $x$ см.

Согласно условию, одна из сторон в 11 раз меньше другой. Это означает, что большая сторона в 11 раз больше меньшей. Следовательно, большая сторона прямоугольника будет равна $11x$ см.

Периметр прямоугольника — это сумма длин всех его сторон. Формула для вычисления периметра прямоугольника со сторонами $a$ и $b$:

$P = 2(a + b)$

В нашем случае $a = x$ и $b = 11x$. Периметр по условию равен 144 см. Подставим эти значения в формулу и составим уравнение:

$2(x + 11x) = 144$

Решим полученное уравнение:

$2(12x) = 144$

$24x = 144$

$x = \frac{144}{24}$

$x = 6$

Таким образом, меньшая сторона прямоугольника равна 6 см.

Теперь найдем большую сторону:

$11x = 11 \cdot 6 = 66$

Большая сторона прямоугольника равна 66 см.

Проверим правильность решения, подставив найденные стороны в формулу периметра:

$P = 2(6 + 66) = 2 \cdot 72 = 144$ см.

Результат совпадает с условием задачи.

Ответ: стороны прямоугольника равны 6 см и 66 см.

157. (Из книги Л. Магницкого «Арифметика») Купил некто сукно трёх сортов, а всего 106 аршин. Первого купил на 19 аршин больше, чем второго, а второго – на 9 аршин больше, чем третьего. Сколько же сукна каждого сорта было куплено?

Для решения этой задачи введем переменную. Обозначим за $x$ количество аршин сукна третьего сорта.

Согласно условию, сукна второго сорта было куплено на 9 аршин больше, чем третьего. Следовательно, количество сукна второго сорта составляет $(x + 9)$ аршин.

Также известно, что сукна первого сорта было куплено на 19 аршин больше, чем второго. Значит, количество сукна первого сорта равно $(x + 9) + 19 = (x + 28)$ аршин.

Общее количество купленного сукна всех трех сортов составляет 106 аршин. Мы можем составить уравнение, сложив количество сукна каждого сорта:

Количество сукна 1-го сорта + Количество сукна 2-го сорта + Количество сукна 3-го сорта = 106

$(x + 28) + (x + 9) + x = 106$

Теперь решим полученное уравнение:

1. Сначала сгруппируем и сложим все переменные $x$ и числовые значения в левой части уравнения:

$3x + 37 = 106$

2. Затем перенесем постоянный член (37) в правую часть уравнения, изменив его знак:

$3x = 106 - 37$

$3x = 69$

3. Наконец, найдем значение $x$, разделив обе части уравнения на 3:

$x = \frac{69}{3}$

$x = 23$

Итак, мы нашли, что было куплено 23 аршина сукна третьего сорта.

Теперь, зная $x$, мы можем определить количество сукна для двух других сортов:

• Количество сукна второго сорта: $x + 9 = 23 + 9 = 32$ аршина.
• Количество сукна первого сорта: $x + 28 = 23 + 28 = 51$ аршин.

Проведем проверку, чтобы убедиться в правильности решения, сложив количество сукна всех сортов:

$51 + 32 + 23 = 106$

Сумма совпадает с общим количеством, указанным в условии задачи.

Ответ: было куплено 51 аршин сукна первого сорта, 32 аршина второго сорта и 23 аршина третьего сорта.

158. Тремя крупнейшими озёрами России являются озеро Байкал, Ладожское озеро и Онежское озеро. Общий объём воды, содержащейся в этих озёрах, составляет $24\,733\,\text{км}^3$, причём объём воды, содержащейся в Ладожском озере, на $22\,762\,\text{км}^3$ меньше, чем объём воды озера Байкал, и на $543\,\text{км}^3$ больше, чем объём воды Онежского озера. Сколько кубических километров воды содержится в каждом из этих озёр?

Для решения задачи введём переменную. Удобнее всего за основу взять объём Ладожского озера, так как с ним сравниваются объёмы двух других озёр.

Пусть объём воды в Ладожском озере равен $x$ км³.

• Согласно условию, объём воды в Ладожском озере на 22 762 км³ меньше, чем объём воды в озере Байкал. Следовательно, объём воды в озере Байкал равен $x + 22762$ км³.
• Также, объём воды в Ладожском озере на 543 км³ больше, чем объём воды в Онежском озере. Следовательно, объём воды в Онежском озере равен $x - 543$ км³.

