Страница 36 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Вычислите значение выражения $5 - 4b$ при $b = -2$.

А) 3

Б) -3

В) 13

Г) -13

1. Чтобы вычислить значение выражения $5 - 4b$ при $b = -2$, необходимо подставить значение переменной $b$ в данное выражение и выполнить арифметические операции.

Подставляем $b = -2$ в выражение:

$5 - 4 \cdot (-2)$

Согласно порядку выполнения действий, сначала выполняется умножение:

$4 \cdot (-2) = -8$

Теперь выражение принимает вид:

$5 - (-8)$

Вычитание отрицательного числа эквивалентно сложению соответствующего положительного числа:

$5 + 8 = 13$

Полученное значение 13 соответствует варианту ответа В).

Ответ: В) 13

2. Найдите значение выражения $\frac{1}{5}m+\frac{1}{3}n$, если $m=35, n=-18$.

А) 1

Б) 2

В) 3

Г) 4

Чтобы найти значение выражения, необходимо подставить заданные значения переменных $m=35$ и $n=-18$ в выражение $\frac{1}{5}m + \frac{1}{3}n$.

Выполним подстановку:

$\frac{1}{5} \cdot (35) + \frac{1}{3} \cdot (-18)$

Теперь вычислим значение каждого слагаемого по очереди.

1. Вычислим первое слагаемое: $\frac{1}{5} \cdot 35$. Это то же самое, что и деление 35 на 5.

$\frac{35}{5} = 7$

2. Вычислим второе слагаемое: $\frac{1}{3} \cdot (-18)$. Это то же самое, что и деление -18 на 3.

$\frac{-18}{3} = -6$

3. Сложим полученные результаты:

$7 + (-6) = 7 - 6 = 1$

Таким образом, значение выражения равно 1. Этот результат соответствует варианту ответа А).

Ответ: 1

3. Какое из данных выражений является записью разности произведения чисел $a$ и $b$ и числа $c$?

А) $a - bc$
Б) $ab - c$
В) $a(b - c)$
Г) $(a - b)c$

Чтобы определить, какое из предложенных выражений является верным, необходимо перевести словесное описание в математическую форму. Задание просит найти «разность произведения чисел $a$ и $b$ и числа $c$».

Давайте разберем это словесное описание по частям:

1. Сначала находим «произведение чисел $a$ и $b$». Это результат умножения числа $a$ на число $b$, что математически записывается как $a \cdot b$ или, для краткости, $ab$.
2. Далее в выражении идет «число $c$», которое так и записывается — $c$.
3. Наконец, нам нужна «разность» между первым результатом и вторым. Это означает, что из первого элемента (уменьшаемого) нужно вычесть второй (вычитаемое). В нашем случае из «произведения чисел $a$ и $b$» ($ab$) нужно вычесть «число $c$» ($c$).

Соединив все части, мы получаем математическое выражение: $ab - c$.

Теперь сравним полученное выражение с предложенными вариантами:

А) $a - bc$. Это выражение означает разность числа $a$ и произведения чисел $b$ и $c$. Это не соответствует условию задачи.

Б) $ab - c$. Это выражение означает разность произведения чисел $a$ и $b$ и числа $c$. Это полностью соответствует условию задачи.

В) $a(b - c)$. Это выражение означает произведение числа $a$ на разность чисел $b$ и $c$. Это не соответствует условию задачи.

Г) $(a - b)c$. Это выражение означает произведение разности чисел $a$ и $b$ на число $c$. Это не соответствует условию задачи.

Таким образом, единственное выражение, которое является записью разности произведения чисел $a$ и $b$ и числа $c$, — это $ab - c$.

Ответ: Б

4. Среди данных алгебраических выражений укажите целое.

А) $\frac{b}{b-7}$

Б) $\frac{b+5}{b-7}$

В) $\frac{b+5}{7}$

Г) $\frac{b+5}{b}$

Целым алгебраическим выражением называется выражение, которое не содержит деления на переменную или на выражение с переменной. Деление на константу (число, отличное от нуля) допускается. Проанализируем каждое из предложенных выражений.

