Номер 245, страница 48 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 6. Степень с натуральным показателем. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 245, страница 48.

Условие.

245. Не выполняя вычислений, сравните:

1) $0$ и $(-1,9)^{10}$;

2) $0$ и $(-76)^{15}$;

3) $(-0,1)^{12}$ и $(-12)^{25}$;

4) $\left(-4\frac{7}{9}\right)^9$ и $\left(-5\frac{8}{11}\right)^9$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) Сравнить $0$ и $(-1,9)^{10}$.

Основание степени $(-1,9)$ является отрицательным числом, а показатель степени $10$ — четным числом. При возведении любого отрицательного числа в четную степень результат всегда будет положительным. Любое положительное число больше нуля. Следовательно, $(-1,9)^{10} > 0$.

Ответ: $0 < (-1,9)^{10}$.

2) Сравнить $0$ и $(-76)^{15}$.

Основание степени $(-76)$ является отрицательным числом, а показатель степени $15$ — нечетным числом. При возведении любого отрицательного числа в нечетную степень результат всегда будет отрицательным. Любое отрицательное число меньше нуля. Следовательно, $(-76)^{15} < 0$.

Ответ: $0 > (-76)^{15}$.

3) Сравнить $(-0,1)^{12}$ и $(-12)^{25}$.

Рассмотрим первое выражение: $(-0,1)^{12}$. Основание степени отрицательное, а показатель $12$ — четный. Значит, $(-0,1)^{12}$ будет положительным числом.

Рассмотрим второе выражение: $(-12)^{25}$. Основание степени отрицательное, а показатель $25$ — нечетный. Значит, $(-12)^{25}$ будет отрицательным числом.

Любое положительное число всегда больше любого отрицательного числа. Следовательно, $(-0,1)^{12} > (-12)^{25}$.

Ответ: $(-0,1)^{12} > (-12)^{25}$.

4) Сравнить $(-4\frac{7}{9})^{9}$ и $(-5\frac{8}{11})^{9}$.

Оба выражения возводятся в одну и ту же нечетную степень $9$. Функция $y=x^n$ при нечетном $n$ является возрастающей. Это значит, что для любых чисел $a$ и $b$, если $a > b$, то и $a^9 > b^9$. Поэтому, чтобы сравнить степени, достаточно сравнить их основания: $-4\frac{7}{9}$ и $-5\frac{8}{11}$.

Сравним сначала модули (абсолютные величины) этих чисел: $|-4\frac{7}{9}| = 4\frac{7}{9}$ и $|-5\frac{8}{11}| = 5\frac{8}{11}$. Так как целая часть $4$ меньше целой части $5$, то $4\frac{7}{9} < 5\frac{8}{11}$.

Из двух отрицательных чисел больше то, у которого модуль меньше. Поскольку $4\frac{7}{9} < 5\frac{8}{11}$, то $-4\frac{7}{9} > -5\frac{8}{11}$.

Так как основания находятся в соотношении $-4\frac{7}{9} > -5\frac{8}{11}$, и мы возводим их в нечетную степень, то знак неравенства сохраняется. Следовательно, $(-4\frac{7}{9})^{9} > (-5\frac{8}{11})^{9}$.

Ответ: $(-4\frac{7}{9})^{9} > (-5\frac{8}{11})^{9}$.