Общий объём воды в трёх озёрах составляет 24 733 км³. Мы можем составить уравнение, сложив объёмы всех трёх озёр:

$V_{Байкал} + V_{Ладожское} + V_{Онежское} = 24733$

$(x + 22762) + x + (x - 543) = 24733$

Теперь решим это уравнение:

1. Сгруппируем переменные и числовые значения:

$3x + 22762 - 543 = 24733$

2. Упростим левую часть:

$3x + 22219 = 24733$

3. Перенесём 22 219 в правую часть уравнения с противоположным знаком:

$3x = 24733 - 22219$

$3x = 2514$

4. Найдём $x$, разделив обе части уравнения на 3:

$x = 2514 \div 3$

$x = 838$

Таким образом, мы нашли объём воды в Ладожском озере. Теперь можем вычислить объёмы для двух других озёр.

Объём воды в Ладожском озере

Объём воды в Ладожском озере равен $x$.

Ответ: в Ладожском озере содержится 838 км³ воды.

Объём воды в озере Байкал

Объём воды в озере Байкал равен $x + 22762$. Подставим найденное значение $x$:

$838 + 22762 = 23600$ км³.

Ответ: в озере Байкал содержится 23 600 км³ воды.

Объём воды в Онежском озере

Объём воды в Онежском озере равен $x - 543$. Подставим найденное значение $x$:

$838 - 543 = 295$ км³.

Ответ: в Онежском озере содержится 295 км³ воды.

159. В доме 160 квартир трёх видов: однокомнатные, двухкомнатные и трёхкомнатные. Однокомнатных квартир в 2 раза меньше, чем двухкомнатных, и на 24 меньше, чем трёхкомнатных. Сколько в доме квартир каждого вида?

Для решения этой задачи введем переменную. Пусть $x$ — количество однокомнатных квартир в доме.

Согласно условию, однокомнатных квартир в 2 раза меньше, чем двухкомнатных. Это значит, что количество двухкомнатных квартир в 2 раза больше, чем однокомнатных, и равно $2x$.

Также по условию, однокомнатных квартир на 24 меньше, чем трёхкомнатных. Это значит, что количество трёхкомнатных квартир на 24 больше, чем однокомнатных, и равно $x + 24$.

Общее количество квартир в доме составляет 160. Мы можем составить уравнение, просуммировав количество квартир каждого вида:

(однокомнатные) + (двухкомнатные) + (трёхкомнатные) = (всего квартир)

$x + 2x + (x + 24) = 160$

Теперь решим полученное уравнение, чтобы найти значение $x$:

1. Сложим все слагаемые с переменной $x$:
$4x + 24 = 160$

2. Перенесем число 24 в правую часть уравнения, изменив его знак на противоположный:
$4x = 160 - 24$
$4x = 136$

3. Разделим обе части уравнения на 4, чтобы найти $x$:
$x = \frac{136}{4}$
$x = 34$

Таким образом, количество однокомнатных квартир в доме равно 34.

Теперь, зная $x$, мы можем найти количество квартир других видов:

• Количество двухкомнатных квартир: $2x = 2 \cdot 34 = 68$.
• Количество трёхкомнатных квартир: $x + 24 = 34 + 24 = 58$.

Для проверки сложим количество квартир всех видов:

$34 + 68 + 58 = 102 + 58 = 160$

Результат совпадает с общим количеством квартир, указанным в условии задачи.

Ответ: в доме 34 однокомнатные квартиры, 68 двухкомнатных и 58 трёхкомнатных.

160. Трое рабочих изготовили 96 деталей. Первый из них изготовил в 3 раза больше деталей, чем второй, а третий – на 16 деталей больше, чем второй. Сколько деталей изготовил каждый рабочий?

Для решения этой задачи введем переменную и составим уравнение. Пусть $x$ — это количество деталей, которое изготовил второй рабочий.

Согласно условию задачи, можно выразить количество деталей, изготовленных каждым рабочим:

• Второй рабочий изготовил $x$ деталей.
• Первый рабочий изготовил в 3 раза больше, чем второй, то есть $3x$ деталей.
• Третий рабочий изготовил на 16 деталей больше, чем второй, то есть $x + 16$ деталей.

