Страница 33 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

187. В двух корзинах было 24 кг груш. Когда из первой корзины переложили во вторую ${3 \over 7}$ массы содержащихся в ней груш, то масса груш во второй корзине стала в 2 раза больше массы груш, оставшихся в первой корзине. Сколько килограммов груш было в каждой корзине сначала?

Для решения задачи составим систему уравнений.

Введение переменных и составление уравнений

Пусть $x$ кг – начальная масса груш в первой корзине, а $y$ кг – начальная масса груш во второй корзине.
Суммарная масса груш в двух корзинах составляет 24 кг, что дает нам первое уравнение:
$x + y = 24$

Из первой корзины во вторую переложили $\frac{3}{7}$ массы содержащихся в ней груш. Количество переложенных груш составляет $\frac{3}{7}x$ кг.
После этого масса груш в первой корзине стала: $x - \frac{3}{7}x = \frac{4}{7}x$ кг.
Масса груш во второй корзине стала: $y + \frac{3}{7}x$ кг.

По условию, после перемещения масса груш во второй корзине стала в 2 раза больше массы груш в первой. Это дает нам второе уравнение:
$y + \frac{3}{7}x = 2 \cdot \left(\frac{4}{7}x\right)$

Решение системы уравнений

Мы получили систему из двух уравнений:
$\begin{cases} x + y = 24 \\ y + \frac{3}{7}x = \frac{8}{7}x \end{cases}$
Упростим второе уравнение, чтобы выразить $y$ через $x$:
$y = \frac{8}{7}x - \frac{3}{7}x$
$y = \frac{5}{7}x$
Теперь подставим полученное выражение для $y$ в первое уравнение:
$x + \frac{5}{7}x = 24$
Объединим слагаемые с $x$:
$\frac{7}{7}x + \frac{5}{7}x = 24$
$\frac{12}{7}x = 24$
Теперь найдем $x$:
$x = 24 \cdot \frac{7}{12} = 2 \cdot 7 = 14$
Итак, начальная масса груш в первой корзине равна 14 кг.
Найдем начальную массу груш во второй корзине, используя первое уравнение:
$y = 24 - x = 24 - 14 = 10$
Начальная масса груш во второй корзине равна 10 кг.

Проверка решения

Изначально в корзинах было 14 кг и 10 кг груш. Сумма $14 + 10 = 24$ кг. (Верно)
Из первой корзины переложили: $14 \cdot \frac{3}{7} = 6$ кг.
В первой корзине осталось: $14 - 6 = 8$ кг.
Во второй корзине стало: $10 + 6 = 16$ кг.
Проверим, стала ли масса во второй корзине в 2 раза больше, чем в первой: $16 = 2 \cdot 8$. (Верно)
Все условия задачи выполнены.

Ответ: Сначала в первой корзине было 14 кг груш, а во второй – 10 кг груш.

188. На трёх полках стояли книги. На первой полке стояло $\frac{4}{15}$ всех книг, на второй – 60% всех книг, а на третьей – на 8 книг меньше, чем на первой. Сколько всего книг стояло на трёх полках?

Пусть $x$ – общее количество книг на трёх полках.

Согласно условию, на первой полке стояло $\frac{4}{15}$ всех книг, то есть количество книг на ней составляет $\frac{4}{15}x$.

На второй полке стояло 60% всех книг. Переведём проценты в обыкновенную дробь: $60\% = \frac{60}{100} = \frac{3}{5}$. Значит, на второй полке было $\frac{3}{5}x$ книг.

На третьей полке стояло на 8 книг меньше, чем на первой, то есть количество книг на ней равно $(\frac{4}{15}x - 8)$.

Сумма книг на всех трёх полках равна общему количеству книг. Составим и решим уравнение:

$\frac{4}{15}x + \frac{3}{5}x + (\frac{4}{15}x - 8) = x$

Сначала приведём дроби в левой части уравнения к общему знаменателю 15:

$\frac{4}{15}x + \frac{3 \cdot 3}{5 \cdot 3}x + \frac{4}{15}x - 8 = x$

$\frac{4}{15}x + \frac{9}{15}x + \frac{4}{15}x - 8 = x$

Теперь сложим коэффициенты при переменной $x$ в левой части:

$(\frac{4}{15} + \frac{9}{15} + \frac{4}{15})x - 8 = x$

$\frac{17}{15}x - 8 = x$

Перенесём все слагаемые с $x$ в одну часть уравнения, а числовые значения – в другую:

$\frac{17}{15}x - x = 8$

Представим $x$ в виде дроби со знаменателем 15 ($x = \frac{15}{15}x$):

$\frac{17}{15}x - \frac{15}{15}x = 8$

$\frac{2}{15}x = 8$

Чтобы найти $x$, нужно разделить 8 на коэффициент $\frac{2}{15}$:

$x = 8 \div \frac{2}{15} = 8 \cdot \frac{15}{2}$

$x = \frac{8 \cdot 15}{2} = 4 \cdot 15 = 60$

Таким образом, всего на трёх полках стояло 60 книг.