А) $ \frac{b}{b-7} $. В знаменателе этого выражения находится выражение $b-7$, которое содержит переменную $b$. Следовательно, данное выражение не является целым, а является дробно-рациональным.

Б) $ \frac{b+5}{b-7} $. Аналогично предыдущему пункту, в знаменателе этого выражения находится выражение $b-7$, содержащее переменную $b$. Таким образом, это выражение также является дробно-рациональным.

В) $ \frac{b+5}{7} $. В знаменателе этого выражения находится число 7, которое является константой и не содержит переменной. Такое выражение является целым. Его можно представить в виде многочлена первой степени: $ \frac{1}{7}b + \frac{5}{7} $.

Г) $ \frac{b+5}{b} $. В знаменателе этого выражения находится переменная $b$. Следовательно, данное выражение не является целым, а является дробно-рациональным.

Таким образом, единственное целое выражение среди предложенных вариантов — это выражение под буквой В.

Ответ: В

5. Найдите корень уравнения $7x + 2 = 3x - 6$.

А) 2

Б) 1

В) -2

Г) -1

Для решения данного линейного уравнения $7x + 2 = 3x - 6$ необходимо найти значение переменной $x$, при котором равенство будет верным. Для этого выполним следующие шаги:

1. Сгруппируем все слагаемые, содержащие переменную $x$, в левой части уравнения, а все числовые слагаемые (свободные члены) — в правой. Важно помнить, что при переносе слагаемого из одной части уравнения в другую его знак меняется на противоположный.

Исходное уравнение:

$7x + 2 = 3x - 6$

Перенесем $3x$ в левую часть (со знаком минус) и $2$ в правую часть (также со знаком минус):

$7x - 3x = -6 - 2$

2. Упростим обе части уравнения, выполнив арифметические действия:

В левой части: $7x - 3x = 4x$

В правой части: $-6 - 2 = -8$

В результате получаем более простое уравнение:

$4x = -8$

3. Теперь найдем значение $x$, разделив обе части уравнения на коэффициент при переменной $x$, то есть на 4:

$x = \frac{-8}{4}$

$x = -2$

4. Чтобы убедиться в правильности решения, выполним проверку. Подставим найденный корень $x = -2$ в исходное уравнение:

$7 \cdot (-2) + 2 = 3 \cdot (-2) - 6$

$-14 + 2 = -6 - 6$

$-12 = -12$

Так как получилось верное равенство, корень уравнения найден правильно. Этот результат соответствует варианту ответа В).

Ответ: -2

6. Какое из уравнений является линейным?

А) $2x + 3 = 0$

Б) $\frac{1}{x} = 0$

В) $|x| - 4 = 0$

Г) $(x - 1)(x - 2) = 0$

Линейным уравнением с одной переменной называется уравнение вида $ax + b = 0$, где $x$ — переменная, а $a$ и $b$ — некоторые числа (коэффициенты), причем $a \neq 0$. Главная особенность такого уравнения в том, что переменная $x$ входит в него в первой степени. Проанализируем каждый из предложенных вариантов.

А) Уравнение $2x + 3 = 0$ полностью соответствует определению линейного уравнения. Оно имеет вид $ax + b = 0$, где коэффициент $a=2$, а свободный член $b=3$. Переменная $x$ находится в первой степени. Ответ: является линейным.

Б) В уравнении $\frac{1}{x} = 0$ переменная $x$ находится в знаменателе дроби. Такое уравнение можно записать как $x^{-1} = 0$. Степень переменной равна -1, а не 1. Данное уравнение не является линейным, а относится к классу дробно-рациональных уравнений. Ответ: не является линейным.

