Страница 43 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

221. Пассажирский поезд проходит расстояние между двумя станциями за 12 ч. Если одновременно с этих станций выйдут навстречу друг другу пассажирский и товарный поезда, то они встретятся через 8 ч после начала движения. За какое время товарный поезд может преодолеть расстояние между станциями?

Для решения этой задачи можно принять всё расстояние между станциями за 1 (единицу). В этом случае скорость можно выразить как часть расстояния, которую поезд проходит за 1 час.

Скорость пассажирского поезда ($v_п$), который проходит всё расстояние за 12 часов, равна:

$v_п = \frac{1}{12}$ (части расстояния в час)

Когда поезда движутся навстречу друг другу, их общая скорость (скорость сближения) равна сумме их скоростей. По условию, они встречаются через 8 часов, значит, их совместная скорость ($v_{общ}$) позволяет им преодолеть всё расстояние за 8 часов:

$v_{общ} = \frac{1}{8}$ (части расстояния в час)

Общая скорость сближения равна сумме скоростей пассажирского ($v_п$) и товарного ($v_т$) поездов:

$v_{общ} = v_п + v_т$

Отсюда мы можем найти скорость товарного поезда:

$v_т = v_{общ} - v_п = \frac{1}{8} - \frac{1}{12}$

Приведем дроби к общему знаменателю 24:

$v_т = \frac{3}{24} - \frac{2}{24} = \frac{1}{24}$ (части расстояния в час)

Итак, скорость товарного поезда составляет $\frac{1}{24}$ всего расстояния в час. Чтобы найти время ($t_т$), за которое он пройдет всё расстояние (1), нужно разделить расстояние на скорость:

$t_т = \frac{1}{v_т} = \frac{1}{\frac{1}{24}} = 24$ часа.

Ответ: 24 часа.

222. Фермер выращивал гречиху на двух участках общей площадью 24 га. На одном участке он собрал по 8 ц гречихи с гектара, а на втором — по 9 ц с гектара. Сколько всего центнеров гречихи собрал фермер, если со второго участка он собрал на 46 ц гречихи больше, чем с первого?

Для решения задачи обозначим площадь первого участка как $S_1$ (в гектарах), а площадь второго участка — как $S_2$ (в гектарах). Согласно условию, общая площадь двух участков составляет 24 га. Это можно записать в виде уравнения:

$S_1 + S_2 = 24$

Урожай, собранный с первого участка ($H_1$), составляет 8 центнеров с гектара, то есть:

$H_1 = 8 \cdot S_1$

Урожай, собранный со второго участка ($H_2$), составляет 9 центнеров с гектара, то есть:

$H_2 = 9 \cdot S_2$

Также в условии сказано, что со второго участка собрали на 46 центнеров гречихи больше, чем с первого. Это дает нам еще одно уравнение:

$H_2 = H_1 + 46$

Подставим в это уравнение выражения для $H_1$ и $H_2$:

$9 \cdot S_2 = 8 \cdot S_1 + 46$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя переменными:

$\begin{cases} S_1 + S_2 = 24 \\ 9S_2 = 8S_1 + 46 \end{cases}$

Выразим $S_1$ из первого уравнения:

$S_1 = 24 - S_2$

Подставим полученное выражение для $S_1$ во второе уравнение системы:

$9S_2 = 8(24 - S_2) + 46$

Теперь решим это уравнение относительно $S_2$:

$9S_2 = 192 - 8S_2 + 46$

$9S_2 + 8S_2 = 192 + 46$

$17S_2 = 238$

$S_2 = \frac{238}{17} = 14$

Итак, площадь второго участка равна 14 га. Теперь найдем площадь первого участка:

$S_1 = 24 - S_2 = 24 - 14 = 10$

Площадь первого участка равна 10 га.

Теперь мы можем рассчитать, сколько центнеров гречихи было собрано с каждого участка:

С первого участка: $H_1 = 8 \cdot 10 = 80$ ц.

Со второго участка: $H_2 = 9 \cdot 14 = 126$ ц.

Чтобы найти, сколько всего центнеров гречихи собрал фермер, нужно сложить урожай с обоих участков:

Общий урожай = $H_1 + H_2 = 80 + 126 = 206$ ц.

Ответ: фермер собрал всего 206 центнеров гречихи.

223. Известно, что $a > 0, a + b < 0$. Сравните:

1) $b$ и $0$;

2) $|a|$ и $|b|$.

1) b и 0
Нам даны два условия: $a > 0$ и $a + b < 0$.
Рассмотрим неравенство $a + b < 0$. Вычтем из обеих его частей число $a$. Знак неравенства при этом не изменится.
$a + b - a < 0 - a$
$b < -a$
Поскольку по условию $a$ является положительным числом ($a > 0$), то $-a$ является отрицательным числом, то есть $-a < 0$.
Мы получили, что $b$ меньше чем $-a$, а $-a$ в свою очередь меньше нуля. По свойству транзитивности неравенств из $b < -a$ и $-a < 0$ следует, что $b < 0$.

Ответ: $b < 0$.

2) |a| и |b|
Используем исходные условия ($a > 0$, $a + b < 0$) и результат, полученный в первом пункте ($b < 0$).
По определению модуля (абсолютной величины):
- так как $a > 0$, то его модуль равен самому числу: $|a| = a$.
- так как $b < 0$, то его модуль равен противоположному числу: $|b| = -b$.
Теперь вернемся к исходному неравенству $a + b < 0$. Перенесем слагаемое $b$ в правую часть, изменив его знак:
$a < -b$
Мы можем заменить в этом неравенстве $a$ на $|a|$ и $-b$ на $|b|$, так как ранее мы установили их равенство.
В результате замены получаем:
$|a| < |b|$

Ответ: $|a| < |b|$.