Выполним проверку:

Книг на первой полке: $\frac{4}{15} \cdot 60 = 16$ книг.

Книг на второй полке: $\frac{3}{5} \cdot 60 = 36$ книг.

Книг на третьей полке: $16 - 8 = 8$ книг.

Общее количество книг: $16 + 36 + 8 = 60$ книг.

Ответ: 60 книг.

189. В четыре бидона разлили молоко. В первый бидон налили 30% всего молока, во второй – $\frac{5}{6}$ того, что в первый, в третий – на 26 л меньше, чем в первый, а в четвёртый – на 10 л больше, чем во второй. Сколько литров молока разлили в четыре бидона?

Для решения задачи введем переменную и составим уравнение.

1. Введение переменных и выражение условий через них

Пусть $x$ литров — это общее количество молока, которое разлили в четыре бидона. Тогда, согласно условиям задачи:

• В первый бидон налили 30% всего молока, что составляет $0.3x$ л.
• Во второй бидон налили $\frac{5}{6}$ от количества в первом бидоне: $\frac{5}{6} \cdot 0.3x = \frac{5}{6} \cdot \frac{3}{10}x = \frac{15}{60}x = \frac{1}{4}x = 0.25x$ л.
• В третий бидон налили на 26 л меньше, чем в первый: $(0.3x - 26)$ л.
• В четвёртый бидон налили на 10 л больше, чем во второй: $(0.25x + 10)$ л.

2. Составление и решение уравнения

Сумма молока во всех четырех бидонах равна общему количеству молока $x$. Составим уравнение, сложив объемы молока в каждом бидоне:

$(0.3x) + (0.25x) + (0.3x - 26) + (0.25x + 10) = x$

Сгруппируем слагаемые с $x$ в левой части и числовые значения:

$(0.3 + 0.25 + 0.3 + 0.25)x - 26 + 10 = x$

Выполним сложение:

$1.1x - 16 = x$

Теперь решим уравнение относительно $x$. Перенесем $x$ в левую часть, а число -16 в правую:

$1.1x - x = 16$

$0.1x = 16$

Найдем $x$:

$x = \frac{16}{0.1}$

$x = 160$

Таким образом, общее количество молока, разлитое в четыре бидона, составляет 160 литров.

Проверка:

• Первый бидон: $0.3 \cdot 160 = 48$ л.
• Второй бидон: $0.25 \cdot 160 = 40$ л.
• Третий бидон: $48 - 26 = 22$ л.
• Четвёртый бидон: $40 + 10 = 50$ л.
• Сумма: $48 + 40 + 22 + 50 = 160$ л.

Расчеты верны.

Ответ: в четыре бидона разлили 160 литров молока.

190. На базу приехали туристы. При расселении их в палатки оказалось, что если в каждую палатку поселить 6 туристов, то 5 туристам места не хватит, а если расселять по 7 туристов, то 6 мест останутся свободными. Сколько туристов приехало на базу?

Для решения этой задачи составим уравнение. Пусть $x$ — это количество палаток на туристической базе.

Согласно первому условию, если в каждую палатку поселить по 6 туристов, то 5 туристам места не хватит. Это означает, что общее количество туристов можно выразить формулой: $6x + 5$.

Согласно второму условию, если в каждую палатку расселять по 7 туристов, то 6 мест останутся свободными. Это означает, что общее количество туристов можно также выразить формулой: $7x - 6$.

Поскольку количество туристов в обоих случаях одно и то же, мы можем приравнять эти два выражения и составить уравнение:

$6x + 5 = 7x - 6$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти количество палаток $x$. Перенесем все члены с $x$ в правую часть, а числовые значения — в левую:

$5 + 6 = 7x - 6x$

$11 = x$

Итак, на базе было 11 палаток.

Теперь, зная количество палаток, мы можем найти общее количество туристов, подставив значение $x=11$ в любое из первоначальных выражений. Давайте используем первое:

Количество туристов = $6x + 5 = 6 \cdot 11 + 5 = 66 + 5 = 71$

Для проверки можно подставить $x=11$ и во второе выражение:

Количество туристов = $7x - 6 = 7 \cdot 11 - 6 = 77 - 6 = 71$

Результаты совпадают, следовательно, задача решена верно.

