Страница 48 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

243. Найдите значение выражения:

1) $16 - c^3$, если $c = 2$;

2) $(16x)^6$, если $x = 0,125$;

3) $a^3b^2$, если $a = 10, b = 0,1$;

4) $4a^4 - a$, если $a = 3$.

1) Чтобы найти значение выражения $16 - c^3$, если $c = 2$, нужно подставить значение $c$ в выражение.

Подставляем $c = 2$:

$16 - 2^3$

Сначала вычисляем степень:

$2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$

Затем выполняем вычитание:

$16 - 8 = 8$

Ответ: 8

2) Чтобы найти значение выражения $(16x)^6$, если $x = 0,125$, подставим значение $x$ в выражение.

Подставляем $x = 0,125$:

$(16 \cdot 0,125)^6$

Сначала выполним действие в скобках. Удобно представить десятичную дробь $0,125$ в виде обыкновенной: $0,125 = \frac{1}{8}$.

$16 \cdot 0,125 = 16 \cdot \frac{1}{8} = \frac{16}{8} = 2$

Теперь возведем полученный результат в степень:

$2^6 = 64$

Ответ: 64

3) Чтобы найти значение выражения $a^3b^2$, если $a = 10$ и $b = 0,1$, подставим значения переменных в выражение.

Подставляем $a=10$ и $b=0,1$:

$10^3 \cdot (0,1)^2$

Вычислим значения степеней по отдельности:

$10^3 = 1000$

$(0,1)^2 = 0,01$

Теперь перемножим полученные результаты:

$1000 \cdot 0,01 = 10$

Ответ: 10

4) Чтобы найти значение выражения $4a^4 - a$, если $a = 3$, подставим значение $a$ в выражение.

Подставляем $a=3$:

$4 \cdot 3^4 - 3$

Согласно порядку выполнения математических операций, сначала возводим в степень:

$3^4 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 81$

Затем выполняем умножение:

$4 \cdot 81 = 324$

И в последнюю очередь выполняем вычитание:

$324 - 3 = 321$

Ответ: 321

244. Не выполняя вычислений, сравните:

1) $(-5,8)^2$ и $0$;

2) $0$ и $(-3,7)^3$;

3) $(-12)^7$ и $(-6)^4$;

4) $-8^8$ и $(-8)^8$;

5) $(-17)^6$ и $17^6$;

6) $(-34)^5$ и $(-39)^5$.

1) $(-5,8)^2$ и 0

Любое отличное от нуля число, возведенное в четную степень (в данном случае степень 2), является положительным. Так как $(-5,8)$ не равно нулю, то $(-5,8)^2$ — положительное число. Любое положительное число больше нуля.

Следовательно, $(-5,8)^2 > 0$.

Ответ: $(-5,8)^2 > 0$.

2) 0 и $(-3,7)^3$

Отрицательное число, возведенное в нечетную степень (в данном случае степень 3), является отрицательным. Таким образом, $(-3,7)^3$ — отрицательное число. Нуль больше любого отрицательного числа.

Следовательно, $0 > (-3,7)^3$.

Ответ: $0 > (-3,7)^3$.

3) $(-12)^7$ и $(-6)^4$

Определим знаки каждого из выражений. Выражение $(-12)^7$: основание отрицательное (–12), показатель степени нечетный (7). Результат будет отрицательным. Выражение $(-6)^4$: основание отрицательное (–6), показатель степени четный (4). Результат будет положительным. Любое положительное число больше любого отрицательного числа.

Следовательно, $(-6)^4 > (-12)^7$.

Ответ: $(-12)^7 < (-6)^4$.

4) $-8^8$ и $(-8)^8$

Рассмотрим оба выражения. Выражение $-8^8$ означает $-(8^8)$. Так как $8^8$ — положительное число, то $-(8^8)$ — отрицательное число. Выражение $(-8)^8$: отрицательное число (–8) возводится в четную степень (8), поэтому результат будет положительным. Положительное число всегда больше отрицательного.

Следовательно, $(-8)^8 > -8^8$.

Ответ: $-8^8 < (-8)^8$.