224. Цену товара сначала увеличили на 50%, а потом уменьшили на 50%. Увеличилась или уменьшилась и на сколько процентов начальная цена товара?

Для решения этой задачи давайте представим начальную цену товара как $x$. Эту величину мы принимаем за 100%.

1. Увеличение цены на 50%
При увеличении на 50%, новая цена составит $100\% + 50\% = 150\%$ от начальной. Чтобы найти новую цену, умножим начальную цену на коэффициент, соответствующий 150%, то есть на 1.5. Цена после увеличения: $C_1 = x \times 1.5 = 1.5x$.

2. Уменьшение цены на 50%
Далее, полученную цену $1.5x$ уменьшили на 50%. Теперь за 100% принимается уже новая цена $C_1 = 1.5x$. Уменьшение на 50% означает, что от этой цены останется $100\% - 50\% = 50\%$. Коэффициент, соответствующий 50%, равен 0.5. Итоговая цена: $C_2 = C_1 \times 0.5 = 1.5x \times 0.5 = 0.75x$.

3. Сравнение итоговой и начальной цены
Мы получили, что итоговая цена равна $0.75x$. Начальная цена была $x$ (или $1x$). Сравнивая итоговую цену ($0.75x$) с начальной ($1x$), мы видим, что $0.75 < 1$. Это означает, что итоговая цена стала меньше начальной.

4. Расчет процентного изменения
Чтобы найти, на сколько процентов цена уменьшилась, нужно найти разницу между начальной и итоговой ценой и выразить ее в процентах от начальной цены. Разница в долях от начальной цены составляет $1 - 0.75 = 0.25$. Чтобы перевести эту долю в проценты, умножим ее на 100%: $0.25 \times 100\% = 25\%$.

Следовательно, начальная цена товара уменьшилась на 25%.

Ответ: Начальная цена товара уменьшилась на 25%.

225. На сколько процентов увеличилось в России количество детских театров и театров юного зрителя с 1995 по 2018 год, если в 1995 году таких театров было 138, а в 2018 году – 256? Ответ округлите до десятых процента.

Чтобы найти, на сколько процентов увеличилось количество детских театров и театров юного зрителя, необходимо выполнить следующие шаги.

1. Найдём абсолютное увеличение количества театров. Для этого вычтем из количества театров в 2018 году (256) количество театров в 1995 году (138):

$256 - 138 = 118$

Таким образом, количество театров увеличилось на 118.

2. Теперь рассчитаем процентное увеличение. Для этого необходимо разделить абсолютное увеличение (118) на первоначальное значение (количество театров в 1995 году, т.е. 138) и умножить полученный результат на 100%.

$\frac{\text{Абсолютное увеличение}}{\text{Первоначальное значение}} \times 100\% = \frac{118}{138} \times 100\%$

Выполним вычисления:

$\frac{118}{138} \times 100\% \approx 0.85507246... \times 100\% \approx 85.507246...\%$

3. Согласно условию задачи, ответ необходимо округлить до десятых процента. Для этого смотрим на вторую цифру после запятой. В данном случае это 0. Так как $0 < 5$, то цифру в разряде десятых (5) оставляем без изменений, а последующие знаки отбрасываем.

$85.507246...\% \approx 85.5\%$

Ответ: 85,5%.

226. На доске написаны числа $1, 2, 3, \dots, 10$. За один шаг разрешается, выбрав два числа, к каждому из них прибавить 5 или из каждого вычесть 1. Можно ли с помощью этих операций добиться того, чтобы все числа, записанные на доске, оказались равными?

Для ответа на этот вопрос проанализируем, как изменяется сумма всех чисел на доске в результате разрешенных операций. Этот метод, основанный на поиске инварианта (свойства, которое не меняется), позволит нам определить, достижима ли поставленная цель.

Изначально на доске написаны числа от 1 до 10. Найдем их сумму, которую обозначим $S_{нач}$:

$S_{нач} = 1 + 2 + 3 + \dots + 10 = \frac{10 \times (10 + 1)}{2} = 55$

Начальная сумма равна 55, что является нечетным числом.

Далее рассмотрим, как каждая из двух разрешенных операций влияет на общую сумму. За один шаг мы выбираем два числа.

1. Если к каждому из двух чисел прибавить 5, то общая сумма всех чисел на доске увеличится на $5 + 5 = 10$.

2. Если из каждого из двух чисел вычесть 1, то общая сумма всех чисел на доске уменьшится на $1 + 1 = 2$.

Заметим, что оба возможных изменения суммы (+10 и -2) являются четными числами. Начальная сумма (55) — нечетное число. Прибавление к нечетному числу четного или вычитание из него четного числа всегда дает в результате нечетное число. Таким образом, четность суммы всех чисел на доске является инвариантом: после любого количества шагов эта сумма всегда будет оставаться нечетной.

Теперь предположим, что нам удалось достичь цели, и все 10 чисел на доске стали равны некоторому числу $k$. В этом случае конечная сумма всех чисел, $S_{кон}$, будет равна:

$S_{кон} = 10 \times k$

Для любого целого числа $k$ произведение $10k$ является четным числом, так как его можно представить в виде $2 \times (5k)$.

В результате мы приходим к противоречию. С одной стороны, сумма чисел на доске в результате наших операций всегда должна быть нечетной. С другой стороны, если бы все числа стали равными, их сумма должна была бы стать четной. Поскольку одно и то же число не может быть одновременно и четным, и нечетным, достичь поставленной цели невозможно.

Ответ: Нет, с помощью указанных операций нельзя добиться того, чтобы все числа на доске оказались равными.