Ответ: 71 турист.

191. При подготовке новогодних подарков для учащихся 7 класса оказалось, что если в каждый подарок положить по 4 апельсина, то не хватит 3 апельсинов, а если положить по 3 апельсина, то останутся лишними 25 апельсинов. Сколько было апельсинов для подготовки подарков?

Для решения задачи введем переменную. Пусть $x$ — это количество подарков (оно же количество учащихся).

Исходя из первого условия, если в каждый подарок положить по 4 апельсина, то всего понадобится $4x$ апельсинов. Поскольку 3 апельсинов не хватает, то имеющееся количество апельсинов равно $4x - 3$.

Исходя из второго условия, если в каждый подарок положить по 3 апельсина, то будет использовано $3x$ апельсинов. Поскольку 25 апельсинов остаются лишними, то имеющееся количество апельсинов равно $3x + 25$.

Так как количество апельсинов в обоих случаях одно и то же, мы можем составить и решить уравнение, приравняв два полученных выражения:

$4x - 3 = 3x + 25$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а числовые значения — в правую:

$4x - 3x = 25 + 3$

$x = 28$

Мы нашли, что количество подарков равно 28. Теперь определим, сколько всего было апельсинов. Для этого подставим значение $x=28$ в любое из двух выражений для количества апельсинов.

Используем первое выражение: $4x - 3 = 4 \times 28 - 3 = 112 - 3 = 109$.

Проверим с помощью второго выражения: $3x + 25 = 3 \times 28 + 25 = 84 + 25 = 109$.

Результаты совпадают. Следовательно, всего было 109 апельсинов.

Ответ: 109.

192. Рабочий планировал ежедневно изготавливать по 20 деталей, чтобы вовремя выполнить производственное задание. Но он изготавливал каждый день на 8 деталей больше, чем планировал, и уже за 2 дня до окончания срока работы изготовил 8 деталей сверх плана. Сколько дней рабочий планировал выполнять задание изначально?

Пусть $x$ — количество дней, за которое рабочий планировал выполнить задание.
Плановая производительность составляла 20 деталей в день. Таким образом, общее количество деталей в производственном задании равно $20x$.

Фактически рабочий изготавливал на 8 деталей больше, чем планировал, то есть его ежедневная производительность была $20 + 8 = 28$ деталей.

Рабочий завершил работу за 2 дня до планового срока, следовательно, он работал $x - 2$ дня. За это время он изготовил $28 \cdot (x - 2)$ деталей.

Согласно условию, количество фактически изготовленных деталей на 8 штук превысило плановое задание. Это позволяет нам составить следующее уравнение:
$28(x - 2) = 20x + 8$

Решим полученное уравнение для нахождения $x$:
$28x - 56 = 20x + 8$
Перенесем члены с переменной $x$ в одну сторону, а константы — в другую:
$28x - 20x = 56 + 8$
$8x = 64$
$x = \frac{64}{8}$
$x = 8$

Таким образом, изначально рабочий планировал выполнить задание за 8 дней.

Проверка:
1. Плановое количество деталей: $20 \text{ деталей/день} \times 8 \text{ дней} = 160$ деталей.
2. Фактическое время работы: $8 - 2 = 6$ дней.
3. Фактическое количество изготовленных деталей: $28 \text{ деталей/день} \times 6 \text{ дней} = 168$ деталей.
4. Превышение плана: $168 - 160 = 8$ деталей.
Все условия задачи выполняются.

Ответ: 8 дней.

193. Готовясь к экзамену, ученик планировал ежедневно решать 10 задач. Но он каждый день решал на 4 задачи больше, поэтому уже за 3 дня до экзамена ему осталось решить 2 задачи. Сколько всего задач планировал решить ученик?

Для решения задачи введем переменную. Пусть $x$ — это общее количество дней, которое ученик планировал потратить на подготовку к экзамену.

Согласно плану, ученик должен был решать по 10 задач в день. Значит, общее количество задач, которое он планировал решить, можно выразить как $10x$.

На самом деле ученик решал каждый день на 4 задачи больше, то есть:

$10 + 4 = 14$ задач в день.

По условию, за 3 дня до экзамена ему осталось решить 2 задачи. Это означает, что он работал в течение $x - 3$ дней.

За это время он решил $14 \cdot (x - 3)$ задач. Общее количество задач также равно количеству решенных задач плюс количество оставшихся задач:

Всего задач = $14(x - 3) + 2$.