5) $(-17)^6$ и $17^6$

При возведении отрицательного числа в четную степень получается положительное число. Таким образом, $(-17)^6 = 17^6$. Сравниваемые числа равны.

Следовательно, $(-17)^6 = 17^6$.

Ответ: $(-17)^6 = 17^6$.

6) $(-34)^5$ и $(-39)^5$

Оба числа возводятся в нечетную степень (5), значит, оба результата будут отрицательными. $(-34)^5 = -34^5$ $(-39)^5 = -39^5$ Теперь нужно сравнить два отрицательных числа: $-34^5$ и $-39^5$. Сначала сравним их модули (положительные значения): $34^5$ и $39^5$. Поскольку $34 < 39$, то $34^5 < 39^5$. Из двух отрицательных чисел больше то, модуль которого меньше.

Следовательно, $-34^5 > -39^5$, а значит $(-34)^5 > (-39)^5$.

Ответ: $(-34)^5 > (-39)^5$.

245. Не выполняя вычислений, сравните:

1) $0$ и $(-1,9)^{10}$;

2) $0$ и $(-76)^{15}$;

3) $(-0,1)^{12}$ и $(-12)^{25}$;

4) $\left(-4\frac{7}{9}\right)^9$ и $\left(-5\frac{8}{11}\right)^9$.

1) Сравнить $0$ и $(-1,9)^{10}$.

Основание степени $(-1,9)$ является отрицательным числом, а показатель степени $10$ — четным числом. При возведении любого отрицательного числа в четную степень результат всегда будет положительным. Любое положительное число больше нуля. Следовательно, $(-1,9)^{10} > 0$.

Ответ: $0 < (-1,9)^{10}$.

2) Сравнить $0$ и $(-76)^{15}$.

Основание степени $(-76)$ является отрицательным числом, а показатель степени $15$ — нечетным числом. При возведении любого отрицательного числа в нечетную степень результат всегда будет отрицательным. Любое отрицательное число меньше нуля. Следовательно, $(-76)^{15} < 0$.

Ответ: $0 > (-76)^{15}$.

3) Сравнить $(-0,1)^{12}$ и $(-12)^{25}$.

Рассмотрим первое выражение: $(-0,1)^{12}$. Основание степени отрицательное, а показатель $12$ — четный. Значит, $(-0,1)^{12}$ будет положительным числом.

Рассмотрим второе выражение: $(-12)^{25}$. Основание степени отрицательное, а показатель $25$ — нечетный. Значит, $(-12)^{25}$ будет отрицательным числом.

Любое положительное число всегда больше любого отрицательного числа. Следовательно, $(-0,1)^{12} > (-12)^{25}$.

Ответ: $(-0,1)^{12} > (-12)^{25}$.

4) Сравнить $(-4\frac{7}{9})^{9}$ и $(-5\frac{8}{11})^{9}$.

Оба выражения возводятся в одну и ту же нечетную степень $9$. Функция $y=x^n$ при нечетном $n$ является возрастающей. Это значит, что для любых чисел $a$ и $b$, если $a > b$, то и $a^9 > b^9$. Поэтому, чтобы сравнить степени, достаточно сравнить их основания: $-4\frac{7}{9}$ и $-5\frac{8}{11}$.

Сравним сначала модули (абсолютные величины) этих чисел: $|-4\frac{7}{9}| = 4\frac{7}{9}$ и $|-5\frac{8}{11}| = 5\frac{8}{11}$. Так как целая часть $4$ меньше целой части $5$, то $4\frac{7}{9} < 5\frac{8}{11}$.

Из двух отрицательных чисел больше то, у которого модуль меньше. Поскольку $4\frac{7}{9} < 5\frac{8}{11}$, то $-4\frac{7}{9} > -5\frac{8}{11}$.

Так как основания находятся в соотношении $-4\frac{7}{9} > -5\frac{8}{11}$, и мы возводим их в нечетную степень, то знак неравенства сохраняется. Следовательно, $(-4\frac{7}{9})^{9} > (-5\frac{8}{11})^{9}$.

Ответ: $(-4\frac{7}{9})^{9} > (-5\frac{8}{11})^{9}$.

