Номер 204, страница 35 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параграф 4. Решение задач с помощью уравнений. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 204, страница 35.

Условие.

204. Может ли быть целым числом значение выражения:

1) $ \frac{1}{x} $;

2) $ \frac{x}{x+1} $?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1)

Да, значение выражения $\frac{1}{x}$ может быть целым числом. Для того чтобы выражение $\frac{1}{x}$ было равно некоторому целому числу $n$, необходимо выполнение равенства $\frac{1}{x}=n$. Отсюда следует, что $x$ должен быть числом, обратным к $n$, то есть $x=\frac{1}{n}$. Поскольку числитель дроби равен 1, значение дроби не может быть равно нулю, следовательно $n \neq 0$. Для любого ненулевого целого числа $n$ мы можем подобрать соответствующее значение $x$. Например, чтобы значение выражения было равно $1$, нужно взять $x=\frac{1}{1}=1$. Чтобы значение было равно $2$, нужно взять $x=\frac{1}{2}=0,5$. Чтобы значение было равно $-1$, нужно взять $x=\frac{1}{-1}=-1$.

Ответ: да, может.

2)

Да, значение выражения $\frac{x}{x+1}$ также может быть целым числом. Для анализа преобразуем выражение, выделив целую часть: $\frac{x}{x+1} = \frac{x+1-1}{x+1} = \frac{x+1}{x+1} - \frac{1}{x+1} = 1 - \frac{1}{x+1}$. Чтобы результат $1 - \frac{1}{x+1}$ был целым числом, необходимо, чтобы $\frac{1}{x+1}$ также было целым числом. Обозначим это целое число как $k$, то есть $\frac{1}{x+1} = k$, где $k$ — целое число. Отметим, что $k$ не может быть равно нулю, так как дробь с числителем 1 не может равняться нулю. Для любого ненулевого целого $k$ мы можем найти $x$, решив уравнение: $x+1 = \frac{1}{k}$, откуда $x = \frac{1}{k}-1$. При таком $x$ значение исходного выражения будет $1-k$, что является целым числом. Например, если мы хотим получить значение $0$, мы должны взять $k=1$, тогда $x=\frac{1}{1}-1=0$. Проверяем: $\frac{0}{0+1}=0$. Если мы хотим получить значение $2$, мы должны взять $k=-1$, тогда $x=\frac{1}{-1}-1=-2$. Проверяем: $\frac{-2}{-2+1}=\frac{-2}{-1}=2$.

Ответ: да, может.