Суммарно трое рабочих изготовили 96 деталей. Составим уравнение, сложив количество деталей каждого рабочего и приравняв к общему количеству:

$x + 3x + (x + 16) = 96$

Теперь решим полученное уравнение, чтобы найти значение $x$:

1. Объединим подобные слагаемые в левой части уравнения:

$5x + 16 = 96$

2. Вычтем 16 из обеих частей уравнения, чтобы изолировать слагаемое с $x$:

$5x = 96 - 16$

$5x = 80$

3. Разделим обе части уравнения на 5, чтобы найти $x$:

$x = \frac{80}{5}$

$x = 16$

Таким образом, мы нашли, что второй рабочий изготовил 16 деталей.

Теперь вычислим, сколько деталей изготовили первый и третий рабочие, подставив найденное значение $x$:

• Количество деталей первого рабочего: $3x = 3 \times 16 = 48$ деталей.
• Количество деталей третьего рабочего: $x + 16 = 16 + 16 = 32$ детали.

Для проверки сложим количество деталей, изготовленных всеми рабочими: $48 + 16 + 32 = 64 + 32 = 96$. Сумма совпадает с условием задачи.

Ответ: Первый рабочий изготовил 48 деталей, второй – 16 деталей, третий – 32 детали.

161. В трёх цехах завода работает 101 человек. Количество работников первого цеха составляет $\frac{4}{9}$ количества работников третьего цеха, а количество работников второго цеха – 80% количества работников третьего. Сколько человек работает в первом цехе?

Для решения задачи введем переменную. Пусть $x$ — количество работников в третьем цехе.

Исходя из условия, количество работников в первом цехе составляет $\frac{4}{9}$ от количества работников третьего цеха, то есть $\frac{4}{9}x$.

Количество работников во втором цехе составляет 80% от количества работников третьего цеха. Представим 80% в виде обыкновенной дроби: $80\% = \frac{80}{100} = \frac{4}{5}$. Таким образом, во втором цехе работает $\frac{4}{5}x$ человек.

Сумма работников во всех трех цехах равна 101. Составим и решим уравнение:
$x + \frac{4}{9}x + \frac{4}{5}x = 101$

Приведем все слагаемые с $x$ к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 9 и 5 равен 45.
$\frac{45}{45}x + \frac{5 \cdot 4}{5 \cdot 9}x + \frac{9 \cdot 4}{9 \cdot 5}x = 101$
$\frac{45}{45}x + \frac{20}{45}x + \frac{36}{45}x = 101$

Сложим дроби в левой части уравнения:
$(\frac{45 + 20 + 36}{45})x = 101$
$\frac{101}{45}x = 101$

Найдем значение $x$:
$x = 101 \div \frac{101}{45}$
$x = 101 \cdot \frac{45}{101}$
$x = 45$

Таким образом, в третьем цехе работает 45 человек.

Теперь найдем количество работников в первом цехе, которое составляет $\frac{4}{9}$ от числа работников в третьем цехе:
$\frac{4}{9} \cdot 45 = \frac{4 \cdot 45}{9} = 4 \cdot 5 = 20$

В первом цехе работает 20 человек.
Ответ: 20.

162. Велосипедистки участвовали в трёхдневном велопробеге. Во второй и третий дни они проехали соответственно 120% и $ \frac{4}{5} $ расстояния, которое они преодолели за первый день. Какой путь они проехали в первый день, если длина всего маршрута составляет 270 км?

Пусть $x$ км — это расстояние, которое велосипедистки проехали в первый день.

Согласно условию, во второй день они проехали 120% от расстояния первого дня. Чтобы найти проценты от числа, нужно перевести проценты в десятичную дробь и умножить на это число.

$120\% = \frac{120}{100} = 1,2$

Значит, во второй день они проехали $1,2x$ км.

В третий день они проехали $\frac{4}{5}$ от расстояния первого дня. Чтобы найти дробь от числа, нужно умножить дробь на это число.

$\frac{4}{5} = 0,8$

Значит, в третий день они проехали $0,8x$ км.