246. Сравните с нулём значения выражений: $2^{100}$, $(-2)^{100}$, $-2^{100}$, $-(-2)^{100}$.

Есть ли среди них выражения, принимающие равные значения?

Сравните с нулём значения выражений: $2^{100}$, $(-2)^{100}$, $-2^{100}$, $-(-2)^{100}$

Для того чтобы сравнить значения данных выражений с нулём, проанализируем знак каждого из них, основываясь на правилах возведения в степень.

1. Выражение $2^{100}$. Здесь положительное число $2$ возводится в степень $100$. Результат возведения положительного числа в любую степень всегда положителен. Следовательно, $2^{100} > 0$.

2. Выражение $(-2)^{100}$. Здесь отрицательное число $-2$ возводится в четную степень $100$. При возведении отрицательного числа в четную степень результат всегда положителен, так как все знаки "минус" попарно сокращаются. Таким образом, $(-2)^{100} = 2^{100}$, и, значит, $(-2)^{100} > 0$.

3. Выражение $-2^{100}$. Согласно порядку математических операций, сначала выполняется возведение в степень, а затем унарный минус (отрицание). То есть, сначала мы вычисляем $2^{100}$ (положительное число), а затем к результату применяем знак "минус". В итоге получается отрицательное число. Следовательно, $-2^{100} < 0$.

4. Выражение $-(-2)^{100}$. Сначала вычисляем значение в скобках: $(-2)^{100}$. Как мы выяснили в пункте 2, это значение равно $2^{100}$. Затем к этому положительному результату применяем знак "минус", стоящий перед скобками. Получаем $-(2^{100})$, что является отрицательным числом. Следовательно, $-(-2)^{100} < 0$.

Ответ: $2^{100} > 0$, $(-2)^{100} > 0$, $-2^{100} < 0$, $-(-2)^{100} < 0$.

Есть ли среди них выражения, принимающие равные значения?

Да, среди данных выражений есть пары, принимающие равные значения. Сравним их, используя выводы, сделанные выше.

Первая пара: $2^{100}$ и $(-2)^{100}$. Как было показано, при возведении $-2$ в четную степень $100$ получается положительное число, равное $2^{100}$. Значит, $2^{100} = (-2)^{100}$.

Вторая пара: $-2^{100}$ и $-(-2)^{100}$. Мы установили, что $-(-2)^{100} = -(2^{100}) = -2^{100}$. Следовательно, эти два выражения также равны между собой.

Ответ: Да, есть. Равными являются две пары выражений: $2^{100} = (-2)^{100}$ и $-2^{100} = -(-2)^{100}$.

Есть ли среди них выражения, принимающие равные значения?

247. Сравните с нулём значения выражений: $5^{101}$, $-5^{101}$, $(-5)^{101}$, $-(-5)^{101}$.

Есть ли среди них выражения, принимающие равные значения?

Сравните с нулём значения выражений: $5^{101}, -5^{101}, (-5)^{101}, -(-5)^{101}$

Для сравнения значений данных выражений с нулём, определим знак каждого из них на основе правил возведения в степень.

• Выражение $5^{101}$:
  Основание степени (5) является положительным числом. Любая степень положительного числа есть число положительное.
  Следовательно, $5^{101} > 0$.

• Выражение $-5^{101}$:
  Согласно порядку действий, сначала выполняется возведение в степень $5^{101}$, а затем применяется унарный минус (что равносильно умножению на -1). Так как $5^{101}$ — положительное число, то $-5^{101}$ будет отрицательным.
  Следовательно, $-5^{101} < 0$.

• Выражение $(-5)^{101}$:
  Здесь в степень возводится отрицательное число (-5). Показатель степени (101) является нечетным числом. При возведении отрицательного числа в нечетную степень результат всегда будет отрицательным.
  Следовательно, $(-5)^{101} < 0$.

• Выражение $-(-5)^{101}$:
  Сначала вычислим значение $(-5)^{101}$. Как мы установили в предыдущем пункте, это отрицательное число. Выражение принимает вид $-(\text{отрицательное число})$, что в результате дает положительное число.
  Следовательно, $-(-5)^{101} > 0$.

