Номер 203, страница 34 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параграф 4. Решение задач с помощью уравнений. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 203, страница 34.

Условие.

203. Имеет ли корни уравнение:

1) $x^2 = 0$;

2) $x^2 = -1$;

3) $|x| = x$;

4) $|x| = -x$?

В случае утвердительного ответа укажите их.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) $x^2 = 0$
Данное уравнение является квадратным. Чтобы найти его корень, необходимо найти число, квадрат которого равен нулю. Таким числом является только ноль. Можно решить уравнение, извлекая квадратный корень из обеих частей: $x = \sqrt{0}$ $x = 0$ Таким образом, уравнение имеет один корень.
Ответ: Да, уравнение имеет корень $x = 0$.

2) $x^2 = -1$
Квадрат любого действительного числа ($x^2$) всегда является неотрицательной величиной, то есть $x^2 \ge 0$. В правой части уравнения стоит отрицательное число ($-1$). Поскольку неотрицательное число не может быть равно отрицательному, данное уравнение не имеет решений в множестве действительных чисел.
Ответ: Нет, в множестве действительных чисел уравнение корней не имеет.

3) $|x| = x$
Рассмотрим это уравнение, используя определение модуля (абсолютной величины):
1. Если $x \ge 0$, то по определению $|x| = x$. Уравнение принимает вид $x = x$. Это тождество, верное для всех значений $x$ из рассматриваемого промежутка. Следовательно, все числа $x \ge 0$ являются корнями.
2. Если $x < 0$, то по определению $|x| = -x$. Уравнение принимает вид $-x = x$, что равносильно $2x = 0$, откуда $x = 0$. Однако это значение не входит в промежуток $x < 0$.
Объединяя результаты, получаем, что корнями уравнения являются все неотрицательные числа.
Ответ: Да, уравнение имеет корни. Корнями являются все числа $x$ такие, что $x \ge 0$, или в виде промежутка $[0; +\infty)$.

4) $|x| = -x$
Рассмотрим это уравнение, используя определение модуля:
1. Если $x \ge 0$, то по определению $|x| = x$. Уравнение принимает вид $x = -x$, что равносильно $2x = 0$, откуда $x = 0$. Это значение входит в рассматриваемый промежуток $x \ge 0$ и является корнем.
2. Если $x < 0$, то по определению $|x| = -x$. Уравнение принимает вид $-x = -x$. Это тождество, верное для всех значений $x$ из рассматриваемого промежутка. Следовательно, все числа $x < 0$ являются корнями.
Объединяя результаты, получаем, что корнями уравнения являются все неположительные числа ($x=0$ и все отрицательные $x$).
Ответ: Да, уравнение имеет корни. Корнями являются все числа $x$ такие, что $x \le 0$, или в виде промежутка $(-\infty; 0]$.