В) Уравнение $|x| - 4 = 0$ содержит переменную $x$ под знаком модуля (абсолютной величины). Уравнения, содержащие переменную под знаком модуля, не являются линейными, так как соответствующая функция $y = |x| - 4$ не является линейной (ее график представляет собой не прямую, а ломаную линию). Ответ: не является линейным.

Г) Для определения типа уравнения $(x - 1)(x - 2) = 0$ необходимо раскрыть скобки. Выполним умножение: $x \cdot x - x \cdot 2 - 1 \cdot x + (-1) \cdot (-2) = 0$. После приведения подобных членов получим уравнение $x^2 - 3x + 2 = 0$. Так как в уравнении присутствует переменная во второй степени ($x^2$), оно является квадратным, а не линейным. Ответ: не является линейным.

Таким образом, проанализировав все варианты, мы приходим к выводу, что только уравнение в пункте А является линейным.

7. Решите уравнение $ \frac{x}{2} - \frac{x}{3} = 6 $.

А) 12

Б) 36

В) -6

Г) -1

Для решения уравнения $ \frac{x}{2} - \frac{x}{3} = 6 $ необходимо привести дроби в левой части к общему знаменателю. Наименьшим общим знаменателем для чисел 2 и 3 является 6.

Умножим числитель и знаменатель первой дроби на 3, а второй дроби — на 2:

$ \frac{3 \cdot x}{3 \cdot 2} - \frac{2 \cdot x}{2 \cdot 3} = 6 $

$ \frac{3x}{6} - \frac{2x}{6} = 6 $

Теперь выполним вычитание дробей с одинаковым знаменателем:

$ \frac{3x - 2x}{6} = 6 $

$ \frac{x}{6} = 6 $

Чтобы найти $x$, умножим обе части уравнения на 6:

$ x = 6 \cdot 6 $

$ x = 36 $

Для проверки подставим найденное значение в исходное уравнение:

$ \frac{36}{2} - \frac{36}{3} = 18 - 12 = 6 $

$ 6 = 6 $

Равенство верное, следовательно, уравнение решено правильно. Полученный корень соответствует варианту ответа Б).

Ответ: 36.

8. Решите уравнение $2(x-3)-(x+4)=x-10$.

А) 0

Б) корней нет

В) $x$ – любое число

Г) 10

Чтобы решить уравнение $2(x - 3) - (x + 4) = x - 10$, выполним следующие действия:

1. Раскроем скобки.
В левой части уравнения сначала раскроем скобки. Для этого умножим 2 на каждый член в первых скобках и изменим знаки у членов во вторых скобках, так как перед ними стоит знак минус.
$2 \cdot x - 2 \cdot 3 - x - 4 = x - 10$
$2x - 6 - x - 4 = x - 10$

2. Приведем подобные слагаемые.
В левой части уравнения сгруппируем и сложим слагаемые с переменной $x$ и числовые слагаемые.
$(2x - x) + (-6 - 4) = x - 10$
$x - 10 = x - 10$

3. Проанализируем результат.
Мы получили тождество, то есть равенство, которое верно при любом значении переменной $x$. Если мы попробуем перенести все слагаемые с $x$ в левую часть, а числа — в правую, мы получим:
$x - x = -10 + 10$
$0 = 0$
Поскольку получилось верное числовое равенство, это означает, что решением уравнения является любое число.

Среди предложенных вариантов ответа этому выводу соответствует вариант В).
Ответ: В) x – любое число

9. При каком значении $a$ уравнение $(a + 4)x = a - 3$ не имеет корней?

А) 3

Б) -4

В) 0

Г) такого значения не существует

Данное уравнение $(a + 4)x = a - 3$ является линейным уравнением вида $Bx = C$, где коэффициент при $x$ равен $B = a + 4$, а свободный член (правая часть уравнения) равен $C = a - 3$.

Линейное уравнение не имеет корней (решений) тогда и только тогда, когда коэффициент при неизвестной переменной ($x$) равен нулю, а свободный член не равен нулю. Это можно записать в виде системы условий:

$\begin{cases} B = 0 \\ C \neq 0 \end{cases}$

Применим эти условия к нашему уравнению.