Ответ: $5^{101} > 0$ (значение больше нуля), $-5^{101} < 0$ (значение меньше нуля), $(-5)^{101} < 0$ (значение меньше нуля), $-(-5)^{101} > 0$ (значение больше нуля).

Есть ли среди них выражения, принимающие равные значения?

Да, чтобы это проверить, сравним значения выражений между собой, используя их упрощенные формы.

• Сравним выражения $-5^{101}$ и $(-5)^{101}$.
  Как было показано, при возведении отрицательного основания в нечетную степень, минус можно вынести за скобки: $(-5)^{101} = -5^{101}$.
  Следовательно, эти два выражения равны.

• Сравним выражения $5^{101}$ и $-(-5)^{101}$.
  Упростим второе выражение: $-(-5)^{101} = -(-5^{101})$. Раскрывая скобки (минус на минус дает плюс), получаем $5^{101}$.
  Следовательно, эти два выражения также равны.

Ответ: Да, есть. Равными являются следующие пары выражений: $-5^{101} = (-5)^{101}$ и $5^{101} = -(-5)^{101}$.

248. Верно ли равенство:

1) $3^2 + 4^2 = 7^2;$

2) $5^2 + 12^2 = 13^2;$

3) $1^2 + 3^2 + 5^2 + 7^2 + 9^2 = 13^2;$

4) $(1 + 2 + 3)^2 = 1^3 + 2^3 + 3^3?$

1) $3^2 + 4^2 = 7^2$

Для проверки верности равенства необходимо вычислить значения его левой и правой частей.

Вычисляем левую часть: $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$.

Вычисляем правую часть: $7^2 = 49$.

Сравниваем полученные значения: $25 \neq 49$. Следовательно, равенство не является верным.

Ответ: равенство неверно.

2) $5^2 + 12^2 = 13^2$

Вычислим значения левой и правой частей равенства.

Левая часть: $5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$.

Правая часть: $13^2 = 169$.

Сравниваем результаты: $169 = 169$. Равенство является верным. Эти числа (5, 12, 13) образуют Пифагорову тройку.

Ответ: равенство верно.

3) $1^2 + 3^2 + 5^2 + 7^2 + 9^2 = 13^2$

Вычислим сумму квадратов в левой части и значение квадрата в правой.

Левая часть: $1^2 + 3^2 + 5^2 + 7^2 + 9^2 = 1 + 9 + 25 + 49 + 81 = 10 + 25 + 49 + 81 = 35 + 49 + 81 = 84 + 81 = 165$.

Правая часть: $13^2 = 169$.

Сравниваем результаты: $165 \neq 169$. Таким образом, равенство неверно.

Ответ: равенство неверно.

4) $(1 + 2 + 3)^2 = 1^3 + 2^3 + 3^3$

Вычислим значения обеих частей равенства.

Левая часть: сначала выполняем сложение в скобках, а затем возводим в квадрат. $(1 + 2 + 3)^2 = 6^2 = 36$.

Правая часть: вычисляем кубы чисел и складываем их. $1^3 + 2^3 + 3^3 = 1 + 8 + 27 = 36$.

Сравниваем результаты: $36 = 36$. Равенство является верным. Это пример теоремы Никомаха, которая гласит, что сумма кубов первых $n$ натуральных чисел равна квадрату суммы этих чисел.

Ответ: равенство верно.

249. Докажите, что $1^2 + 2^2 + 4^2 + 6^2 + 8^2 = 11^2$.

Для того чтобы доказать данное равенство, необходимо вычислить значение левой части уравнения и сравнить его со значением правой части.

1. Вычислим значение левой части равенства, которая представляет собой сумму квадратов чисел:

$1^2 + 2^2 + 4^2 + 6^2 + 8^2$

Возведем каждое число в квадрат:

$1^2 = 1$

$2^2 = 4$

$4^2 = 16$

$6^2 = 36$

$8^2 = 64$

Теперь сложим полученные результаты:

$1 + 4 + 16 + 36 + 64 = 121$

Таким образом, значение левой части уравнения равно $121$.