Общая длина маршрута составляет 270 км. Это сумма расстояний, пройденных за три дня. Составим и решим уравнение:

$x + 1,2x + 0,8x = 270$

Сложим все слагаемые с переменной $x$:

$(1 + 1,2 + 0,8)x = 270$

$3x = 270$

Теперь найдем $x$, разделив обе части уравнения на 3:

$x = \frac{270}{3}$

$x = 90$

Таким образом, расстояние, которое велосипедистки проехали в первый день, составляет 90 км.

Ответ: 90 км.

163. В 6 больших и 8 маленьких ящиков разложили 232 кг яблок. Сколько килограммов яблок оказалось в каждом ящике, если в каждом маленьком ящике было на 6 кг яблок меньше, чем в каждом большом?

Для решения этой задачи введем переменную. Пусть $x$ кг яблок находится в одном большом ящике. Поскольку в каждом маленьком ящике на 6 кг яблок меньше, чем в большом, то в одном маленьком ящике находится $(x - 6)$ кг яблок.

Всего было 6 больших ящиков, общий вес яблок в них составляет $6 \cdot x$ кг. Также было 8 маленьких ящиков, общий вес яблок в них составляет $8 \cdot (x - 6)$ кг.

Суммарный вес всех яблок равен 232 кг. Мы можем составить уравнение, сложив вес яблок из больших и маленьких ящиков:

$6x + 8(x - 6) = 232$

Теперь решим это уравнение. Сначала раскроем скобки:

$6x + 8x - 48 = 232$

Сложим слагаемые с переменной $x$:

$14x - 48 = 232$

Перенесем число -48 в правую часть уравнения, изменив его знак на противоположный:

$14x = 232 + 48$

$14x = 280$

Найдем значение $x$, разделив обе части уравнения на 14:

$x = \frac{280}{14}$

$x = 20$

Итак, в одном большом ящике находится 20 кг яблок.

Теперь найдем, сколько килограммов яблок в одном маленьком ящике:

$x - 6 = 20 - 6 = 14$ кг.

Проверим правильность решения: 6 больших ящиков по 20 кг ($6 \cdot 20 = 120$ кг) и 8 маленьких ящиков по 14 кг ($8 \cdot 14 = 112$ кг) в сумме дают $120 + 112 = 232$ кг, что соответствует условию задачи.

Ответ: в каждом большом ящике оказалось 20 кг яблок, а в каждом маленьком — 14 кг яблок.

164. В двух залах кинотеатра 534 места. В одном зале 12 одинаковых рядов, а в другом — 15 одинаковых рядов. В каждом ряду первого зала на 4 места больше, чем в каждом ряду второго. Сколько мест в каждом зале кинотеатра?

Для решения этой задачи введем переменную. Пусть $x$ — это количество мест в одном ряду второго зала.

Согласно условию, в каждом ряду первого зала на 4 места больше, чем в каждом ряду второго. Следовательно, количество мест в одном ряду первого зала можно выразить как $x + 4$.

Общее количество мест в первом зале, где 12 рядов, равно $12 \cdot (x + 4)$.

Общее количество мест во втором зале, где 15 рядов, равно $15 \cdot x$.

Сумма мест в двух залах составляет 534. Исходя из этого, мы можем составить уравнение:

$12 \cdot (x + 4) + 15 \cdot x = 534$

Теперь решим это уравнение поэтапно:

1. Раскроем скобки:

$12x + 48 + 15x = 534$

2. Сложим слагаемые с переменной $x$:

$27x + 48 = 534$

3. Перенесем число 48 в правую часть уравнения с противоположным знаком:

$27x = 534 - 48$

$27x = 486$

4. Найдем значение $x$, разделив обе части уравнения на 27:

$x = 486 \div 27$

$x = 18$

Таким образом, в каждом ряду второго зала 18 мест.

Теперь найдем количество мест в каждом ряду первого зала:

$18 + 4 = 22$ места.

Наконец, вычислим общее количество мест в каждом зале:

В первом зале: $12 \text{ рядов} \times 22 \text{ места/ряд} = 264$ места.

Во втором зале: $15 \text{ рядов} \times 18 \text{ мест/ряд} = 270$ мест.

Для проверки можно сложить количество мест в обоих залах: $264 + 270 = 534$, что соответствует условию задачи.

Ответ: в первом зале кинотеатра 264 места, а во втором — 270 мест.