1. Найдем значение $a$, при котором коэффициент при $x$ обращается в ноль:

$a + 4 = 0$

$a = -4$

2. Теперь необходимо проверить, что при этом значении $a$ свободный член не равен нулю. Подставим $a = -4$ в выражение для свободного члена:

$C = a - 3 = -4 - 3 = -7$

Поскольку $C = -7$ и $-7 \neq 0$, второе условие выполняется.

Таким образом, при $a = -4$ исходное уравнение принимает вид $0 \cdot x = -7$. Это равенство неверно при любом значении $x$, следовательно, уравнение не имеет корней.

Ответ: -4

10. Известно, что 45% числа $a$ на 7 больше, чем $\frac{1}{3}$ этого числа. Найдите число $a$.

А) 36

Б) 45

В) 60

Г) 90

Пусть искомое число — это $a$.

Согласно условию задачи, $45\%$ от числа $a$ на 7 больше, чем $\frac{1}{3}$ этого числа. Для того чтобы составить уравнение, сначала представим $45\%$ в виде обыкновенной дроби: $45\% = \frac{45}{100} = \frac{9}{20}$.

Теперь запишем условие задачи в виде математического уравнения:

$\frac{9}{20}a = \frac{1}{3}a + 7$

Для решения уравнения перенесем все слагаемые, содержащие переменную $a$, в левую часть уравнения:

$\frac{9}{20}a - \frac{1}{3}a = 7$

Чтобы выполнить вычитание дробей, приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для чисел 20 и 3 равен 60.

$\frac{9 \cdot 3}{20 \cdot 3}a - \frac{1 \cdot 20}{3 \cdot 20}a = 7$

$\frac{27}{60}a - \frac{20}{60}a = 7$

Теперь выполним вычитание коэффициентов при $a$:

$(\frac{27 - 20}{60})a = 7$

$\frac{7}{60}a = 7$

Чтобы найти $a$, умножим обе части уравнения на число, обратное коэффициенту при $a$, то есть на $\frac{60}{7}$:

$a = 7 \cdot \frac{60}{7}$

$a = 60$

Таким образом, искомое число равно 60. Данное значение соответствует варианту ответа В).

Ответ: 60.

11. Трое рабочих изготовили 70 деталей. Первый рабочий изготовил в 2 раза меньше деталей, чем второй, а третий – на 10 деталей больше, чем первый.

Пусть первый рабочий изготовил $x$ деталей. Какое из данных уравнений соответствует условию задачи?

А) $x + 2x + 2x + 10 = 70$

Б) $x + 2x + x + 10 = 70$

В) $x + 2x + 2x - 10 = 70$

Г) $x + 2x + x - 10 = 70$

Для того чтобы определить, какое из уравнений соответствует условию задачи, необходимо выразить количество деталей, изготовленных каждым рабочим, через переменную $x$.

Согласно условию задачи:

• Первый рабочий изготовил $x$ деталей.
• Первый рабочий изготовил в 2 раза меньше деталей, чем второй. Это значит, что второй рабочий изготовил в 2 раза больше, чем первый, то есть $2x$ деталей.
• Третий рабочий изготовил на 10 деталей больше, чем первый. Значит, он изготовил $(x + 10)$ деталей.

Всего трое рабочих изготовили 70 деталей. Чтобы составить уравнение, нужно сложить количество деталей, изготовленных каждым рабочим, и приравнять сумму к 70:
(детали первого) + (детали второго) + (детали третьего) = 70

Подставляем выражения для каждого рабочего в уравнение:
$x + 2x + (x + 10) = 70$

Раскрываем скобки и получаем итоговое уравнение:
$x + 2x + x + 10 = 70$

Сравнивая полученное уравнение с предложенными вариантами, мы видим, что оно полностью совпадает с уравнением под буквой Б.

Б) $x + 2x + x + 10 = 70$
Ответ: Б