2. Вычислим значение правой части равенства:

$11^2 = 11 \times 11 = 121$

Значение правой части уравнения также равно $121$.

3. Сравним результаты.

Поскольку левая часть уравнения равна $121$ и правая часть уравнения равна $121$, мы можем заключить, что равенство верно.

$121 = 121$

Таким образом, равенство $1^2 + 2^2 + 4^2 + 6^2 + 8^2 = 11^2$ доказано.

Ответ: Равенство доказано, так как в результате вычислений обе его части равны $121$.

250. Расположите выражения в порядке возрастания их значений:

1) $0,3$; $0,3^2$; $0,3^3$.

2) $-0,4$; $(-0,4)^2$; $(-0,4)^3$.

1) Чтобы расположить выражения $0,3; 0,3^2; 0,3^3$ в порядке возрастания их значений, необходимо вычислить значение каждого из них.

Первое выражение равно $0,3$.

Второе выражение: $0,3^2 = 0,3 \times 0,3 = 0,09$.

Третье выражение: $0,3^3 = 0,3 \times 0,3 \times 0,3 = 0,027$.

Теперь сравним полученные значения: $0,3$, $0,09$ и $0,027$. Для положительного числа, которое меньше единицы, при возведении в степень с бо́льшим показателем получается меньшее значение. Таким образом, получаем неравенство:

$0,027 < 0,09 < 0,3$

Следовательно, исходные выражения в порядке возрастания их значений располагаются так: $0,3^3; 0,3^2; 0,3$.

Ответ: $0,3^3; 0,3^2; 0,3$.

2) Аналогично первому пункту, вычислим значения для выражений $-0,4; (-0,4)^2; (-0,4)^3$.

Первое выражение равно $-0,4$.

Второе выражение: $(-0,4)^2 = (-0,4) \times (-0,4) = 0,16$. При возведении отрицательного числа в четную степень (2) результат является положительным.

Третье выражение: $(-0,4)^3 = (-0,4) \times (-0,4) \times (-0,4) = -0,064$. При возведении отрицательного числа в нечетную степень (3) результат является отрицательным.

Теперь сравним полученные значения: $-0,4$, $0,16$ и $-0,064$.

Среди этих чисел одно положительное ($0,16$), оно является наибольшим. Теперь сравним два отрицательных числа: $-0,4$ и $-0,064$. Из двух отрицательных чисел меньше то, модуль которого больше. Так как $|-0,4| = 0,4$ и $|-0,064| = 0,064$, а $0,4 > 0,064$, то $-0,4 < -0,064$.

Таким образом, располагая числа в порядке возрастания, получаем: $-0,4 < -0,064 < 0,16$.

Следовательно, исходные выражения в порядке возрастания их значений располагаются так: $-0,4; (-0,4)^3; (-0,4)^2$.

Ответ: $-0,4; (-0,4)^3; (-0,4)^2$.

251. (Домашняя практическая работа) Расположите выражения $(-\frac{1}{7})^1$ Н, $(-\frac{1}{7})^2$ Я, $(-\frac{1}{7})^3$ И, $(\frac{1}{7})^3$ Ш, в порядке убывания их значений. Буквы, соответствующие данным выражениям, образуют фамилию знаменитого советского спортсмена. Найдите в Интернете информацию о его жизни и спортивных достижениях.

Расположите выражения $(-\frac{1}{7})^1$ Н, $(-\frac{1}{7})^2$ Я, $(-\frac{1}{7})^3$ И, $(\frac{1}{7})^3$ Щ, в порядке убывания их значений

Для того чтобы расположить выражения в порядке убывания, необходимо вычислить значение каждого из них.

1. Выражение Н: $(-\frac{1}{7})^1 = -\frac{1}{7}$

2. Выражение Я: $(-\frac{1}{7})^2 = \frac{1}{49}$. При возведении отрицательного числа в четную степень результат будет положительным.

3. Выражение И: $(-\frac{1}{7})^3 = -\frac{1}{343}$. При возведении отрицательного числа в нечетную степень результат будет отрицательным.