Теперь мы можем приравнять два выражения для общего количества задач, чтобы найти $x$:

$10x = 14(x - 3) + 2$

Решим полученное уравнение:

$10x = 14x - 42 + 2$

$10x = 14x - 40$

$40 = 14x - 10x$

$40 = 4x$

$x = \frac{40}{4}$

$x = 10$

Таким образом, ученик планировал готовиться к экзамену в течение 10 дней.

Теперь найдем общее количество задач, которое он планировал решить, подставив значение $x$ в первоначальную формулу:

Всего задач = $10 \cdot x = 10 \cdot 10 = 100$.

Ответ: 100.

194. В двузначном числе количество десятков в 3 раза больше количества единиц. Если цифры числа переставить, то полученное число будет на 54 меньше данного. Найдите данное число.

Пусть искомое двузначное число имеет вид $\overline{xy}$, где $x$ — это цифра десятков, а $y$ — цифра единиц. Тогда значение этого числа можно представить в виде выражения $10x + y$.

Из первого условия задачи известно, что количество десятков в 3 раза больше количества единиц. Это можно записать в виде уравнения:
$x = 3y$

При перестановке цифр мы получаем новое число $\overline{yx}$, значение которого равно $10y + x$. Согласно второму условию, это новое число на 54 меньше исходного. Составим второе уравнение:
$(10x + y) - (10y + x) = 54$

Теперь у нас есть система двух уравнений с двумя неизвестными:
$ \begin{cases} x = 3y \\ (10x + y) - (10y + x) = 54 \end{cases} $

Упростим второе уравнение:
$10x + y - 10y - x = 54$
$9x - 9y = 54$
Разделим обе части уравнения на 9:
$x - y = 6$

Теперь подставим выражение для $x$ из первого уравнения ($x = 3y$) в упрощенное второе уравнение:
$3y - y = 6$
$2y = 6$
$y = 3$

Мы нашли цифру единиц. Теперь найдем цифру десятков, используя первое уравнение:
$x = 3y = 3 \cdot 3 = 9$

Таким образом, цифра десятков равна 9, а цифра единиц равна 3. Искомое число — 93.

Выполним проверку:
1. Цифра десятков (9) в 3 раза больше цифры единиц (3): $9 = 3 \cdot 3$. Верно.
2. Число с переставленными цифрами — 39. Разница между исходным и новым числом: $93 - 39 = 54$. Верно.

Ответ: 93

195. В двузначном числе количество десятков на 2 меньше количества единиц. Если цифры числа переставить, то полученное число будет в $1\frac{3}{4}$ раза больше данного. Найдите данное число.

Пусть искомое двузначное число имеет $t$ десятков и $u$ единиц. Тогда само число можно представить в виде $10t + u$.

Из первого условия задачи "количество десятков на 2 меньше количества единиц" получаем первое уравнение:
$t = u - 2$

Если в числе переставить цифры, то получится новое число, которое можно записать как $10u + t$.

Из второго условия "полученное число будет в $1\frac{3}{4}$ раза больше данного" получаем второе уравнение. Для удобства переведем смешанную дробь в неправильную: $1\frac{3}{4} = \frac{1 \cdot 4 + 3}{4} = \frac{7}{4}$.
$10u + t = \frac{7}{4}(10t + u)$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя переменными:
$\begin{cases} t = u - 2 \\ 10u + t = \frac{7}{4}(10t + u) \end{cases}$

Подставим выражение для $t$ из первого уравнения во второе, чтобы найти $u$:
$10u + (u - 2) = \frac{7}{4}(10(u - 2) + u)$
$11u - 2 = \frac{7}{4}(10u - 20 + u)$
$11u - 2 = \frac{7}{4}(11u - 20)$

Чтобы избавиться от знаменателя, умножим обе части уравнения на 4:
$4(11u - 2) = 7(11u - 20)$
$44u - 8 = 77u - 140$

Перенесем члены с переменной $u$ в правую часть, а константы — в левую:
$140 - 8 = 77u - 44u$
$132 = 33u$
$u = \frac{132}{33}$
$u = 4$

Теперь, зная значение $u$, найдем $t$ из первого уравнения:
$t = u - 2 = 4 - 2 = 2$

Следовательно, искомое число состоит из 2 десятков и 4 единиц, то есть это число 24.

Проверим:
1. Цифра десятков (2) на 2 меньше цифры единиц (4). $2 = 4 - 2$. Это верно.
2. Число с переставленными цифрами — 42. Отношение нового числа к исходному: $\frac{42}{24} = \frac{7}{4} = 1\frac{3}{4}$. Это тоже верно.

Ответ: 24