Страница 35 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

204. Может ли быть целым числом значение выражения:

1) $ \frac{1}{x} $;

2) $ \frac{x}{x+1} $?

Да, значение выражения $\frac{1}{x}$ может быть целым числом. Для того чтобы выражение $\frac{1}{x}$ было равно некоторому целому числу $n$, необходимо выполнение равенства $\frac{1}{x}=n$. Отсюда следует, что $x$ должен быть числом, обратным к $n$, то есть $x=\frac{1}{n}$. Поскольку числитель дроби равен 1, значение дроби не может быть равно нулю, следовательно $n \neq 0$. Для любого ненулевого целого числа $n$ мы можем подобрать соответствующее значение $x$. Например, чтобы значение выражения было равно $1$, нужно взять $x=\frac{1}{1}=1$. Чтобы значение было равно $2$, нужно взять $x=\frac{1}{2}=0,5$. Чтобы значение было равно $-1$, нужно взять $x=\frac{1}{-1}=-1$.

Ответ: да, может.

Да, значение выражения $\frac{x}{x+1}$ также может быть целым числом. Для анализа преобразуем выражение, выделив целую часть: $\frac{x}{x+1} = \frac{x+1-1}{x+1} = \frac{x+1}{x+1} - \frac{1}{x+1} = 1 - \frac{1}{x+1}$. Чтобы результат $1 - \frac{1}{x+1}$ был целым числом, необходимо, чтобы $\frac{1}{x+1}$ также было целым числом. Обозначим это целое число как $k$, то есть $\frac{1}{x+1} = k$, где $k$ — целое число. Отметим, что $k$ не может быть равно нулю, так как дробь с числителем 1 не может равняться нулю. Для любого ненулевого целого $k$ мы можем найти $x$, решив уравнение: $x+1 = \frac{1}{k}$, откуда $x = \frac{1}{k}-1$. При таком $x$ значение исходного выражения будет $1-k$, что является целым числом. Например, если мы хотим получить значение $0$, мы должны взять $k=1$, тогда $x=\frac{1}{1}-1=0$. Проверяем: $\frac{0}{0+1}=0$. Если мы хотим получить значение $2$, мы должны взять $k=-1$, тогда $x=\frac{1}{-1}-1=-2$. Проверяем: $\frac{-2}{-2+1}=\frac{-2}{-1}=2$.

Ответ: да, может.

205. Найдите все натуральные значения $n$, при которых значение каждого из выражений $n - 2$, $n + 24$, $n + 26$ является простым числом.

По условию задачи, мы ищем все натуральные значения $n$, для которых числа $n-2$, $n+24$ и $n+26$ являются простыми.

Простое число — это натуральное число больше 1. Следовательно, выражение $n-2$ должно быть не меньше 2. Отсюда $n-2 \ge 2$, что означает $n \ge 4$.

Рассмотрим остатки от деления числа $n$ на 3. Любое натуральное число $n$ можно представить в одном из трёх видов: $n = 3k$, $n = 3k+1$ или $n = 3k+2$, где $k$ — целое неотрицательное число. Разберем каждый случай.

Случай 1: $n$ кратно 3 ($n=3k$)
Поскольку $n \ge 4$, то $k$ должно быть натуральным числом, не меньшим 2 ($k \ge 2$).
Рассмотрим выражение $n+24$:
$n + 24 = 3k + 24 = 3(k+8)$.
Так как $k \ge 2$, то $k+8 \ge 10$. Это означает, что число $n+24$ делится на 3 и больше 3, следовательно, оно является составным. В этом случае решений нет.

Случай 2: $n$ дает остаток 1 при делении на 3 ($n=3k+1$)
Поскольку $n \ge 4$, то $3k+1 \ge 4$, откуда $3k \ge 3$ и $k \ge 1$.
Рассмотрим выражение $n+26$:
$n + 26 = (3k+1) + 26 = 3k + 27 = 3(k+9)$.
Так как $k \ge 1$, то $k+9 \ge 10$. Это означает, что число $n+26$ делится на 3 и больше 3, следовательно, оно является составным. В этом случае решений нет.

Случай 3: $n$ дает остаток 2 при делении на 3 ($n=3k+2$)
Поскольку $n \ge 4$, то $3k+2 \ge 4$, откуда $3k \ge 2$ и $k \ge 1$.
Рассмотрим выражение $n-2$:
$n - 2 = (3k+2) - 2 = 3k$.
Чтобы число $3k$ было простым, оно должно быть равно 3, так как это единственное простое число, кратное 3.
Следовательно, $3k=3$, откуда $k=1$.
Тогда $n = 3(1)+2 = 5$.
Проверим, являются ли все три выражения простыми числами при $n=5$:
$n-2 = 5-2 = 3$ (простое число).
$n+24 = 5+24 = 29$ (простое число).
$n+26 = 5+26 = 31$ (простое число).
Все три числа являются простыми, поэтому $n=5$ является решением. Если бы $k > 1$, то число $n-2=3k$ было бы составным. Таким образом, это единственное возможное решение.

Ответ: 5.