4. Выражение Щ: $(\frac{1}{7})^3 = \frac{1}{343}$.

Теперь сравним полученные значения: $Я = \frac{1}{49}$, $Щ = \frac{1}{343}$, $И = -\frac{1}{343}$ и $Н = -\frac{1}{7}$.

Сначала сравним положительные числа: $\frac{1}{49}$ и $\frac{1}{343}$. Приведем дроби к общему знаменателю 343. $\frac{1}{49} = \frac{1 \cdot 7}{49 \cdot 7} = \frac{7}{343}$. Поскольку $7 > 1$, то $\frac{7}{343} > \frac{1}{343}$, следовательно, $Я > Щ$.

Теперь сравним отрицательные числа: $-\frac{1}{7}$ и $-\frac{1}{343}$. Приведем дроби к общему знаменателю 343. $-\frac{1}{7} = -\frac{1 \cdot 49}{7 \cdot 49} = -\frac{49}{343}$. Из двух отрицательных чисел больше то, чей модуль меньше. Так как $|-\frac{1}{343}| < |-\frac{49}{343}|$, то $-\frac{1}{343} > -\frac{49}{343}$, следовательно, $И > Н$.

Любое положительное число больше любого отрицательного. Сопоставив все значения, получаем следующий порядок убывания:
$Я (\frac{1}{49}) > Щ (\frac{1}{343}) > И (-\frac{1}{343}) > Н (-\frac{1}{7})$.

Составив слово из букв, соответствующих выражениям в полученном порядке, получаем фамилию ЯЩИН.

Ответ: ЯЩИН.

Найдите в Интернете информацию о его жизни и спортивных достижениях

Лев Иванович Яшин (22 октября 1929 — 20 марта 1990) — легендарный советский футбольный вратарь, выступавший за московское «Динамо» и сборную СССР. Он признан одним из величайших вратарей в истории мирового футбола.

Лев Яшин родился в Москве в рабочей семье. Свою футбольную карьеру, которая продолжалась с 1950 по 1971 год, он полностью посвятил одному клубу — московскому «Динамо». Примечательно, что в начале своего спортивного пути Яшин также успешно играл в хоккей с шайбой на позиции вратаря и в 1953 году стал обладателем Кубка СССР по хоккею. Яшин произвел революцию во вратарском искусстве: он одним из первых начал смело играть на выходах, эффективно руководить защитниками и быстро начинать атаки команды точным вводом мяча в игру. За свой атлетизм, прыгучесть и неизменную чёрную форму он получил всемирно известные прозвища «Чёрный паук» и «Чёрная пантера».

Лев Яшин является единственным вратарём в истории, удостоенным награды «Золотой мяч» (в 1963 году) как лучший футболист Европы. Его главные командные достижения включают победу на Олимпийских играх 1956 года в Мельбурне и победу на первом в истории чемпионате Европы в 1960 году. Вместе с «Динамо» он пять раз становился чемпионом СССР и трижды выигрывал Кубок СССР. За свою карьеру Яшин провёл, по разным оценкам, более 270 «сухих» матчей и отразил свыше 150 пенальти, что является феноменальным показателем. Его наследие увековечено в наградах: ФИФА учредила приз имени Льва Яшина для лучшего вратаря чемпионата мира, а с 2019 года издание «France Football» вручает «Трофей Яшина» лучшему голкиперу года в мире.

Ответ: Лев Яшин — советский футбольный вратарь, олимпийский чемпион, чемпион Европы и единственный вратарь в истории, получивший «Золотой мяч».

252. Сравните с нулём значение выражения:

1) $(-4)^7 \cdot (-12)^9,$

2) $(-5)^6 \cdot (-17)^{11}.$

3) $(-14)^4 \cdot (-25)^{14},$

4) $(-7)^9 \cdot 0^6.$

1) Чтобы сравнить значение выражения $ (-4)^7 \cdot (-12)^9 $ с нулём, определим знак каждого множителя. Для этого воспользуемся правилом: отрицательное число, возведенное в нечётную степень, остаётся отрицательным, а в чётную — становится положительным.

Первый множитель: $ (-4)^7 $. Основание степени (-4) является отрицательным числом, а показатель степени (7) — нечётным. Следовательно, результат будет отрицательным: $ (-4)^7 < 0 $.

Второй множитель: $ (-12)^9 $. Основание степени (-12) — отрицательное число, а показатель степени (9) — нечётное число. Следовательно, результат также будет отрицательным: $ (-12)^9 < 0 $.

Произведение двух отрицательных чисел является положительным числом.

$ (-4)^7 \cdot (-12)^9 = (\text{отрицательное}) \cdot (\text{отрицательное}) = \text{положительное} $.

Таким образом, значение выражения больше нуля.

Ответ: $ (-4)^7 \cdot (-12)^9 > 0 $

2) Сравним значение выражения $ (-5)^6 \cdot (-17)^{11} $ с нулём.

Первый множитель: $ (-5)^6 $. Основание степени (-5) — отрицательное число, но показатель степени (6) — чётное число. В этом случае результат будет положительным: $ (-5)^6 > 0 $.

Второй множитель: $ (-17)^{11} $. Основание степени (-17) — отрицательное число, а показатель степени (11) — нечётное. Результат будет отрицательным: $ (-17)^{11} < 0 $.

Произведение положительного и отрицательного чисел является отрицательным числом.

$ (-5)^6 \cdot (-17)^{11} = (\text{положительное}) \cdot (\text{отрицательное}) = \text{отрицательное} $.

Следовательно, значение выражения меньше нуля.

Ответ: $ (-5)^6 \cdot (-17)^{11} < 0 $

3) Сравним значение выражения $ (-14)^4 \cdot (-25)^{14} $ с нулём.

Первый множитель: $ (-14)^4 $. Основание степени (-14) — отрицательное, а показатель (4) — чётное. Значит, результат будет положительным: $ (-14)^4 > 0 $.

Второй множитель: $ (-25)^{14} $. Основание степени (-25) — отрицательное, а показатель (14) — чётное. Значит, результат также будет положительным: $ (-25)^{14} > 0 $.

Произведение двух положительных чисел является положительным числом.

$ (-14)^4 \cdot (-25)^{14} = (\text{положительное}) \cdot (\text{положительное}) = \text{положительное} $.

Таким образом, значение выражения больше нуля.

Ответ: $ (-14)^4 \cdot (-25)^{14} > 0 $

4) Сравним значение выражения $ (-7)^9 \cdot 0^6 $ с нулём.

Второй множитель в выражении — $ 0^6 $. Ноль, возведенный в любую положительную степень, равен нулю: $ 0^6 = 0 $.

Произведение любого числа на ноль равно нулю. Поэтому нам не нужно вычислять значение первого множителя.

$ (-7)^9 \cdot 0^6 = (-7)^9 \cdot 0 = 0 $.

Следовательно, значение выражения равно нулю.

Ответ: $ (-7)^9 \cdot 0^6 = 0 $

253. Сравните с нулём значение выражения:

1) $ \left(-2\right)^{14} \cdot \left(-3\right)^{15} \cdot \left(-4\right)^{16}, $

2) $ \left(-5\right)^{17} \cdot \left(-6\right)^{18} \cdot \left(-7\right)^{19}. $

1) $(-2)^{14} \cdot (-3)^{15} \cdot (-4)^{16}$

Чтобы сравнить значение выражения с нулём, необходимо определить знак этого выражения. Для этого определим знак каждого множителя.

Вспомним правило знаков при возведении отрицательного числа в степень:
- Если отрицательное число возводится в чётную степень, результат будет положительным.
- Если отрицательное число возводится в нечётную степень, результат будет отрицательным.

Применим это правило к каждому множителю в выражении:
- Первый множитель: $(-2)^{14}$. Так как показатель степени $14$ — чётное число, то значение этого множителя положительно: $(-2)^{14} > 0$.
- Второй множитель: $(-3)^{15}$. Так как показатель степени $15$ — нечётное число, то значение этого множителя отрицательно: $(-3)^{15} < 0$.
- Третий множитель: $(-4)^{16}$. Так как показатель степени $16$ — чётное число, то значение этого множителя положительно: $(-4)^{16} > 0$.

Теперь определим знак всего произведения. Мы перемножаем два положительных числа и одно отрицательное. Произведение будет отрицательным.
$ (положительное) \cdot (отрицательное) \cdot (положительное) = (отрицательное) $

Таким образом, значение всего выражения $(-2)^{14} \cdot (-3)^{15} \cdot (-4)^{16}$ отрицательно, то есть меньше нуля.

Ответ: значение выражения меньше нуля.

2) $(-5)^{17} \cdot (-6)^{18} \cdot (-7)^{19}$

Аналогично первому пункту, определим знак каждого множителя в выражении.

- Первый множитель: $(-5)^{17}$. Показатель степени $17$ — нечётное число, следовательно, множитель отрицательный: $(-5)^{17} < 0$.
- Второй множитель: $(-6)^{18}$. Показатель степени $18$ — чётное число, следовательно, множитель положительный: $(-6)^{18} > 0$.
- Третий множитель: $(-7)^{19}$. Показатель степени $19$ — нечётное число, следовательно, множитель отрицательный: $(-7)^{19} < 0$.

Теперь определим знак всего произведения. В выражении два отрицательных множителя и один положительный. Произведение двух отрицательных чисел даёт положительное число. При умножении этого положительного результата на оставшийся положительный множитель итоговый результат также будет положительным.
$ (отрицательное) \cdot (положительное) \cdot (отрицательное) = (положительное) $

Таким образом, значение всего выражения $(-5)^{17} \cdot (-6)^{18} \cdot (-7)^{19}$ положительно, то есть больше нуля.

Ответ: значение выражения больше нуля.

254. Запишите:

1) числа 16; 64; 256 в виде степени с основанием 4;

2) числа 0,09; 0,027; 0,00243 в виде степени с основанием 0,3.

1) Чтобы записать числа в виде степени с основанием 4, необходимо определить, в какую степень нужно возвести число 4 для получения каждого из заданных чисел.

Для числа 16:
Мы ищем показатель степени $n$ в выражении $4^n = 16$.
Так как $4 \cdot 4 = 16$, то показатель степени равен 2.
Следовательно, $16 = 4^2$.

Для числа 64:
Мы ищем показатель степени $n$ в выражении $4^n = 64$.
Так как $4 \cdot 4 \cdot 4 = 16 \cdot 4 = 64$, то показатель степени равен 3.
Следовательно, $64 = 4^3$.

Для числа 256:
Мы ищем показатель степени $n$ в выражении $4^n = 256$.
Так как $4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 = 64 \cdot 4 = 256$, то показатель степени равен 4.
Следовательно, $256 = 4^4$.

Ответ: $16 = 4^2$; $64 = 4^3$; $256 = 4^4$.

2) Чтобы записать числа в виде степени с основанием 0,3, необходимо определить, в какую степень нужно возвести число 0,3 для получения каждого из заданных чисел.

Для числа 0,09:
Мы ищем показатель степени $n$ в выражении $0,3^n = 0,09$.
Так как $0,3 \cdot 0,3 = 0,09$, то показатель степени равен 2.
Следовательно, $0,09 = 0,3^2$.

Для числа 0,027:
Мы ищем показатель степени $n$ в выражении $0,3^n = 0,027$.
Так как $0,3 \cdot 0,3 \cdot 0,3 = 0,09 \cdot 0,3 = 0,027$, то показатель степени равен 3.
Следовательно, $0,027 = 0,3^3$.

Для числа 0,00243:
Мы ищем показатель степени $n$ в выражении $0,3^n = 0,00243$.
Сначала найдем, в какой степени число 3 равно 243: $3^5 = 243$.
При возведении десятичной дроби 0,3 в 5-ю степень, в полученном числе будет 5 знаков после запятой. Таким образом, $0,3^5 = 0,00243$.
Следовательно, $0,00243 = 0,3^5$.

Ответ: $0,09 = 0,3^2$; $0,027 = 0,3^3$; $0,00243 = 0,3^5$.